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Lógica Proposicional
y
Teoría de Conjuntos
1. Rudimentos de Lógica
1.1. El método axiomático
Matemáticas es el estudio de las relaciones entre ciertos objetos ideales como números, funciones y figuras geométricas. Estos objetos no existen en el mundo real sino que son modelos abstractos de situaciones físicas. Para que un sistema matemático sirva como modelo de la realidad debemos tener en principio un método para reconocer enunciados verda- deros, aunque en la práctica alguno puede ser difícil de demostrar. Cuando los objetos de estudio nos son intuitivamente familiares (como los núme- ros enteros), tomamos como axiomas ciertas propiedades intuitivamente verdaderas e intentamos deducir a partir de ellas todas las restantes pro- piedades del sistema. Una vez elegidos los axiomas, podemos olvidar la interpretación intuitiva y vemos a nuestros objetos como entidades abs- tractas sujetas a los axiomas dados. Cuando vayamos a aplicar nuestro sistema a un caso concreto, debemos buscar una interpretación para cada noción introducida y verificar que en esta interpretación todos los axiomas son verdad. Entonces podemos concluir que todos los enunciados deri- vados de los axiomas también son ciertos. Esta consideración subraya la necesidad de mantener el sistema de axiomas lo mas pequeño posible. Dos ventajas de este método axiomático es que podemos examinar el efecto sobre nuestro sistema de variar los axiomas y que las demostraciones son mas trasparentes cuanto mas abstracto es el sistema. Por otra parte cuesta algún tiempo familiarizarse con las nociones abstractas. En esto puede ayudar el modelo mas o menos concreto en que se basa nuestro sistema, aunque no es estrictamente necesario y ciertamente no forma parte de la teoría.
Estudiar estas nociones abstractas es como aprender un idioma nuevo. Pero hay un aspecto en el que este proceso difiere de aprender un lengua- je: Debemos razonar sobre los nuevos conceptos y esto requiere atención cuidadosa a la interrelación lógica de los enunciados. Naturalmente es cierto que aún en la vida cotidiana podemos despreciar la lógica sólo bajo nuestra responsabilidad, pero la evidencia patente de lo absurdo de las conclusiones normalmente nos fuerza a abandonar una línea falsa de razo- namiento. Por contra cuando seguimos una línea abstracta de pensamiento sobre conceptos no familiares, podemos alcanzar por razonamiento lógico conclusiones que no podemos tamizar por el sentido común. Por tanto es importante estar totalmente familiarizado con las reglas lógicas que nece- sitamos y ser conscientes de que estas reglas pueden aplicarse sin mirar el significado actual de los enunciados a los que las aplicamos. Por esta razón empezamos describiendo brevemente algunos conceptos y notaciones de la lógica.
1.2. Proposiciones
Para nuestro propósito podemos suponer que cada proposición es o verdadera o falsa. Usamos “V” para verdadero y “F” para falso. El corres- pondiente valor V o F se llama el valor de verdad de la proposición. La Lógica Proposicional describe las formas en que podemos combi- nar enunciados (también llamados proposiciones) verdaderos para producir otros enunciados verdaderos. Usualmente se consideran cinco operaciones principales de ese tipo (llamados conectivos lógicos), aunque técnicamente podemos derivarlas todas de una o dos de ellas. Estas operaciones son: Sean A y B dos enunciados (no necesariamente distintos). Definimos la expresión “A y B” también escrito A ∧ B, y llamada la conjunción de A y B mediante una tabla de verdad
A V V F F B V F V F A ∧ B V F F F
Esta tabla muestra que A∧B es verdad cuando A y B son ambas verdaderas y es falso en el resto de los casos. Una segunda forma en que podemos combinar proposiciones es utili- zando la disjunción “A o B” que también se escribe como “A ∨ B”. Su tabla de verdad es: A V V F F B V F V F A ∨ B V V V F
Por ejemplo consideremos (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B:
A V V F F B V F V F A ⇒ B V F V V A ∧ (A ⇒ B) V F F F (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B V V V V
Así que (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B es una tautología porque en la última fila sólo aparecen V.
1.3. Predicados
Usualmente los enunciados simples discutidos hasta ahora no son su- ficientes para tratar las situaciones matemáticas. Además de las proposiciones necesitamos funciones proposicionales o predicados. Por ejemplo “x es un número impar” (x recorre los números naturales) o “x es mayor que y” (x, y son números naturales). En contraste con las proposiciones, un predicado ya no es verdadero o falso sino que sólo llega a serlo cuando se sustituyen valores particulares para las variables: “2 es un número impar”, “3 es mayor que 2”. En la práctica con frecuencia queremos decir que alguna afirmación P(x) sobre x es verdadera para todo x (en el universo de discurso). Denotamos esto por (∀x)P(x)
que se lee “Para todo x se verifica P(x)”. Decimos que la variable x está acotada por el cuantificador universal ∀. Para expresar que P(x) se verifica para algún x escribimos
(∃x)P(x)
que leemos “Existe un x tal que P(x)”. Aquí x está acotado por el cuantificador existencial ∃. Finalmente para expresar que P(x) se verifica exactamente para un sólo valor de x escribimos (∃ 1 x)P(x)
que leemos “Existe un único x tal que P(x)”. Ahora x está acotado por el cuantificador existencial especial ∃ 1. Cuando todas las variables que aparecen en un predicado están aco- tadas por cuantificadores, tenemos una proposición. Por ejemplo en el dominio de los números naturales (∀x)(∀y)(x + y = y + x) significa que para
cualesquiera x, y la suma x + y es independiente del orden de los térmi- nos. De la misma manera (∀x)(∃y)(x < y) dice que para todo x existe un y mayor que x, es decir que no existe un número máximo. Nótese que si aplicamos los cuantificadores en orden inverso obtenemos la proposición (∃y)(∀x)(x < y) que dice que existe un y mayor que todo x. Evidentemente esto es falso mientras que lo anteriores verdad, así que se debe prestar atención al orden en que se aplican los cuantificadores. Nótese también que una variable acotada puede siempre renombrar- se sin cambiar el significado. Así (∀x)P(x) significa exactamente lo mismo que (∀y)P(y); por esta razón una variable acotada se llama también “varia- ble muda”. Con frecuencia usamos esta libertad para evitar conflictos de notación. Por ejemplo en lugar de (a = x + y) ∧ (∀x)(a , 2 x) es preferible (a = x + y) ∧ (∀z)(a , 2 z). Ambas formas significan lo mismo, pero la segunda es menos propicia a las malas interpretaciones. Los cuantificadores universal y existencial están relacionados por las equivalencias siguientes, que nos permiten definir uno de ellos en términos del otro:
¬(∃x)¬P(x) ⇔ (∀x)P(x) ¬(∀x)¬P(x) ⇔ (∃x)P(x)
Con ayuda de estas fórmulas (y notando que ¬¬A ⇔ A) es fácil escribir la negación de cualquier fórmula con cuantificadores. Por ejemplo
¬((∀x)(∃y)(∀z)F(x, y, z)) ⇔ (∃x)(∀y)(∃z)(¬F(x, y, z))
1.4. Demostraciones
En cualquier teoría matemática hay axiomas de los que se derivan los teoremas mediante deducciones lógicas (demostraciones) usando también los teoremas lógicos (tautologías). No es necesario ni apropiado describir en detalle la forma que tendría una tal demostración. La presentación usual de las demostraciones, lógicamente informal pero matemáticamente rigurosa, se asimila mejor estudiando diversos ejemplos. Pero puede ser útil exponer rápidamente los principales métodos de demostración. Una demostración directa usualmente tiene la forma: “A es verdad y A ⇒ B es verdad, luego B es verdad”. En la lógica escolástica este proceso se llama modus ponens.
En la práctica aparece con frecuencia la frase “si y sólo si”. Muchas veces se abrevia por sii (en inglés iff ). También es útil tener un signo para indicar el final de una demostración. Tradicionalmente se utilizaban las abreviaturas QED (“quod erat demos- trandum”) o CQD (“como queríamos demostrar”). Pero en la literatura matemática mas moderna se usa o .
2. Conjuntos, Aplicaciones, Relaciones
2.1. Conjuntos
Un conjunto será una colección de objetos; a cada uno de estos objetos lo llamaremos elemento del conjunto. Si x es un elemento del conjunto X escribimos x ∈ X y si no es un elemento del conjunto X, entonces x < X. Llamaremos conjunto vacío , y lo escribiremos ∅, al conjunto que no tiene elementos. Dos conjunto X e Y son iguales si tienen los mismos elementos, esto es, x ∈ X ⇔ x ∈ Y. Dados dos conjunto X e Y, decimos que X es un subconjunto de Y si se verifica: para cada x ∈ X se tiene x ∈ Y, y lo escribimos X ⊆ Y. Un subconjunto X de Y se llama propio si es un subconjunto y no es igual a Y (a veces se escribe X * Y).
Lema 2.1. La igualdad de conjuntos verifica las siguientes propiedades:
- Para cada conjunto X se tiene X = X. (Propiedad reflexiva).
- Si X = Y entonces Y = X. (Propiedad simétrica).
- Si X = Y e Y = Z, entonces X = Z. (Propiedad transitiva).
Lema 2.2. La inclusión de conjuntos verifica las siguientes propiedades:
- Para cada conjunto X se tiene X ⊆ X. (Propiedad reflexiva).
- Si X ⊆ Y e Y ⊆ X, entonces X = Y. (Propiedad antisimétrica).
- Si X ⊆ Y e Y ⊆ Z, entonces X ⊆ Z. (Propiedad transitiva).
Si X es un conjunto y p es una propiedad que pueden o no pueden verificar los elemento de X, podemos definir un subconjunto Y de X de la siguiente forma: Y = {x ∈ X/p(X)} (esto es, Y es el conjunto de los elementos de X que verifican la propiedad p). Otra forma de definir un
conjunto es enumerando todos sus elementos, así el conjunto formado por los elementos a, b, c, d y e lo representaremos por {a, b, c, d, e}. A partir de un conjunto X podemos formar un nuevo conjunto P(X), que es el formado por todos los subconjuntos de X. P(X)lo llamaremos el conjunto potencia de X o el conjunto de las partes de X.
Lema 2.3. Para cada conjunto X se tiene ∅ ⊆ X.
Dados A, B ∈ P(X), definimos
La unión de A y B como
A ∪ B = {x ∈ X/x ∈ A ó x ∈ B}.
La intersección de A y B como
A ∩ B = {x ∈ X/x ∈ A y x ∈ B}.
El complementario de A en X como
A = CX(A) = {x ∈ X/x < A}.
Dos subconjuntos A y B de X se llaman disjuntos si A ∩ B = ∅. Eviden-
temente A y A son subconjuntos disjuntos. El teorema siguiente resume las propiedades principales de la unión, intersección y el complementario:
Teorema 2.4. Para A, B, C ∈ P(X), se verifica:
- Propiedad Conmutativa:
A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A.
- Propiedad Asociativa:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
- Propiedad de Idempotencia:
A ∪ A = A ; A ∩ A = A.
- Propiedad de Absorción:
A ∪ (A ∩ B) = A ; A ∩ (A ∪ B) = A.
2.3. Aplicaciones
Dados dos conjuntos X e Y, una relación de X en Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y. Una aplicación de X en Y, representada por f : X → Y (o también en
la forma X
f → Y) es una relación f ⊆ X × Y que verifica que ∀x ∈ X ∃!y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f. De manera mas informal, se tiene entonces que una aplicación de X en Y es una regla que asocia a cada elemento x de X un único elemento
de Y, al que llamamos f (x). En una aplicación distinguimos los siguientes elementos y conceptos:
Dominio de f : es el conjunto X.
Codominio de f : es el conjunto Y.
Imagen del elemento x ∈ X: es el elemento f (x) ∈ X
Si f : X → Y es una aplicación y A es un subconjunto de X, llamamos imagen ó imagen directa de A por f al siguiente subconjunto de Y:
f∗(A) = { f (a)/a ∈ A} ⊆ Y.
En particular si A = X, el conjunto f∗(X) se denota Img( f ) = { f (x)/x ∈ X} ⊆ Y y lo llamamos imagen de la aplicación f. Si B es un subconjunto de Y, llamamos preimagen ó imagen inversa de B por f al subconjunto de X
f ∗(B) = {x ∈ X/ f (x) ∈ B}.
Los dos lemas siguientes nos dicen el comportamiento de las funciones f∗ y f ∗^ respecto a la unión y la intersección de subconjuntos.
Lema 2.6. Sea f : X → Y una aplicación y sean A, B subconjuntos de X. Se verifican las siguientes propiedades:
- f∗(A ∪ B) = f∗(A) ∪ f∗(B).
- f∗(A ∩ B) ⊆ f∗(A) ∩ f∗(B).
- A ⊆ f ∗( f∗(A)).
Lema 2.7. Sea f : X → Y una aplicación y sean C, D subconjuntos de Y. Se verifican las siguientes propiedades:
- f ∗(C ∪ D) = f ∗(C) ∪ f ∗(D).
- f ∗(C ∩ D) = f ∗(C) ∩ f ∗(D).
- f∗( f ∗(C)) ⊆ C.
Dos aplicaciones f, g : X → Y son iguales si para cada x ∈ X se verifica f (x) = g(x). Es importante destacar que para que dos aplicaciones sean iguales han de tener el mismo dominio y el mismo codominio. Destacamos a continuación algunos ejemplos de aplicaciones que nos aparecerán con frecuencia a lo largo del curso:
Ejemplo 2.8. 1. Para cualquier conjunto X, la aplicación identidad es definida como sigue:
(^1) X : X → X ; (^1) X(x) = x, ∀x ∈ X.
- Sea A un subconjunto de un conjunto X, la aplicación inclusión de A en X se define por:
iA : A ↪→ X ; iA(a) = a, ∀a ∈ A.
- Sea f : X → Y una aplicación y sea A ⊆ X un subconjunto de X. Se puede entonces definir entonces una nueva aplicación de A en Y por
f |A : A → Y ; f |A(a) = f (a), ∀a ∈ A,
que llamaremos la restricción de f a A.
- Sean X, Y y consideremos el producto cartesiano X × Y = {(x, y)/x ∈ X e y ∈ Y}. Se tiene entonces las dos siguientes aplicaciones, llamadas las proyecciones canónicas :
pX : X × Y → X ; pX(x, y) = x, ∀(x, y) ∈ X × Y,
pY : X × Y → Y ; pY(x, y) = y, ∀(x, y) ∈ X × Y. A lo largo del curso nos aparecerán numerosos ejemplos de aplicacio- nes.
Propiedad Transitiva : Si (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R.
Sea R ⊆ X×X es una relación de equivalencia sobre X, si el par (x, y) ∈ R, decimos que x es equivalente a y, por la relación R y escribimos x ∼ y ó xRy. Esto es x ∼ y (ó xRy) ⇐⇒ (x, y) ∈ R.
Con esta notación las propiedades anteriores se escriben:
x ∼ x, ∀x ∈ X.
Si x ∼ y =⇒ y ∼ x.
Si x ∼ y e y ∼ z =⇒ x ∼ z.
A lo largo del curso nos aparecerán numerosos ejemplos de relaciones de equivalencia. Destacamos ahora le siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.10. Sea f : X → X′^ una aplicación. Entonces f define la siguiente relación de equivalencia sobre el conjunto X
Rf = {(x, y) ∈ X × X/ f (x) = f (y)
o bien, utilizando la notación anterior, Rf es dada por:
x Rf y ⇐⇒ f (x) = f (y).
Rf es llamada la relación de equivalencia asociada a la aplicación f.
Sea R(∼) una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada elemento x ∈ X definimos la clase de equivalencia de x (denotada ¯x) como el subconjunto de X formado por aquellos elementos que son equivalentes a x, esto es: x¯ = {y ∈ X/y ∼ x}. El conjunto de todas las clases de equivalencia de equivalencia de los elementos de X es denotado X/R y llamado el conjunto cociente de X por la relación de equivalencia R. Destacamos las siguientes propiedades importantes:
Ya que R es reflexiva, entonces x ∈ x¯ para cada x ∈ X; por tanto
x¯ , ∅ para todo x ∈ X.
Y además (^) ⋃
x∈X
x ¯ = X =
x ¯∈X/R
x ¯.
Observamos también que, para x, y ∈ X, se tiene
x¯ = y¯ ⇐⇒ x ∼ y. (2.1)
En efecto, si ¯x = y¯ entonces x ∈ x¯ =⇒ x ∈ y¯ y por tanto, x ∼ y. Recíprocamente, supongamos que x ∼ y y sea z ∈ x¯, entonces z ∼ x; puesto que x ∼ y, por la propiedad transitiva deducimos que z ∼ y, y por tanto z ∈ y¯. Así ¯x ⊆ y¯; un argumento simétrico muestra que ¯y ⊆ x¯ y por tanto ¯x = y¯.
Por último, se tiene que
dados x, y ∈ X entonces
x ¯ ∩ y¯ = ∅ ó x¯ = y¯
En efecto, si ¯x ∩ y¯ , ∅, entonces existe un elemento z ∈ x¯ ∩ y¯. Entonces z ∼ x y z ∼ y. Usando la propiedad simétrica, la propiedad transitiva se tiene que x ∼ y, y entonces por (2.1) ¯x = y¯.
Las tres propiedades anteriores se enuncian diciendo que el conjunto cociente X/R constituye una partición del conjunto X.
Finalmente, si R(∼) es una relación de equivalencia sobre X definimos la aplicación proyección de X sobre el conjunto cociente de X por R como
pR : X −→ X/R ; pR(x) = x¯ ∀x ∈ X.
Evidentemente, esta aplicación es sobreyectiva.
