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1. CINEMÁTICA PLANA DEL SÓLIDO RÍGIDO
- Introducción
- Traslación. Movimiento plano. Rotación en torno a un eje fijo
- Movimiento plano general. Velocidades absoluta y relativa
- Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano
- Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
- Movimiento plano relativo a ejes en rotación. Aceleración de Coriolis
1. Introducción
En un cuerpo rígido , la separación entre dos puntos cualesquiera es fija e independiente del
tiempo. Si las distancias entre dos puntos cualesquiera son fijas, también lo serán los ángulos
determinados por toda tripleta de puntos A , B y C (Figura 1).
Figura 1
En la cinemática de la partícula , para describir completamente el movimiento, basta con
conocer en cada instante su situación, es decir, las coordenadas del unto donde se encuentra
la partícula. Sin embargo, en la cinemática del sólido rígido , la descripción completa de su
movimiento exige que se den la posición y la orientación del cuerpo. Es este caso
intervienen magnitudes lineales como angulares.
Existen cinco tipos generales de movimiento de un sólido rígido: traslación, rotación
alrededor de un eje fijo, movimiento plano general, rotación en torno a un punto fijo y
movimiento general.
Augusto Beléndez Vázquez
Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal
Universidad de Alicante (2017)
(a) Traslación
La orientación de todo segmento rectilíneo del sólido rígido se mantiene constante durante el
movimiento. Todos los puntos del cuerpo rígido se mueven a lo largo de trayectorias
paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas es una traslación rectilínea ; si son líneas
cuervas, una traslación curvilínea (Figura 2).
Figura 2
(b) Rotación alrededor de un eje fijo
Los puntos del sólido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el
mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación , intersecta al cuerpo, los puntos de dicho
eje tienen velocidad cero y aceleración cero (Figura 3).
Figura 3
(c) Movimiento plano general
En un movimiento plano cada punto del sólido permanece en un plano. Como ejemplos se
pueden mencionar la traslación coplanaria y la rotación en torno a un eje fijo. Los demás
tipos de movimientos planos se denominan movimiento plano general (Figura 4).
(e) Movimiento general
Cualquier movimiento del sólido rígido que no entra en las categorías anteriores se
denomina movimiento general.
2. Traslación, movimiento plano, rotación en torno a un eje fijo
2.1.- Traslación
La orientación de todo segmento rectilíneo se mantiene constante. Las relaciones entre los
vectores de posición, las velocidades y las aceleraciones de dos puntos cualesquiera A y B
del sólido son las siguientes
r
B
r
A
+ AB
v
B
v
A
d AB
dt
a
B
a
A
Figura 7
2.3. Movimiento plano
Cada punto del cuerpo permanece en un plano, por lo que bastará considerar sólo el
movimiento en un solo plano del sólido. Normalmente se considera el plano que contiene al
centro de masa del sólido rígido que se denomina
plano del movimiento.
Como los puntos no pueden salir del plano del
movimiento, la posición de un sólido rígido en
movimiento plano quedará determinada al dar la
posición de un punto y la orientación de una
recta en el plano del movimiento.
La orientación de la recta puede darse mediante el
ángulo θ que forma dicha recta con una dirección
fija o dando la posición de dos puntos
cualesquiera de la recta A y B (Figura 8).
Figura 8
La velocidad angular ω
AB
y la aceleración angular α
AB
del sólido vienen dadas mediante
las ecuaciones:
ω
AB
d θ
AB
dt
θ
AB
α
AB
d ω
AB
dt
ω
AB
θ
AB
La velocidad angular y la aceleración angular son las mismas para todas las rectas del sólido.
El estudio del movimiento plano de un sólido rígido es importante en el diseño de
engranajes, levas y mecanismos utilizados en muchas operaciones mecánicas.
2.4. Rotación alrededor de un eje fijo
El movimiento plano de un sólido rígido se
puede determinar a partir del movimiento de
un punto y el movimiento de una recta, ambos
en el plano del movimiento. Sin embargo, en
la rotación alrededor de un eje fijo , el punto
del eje permanecerá siempre en él, por lo que
el movimiento de todo el cuerpo se podrá
determinar a partir del movimiento de una
recta. Los puntos que no estén en el eje fijo
recorrerán trayectorias circulares centradas en
dicho eje (Figura 9) y la velocidad v de un
punto P cuyo vector de posición es r podrá
determinarse a partir de la velocidad angular
ω mediante la relación: Figura 9
v =
ω ×
r (6)
Si consideramos el plano del movimiento podemos fácilmente calcular la velocidad
v y la
aceleración
a del sólido rígido (Figura 10).
Figura 10
a =
d
v
dt
d
dt
( v
e
t
d v
dt
e
t
d e ˆ
t
dt
d v
dt
e
t
v
r
e
n
d v
dt
e
t
v
2
r
e
n
a
t
a
n
donde:
a
t
d v
dt
e
t
= α r
e
t
a
n
v
2
r
e
n
= ω
2
r
e
n
Figura 11
3. Movimiento plano general. velocidades absoluta y relativa
“Un movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslación
y una rotación”.
Figura 12
Figura 13
Consideremos un sólido con movimiento plano. Vamos a encontrar la relación que existe
entre las velocidades de los puntos A y B cualesquiera del sólido. Teniendo en cuenta que
AB = constante, podemos escribir (Figura 14):
r
B
r
A
+ AB
d
r
B
dt
d
r
A
dt
d AB
dt
v
A
d
r
A
dt
v
B
d
r
B
dt
v
A
y
v
B
son las velocidades absolutas de los puntos A y B del sólido, respectivamente.
Figura 14
AB es un vector de módulo constante pero su dirección cambia, entonces su derivada
respecto al tiempo d AB / dt es perpendicular a AB :
AB = constante ⇒
d
dt
( AB ⋅ AB ) = AB ⋅
d AB
dt
d AB
dt
⋅ AB = 2 AB ⋅
d AB
dt
AB = constante ⇒
d AB
dt
⊥ AB (25)
v
A
v
B
ω
BA
× BA
luego:
ω
AB
ω
BA
Es decir, la velocidad angular del cuerpo en su rotación alrededor del punto B es la misma
que en su rotación en torno al punto A.
“La velocidad angular
ω de un sólido rígido en movimiento plano es independiente del
punto de referencia”.
4. Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano
En el movimiento plano general de un sólido rígido no hay ningún punto que se halle
siempre en reposo. Sin embargo, en cada instante, es siempre posible hallar un punto del
cuerpo (o de su extensión) que tenga velocidad nula. Este punto recibe el nombre de centro
instantáneo de rotación (CIR).
En el movimiento plano general de un sólido rígido el centro instantáneo de rotación (CIR)
no es un punto fijo. Si en un instante determinado el punto I es el centro instantáneo de
rotación, entonces su velocidad es nula,
v
I
v
A
v
I
ω × IA
v
I
v
A
ω × IA ⇒
v
A
⊥ IA
Figura 17
Por tanto, la recta que une el CIR con un punto cualquiera A del sólido es perpendicular a la
velocidad
v
A
de dicho punto.
Podemos escribir:
r =
v
A
ω
r = IA ( 33 )
Figura 18
Si conocemos las velocidades
v
A
y
v
B
de dos puntos del sólido, el CIR estará en la
intersección de sus rectas perpendiculares a
v
A
y
v
B
en A y B.
Figura 19
En todos los puntos del sólido que pertenecen a la recta que une el centro instantáneo de
rotación I con el punto A , las velocidades son perpendiculares al vector IA :
ω =
v
A
IA
ω =
v
B
IB
ω =
v
C
IC
Si se conoce la posición I del CIR, la velocidad
v
A
de cualquier otro punto A en ese instante
es:
v
A
v
I
ω × IA
v
I
v
A
ω × IA (35)
que corresponde una rotación alrededor del CIR.
Cuando dos o más cuerpos están unidos por un pasador, se puede hallar un CIR para cada
cuerpo. Como la velocidad del punto que une los dos cuerpos es la misma para cada uno de
ellos, los CIR de uno y otro deberán estar sobre la recta que pase por el punto común de
ambos cuerpos.
Figura 22
El CIR de una rueda que gira sobre una superficie se encuentra en el punto de contacto de la
rueda con la superficie.
Figura 23
“La velocidad de un punto en el sólido siempre es perpendicular al vector de posición
relativa dirigido desde el CIR hacia el punto”.
El lugar geométrico de los puntos que definen la ubicación del CIR durante el movimiento
del sólido se llama centroda y, por tanto, cada punto de la centroda actúa como el CIR del
sólido sólo por un instante.
Figura 24
5. Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
Las relaciones entre las velocidades absolutas
v
A
y
v
B
de dos puntos A y B ,
respectivamente, de un sólido rígido es:
v
B
v
A
ω × AB (36)
Derivando respecto al tiempo t se obtiene la relación entre sus aceleraciones:
d
v
B
dt
d
v
A
dt
d
ω
dt
× AB +
ω ×
d AB
dt
Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:
a
B
d
v
B
dt
a
A
d
v
A
dt
α =
d
ω
dt
d AB
dt
ω × AB
donde
α es la aceleración angular, la aceleración del punto B se puede escribir como:
a
B
a
A
α × AB +
ω × (
ω × AB ) (39)
En esta ecuación se tiene:
Disco que rueda sin deslizar sobre una superficie
Vamos a analizar a continuación la velocidad y la aceleración del centro instantáneo de
rotación ( I ) de un disco que rueda sin deslizar sobre una superficie. El CIR es el punto I
de contacto entre el disco y el suelo. Como el punto I pertenece al disco pero también
pertenece al suelo, y el suelo no se mueve. La velocidad de I es cero (momentáneamente):
v
I
= 0 I : CIR
Consideremos un disco de radio r que tiene una velocidad angular
ω y una aceleración
angular
α y que rueda sin deslizar. Se I el punto de contacto entre el disco y el plano
horizontal sobre el que rueda el disco.
El disco experimenta un movimiento plano general puesto que se traslada y gira al mismo
tiempo.
Figura 27
El centro G del disco se mueve en línea recta hacia la derecha de G a G’ , a medida que el
disco rueda. La distancia s G
de G a G’ será igual al arco A’B en su borde, el cual está en
contacto con el suelo de A a B. El movimiento requiere que la línea radial GA gire un ángulo
θ a la posición G’A’. Como el arco A’B = r θ , entonces G recorre una distancia s G
de G a G’
cuyo valor es:
s
G
= GG ´= r θ (43)
Velocidad de G :
v
G
ds
G
dt
= r
d θ
dt
= r ω (44)
Aceleración de G :
a
G
dv
G
dt
= r
d ω
dt
= r α (45)
Como G describe un movimiento rectilíneo en la dirección del eje x , se puede escribir:
v
G
= v
G
i = r ω
i
a
G
= a
G
i = r α
i
Figura 28
Es importante tener en cuenta que estas relaciones son válidas sólo si el disco rueda sin
deslizar.
Vamos a comprobar que el punto I de contacto entre el disco y la superficie horizontal tiene
velocidad nula (
v
I
= 0 ). También vamos a comprobar que
a
I
≠ 0 y calcular su valor. De la
relación entre velocidades de dos puntos de un sólido tenemos:
v
I
v
G
ω × GI (47)
De la Figura 29 se obtiene:
v
G
= v
G
i = r ω
i
GI = − r
j
ω = − ω
k ( ω > 0 )
Figura 29
a
I
2
r
j (54)
que es perpendicular a la superficie de contacto en el punto I y, por tanto, perpendicular a la
aceleración
a
G
Figura 31
Teniendo en cuenta lo anterior se puede escribir:
G :
v
G
ω × IG
a
G
α × IG
I :
v
I
a
I
2
IG = − ω
2
GI
6. Movimiento relativo a ejes en rotación. Aceleraciones de Coriolis
Hasta ahora se ha descrito la posición, la velocidad y la aceleración de cada punto del sólido
rígido utilizando un sistema de coordenadas fijo. La posición relativa, la aceleración relativa
y la aceleración relativa también se han descrito utilizando el mismo sistema de coordenadas
fijo.
Sin embargo, existe un tipo de problemas para los cuales conviene describir la posición o el
movimiento de uno de los puntos del sólido rígido relativo a un sistema de coordenadas en
rotación. Entre estos problemas se encuentran:
- El movimiento se observa desde un sistema que está girando. Por ejemplo, la Tierra
tiene un movimiento de rotación y los sistemas de coordenadas solidarios a la Tierra
son sistemas de coordenadas en rotación. Este efecto no es despreciable cuando se
describe el movimiento de cohetes o naves espaciales cuando se observan desde la
Tierra en rotación.
- Cuando los movimientos de dos puntos están relacionados de alguna manera pero no
son iguales y no están en un mismo sólido rígido. Por ejemplo, algunos mecanismos
están conectados por pasadores que se deslizan por ranuras. El movimiento relativo
se especifica de manera conveniente dando el movimiento de traslación y rotación de
la pieza que contiene la ranura, la forma de dicha ranura y la velocidad con que el
pasador la recorre.
- La solución de problemas de dinámica en los que interviene la rotación de cuerpos
rígidos de forma irregular. Los momentos y productos de inercia dependen del
sistema de coordenadas que se utilice para describirlos. Si los ejes están fijos, pero el
cuerpo gira, sus momentos de inercia variarán a menos que el cuerpo presente ciertas
simetrías. En cambio, si se deja que los ejes giren con el cuerpo, los momentos y
productos de inercia serán constantes.
Al derivar para obtener la velocidad y la aceleración habrá que tener en cuenta la rotación
del sistema de coordenadas.
Consideremos el ejemplo de la Figura 32. El punto A pertenece a un sólido rígido que gira
con velocidad angular
ω y con aceleración angular
α. Supongamos que el movimiento, es
decir, posición, velocidad y aceleración, del punto A pueda describirse fácilmente en el
sistema de coordenadas fijo XY. Por otra parte, supongamos que el punto B se mueva de una
manera prefijada relativa al sólido rígido giratorio – como un pasador que corra por una
ranura–. Se considera un sistema de coordenadas xy solidario al sólido rígido y que gire con
él.
Figura 32
Análisis del movimiento plano relativo por medio de ejes rotatorios
Posición (Figura 33):
r
A
= X
A
i + Y
A
j sistema XY (56)
r
B
= X
B
i + Y
B
j sistema XY (57)
AB = x
B
e
x
B
e
y
sistema xy (solidario con el cuerpo)
(58)
r
B
r
A
+ AB =
r
A
B
e
x
B
e
y
