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Universidad Nacional Experimental del T´achira
Departamento de Matem´atica y F´ısica
Asignatura: Matem´atica I
Ultima revisi´on: junio 2016
DERIVADAS
(I) En los ejercicios 1 a 6, empleando la definici´on de derivada, calcule la derivada en el n´umero
indicado x 0.
(1) f (x) = 1 + x − 2 x 2 ; x 0 = − 1 R. 5
(2) f (x) =
x
2 x − 1
; x 0 = 0 R. − 1
(3) f (x) =
3 − x
; x 0 = 1 R.
(4) f (x) =
x √ x + 1
; x 0 = 4 R. 3
(5) f (x) = x
x^2 + 1 ; x 0 = 1 R. 3
(6) f (x) = xcos(x); x 0 = π R. − 1
(II) En los ejercicios del 7 al 14, empleando la definici´on de derivada determine la derivada de la
funci´on. Deduzca el dominio de diferenciabilidad.
(7) f (x) = 5x + 3 R. f ′ (x) = 5; dom(f ′ ) = R
(8) f (x) = 18 R. f ′ (x) = 0; dom(f ′ ) = R
(9) f (x) = x^3 − x^2 + 2x R. f ′(x) = 3x^2 − 2 x + 2; dom(f ′) = R
(10) f (x) =
6 − x R. f ′(x) =
6 − x
; dom(f ′ ) = (−∞, 6)
(11) f (x) =
1 + 2x R. f ′(x) =
1 + 2x
; dom(f ′ ) = (− 1 / 2 , ∞)
(12) f (x) =
x + 1
x − 1
R. f ′ (x) =
(x − 1)^2
; dom(f ′ ) = R − { 1 }
(13) f (x) =
4 − 3 x
2 + x
R. f ′(x) = −10(x + 2)−^2 ; dom(f ′) = R − {− 2 }
(14) f (x) =
x − 1
R. f ′(x) = −
(x − 1)−^3 /^2
2
; dom(f ′) = (1, ∞)
(III) En los ejercicios del 15 a 24, realice lo siguiente: (a) Determine si la funci´on es continua en x 0.
(b) Calcule las derivadas laterales f ′ −(x^0 ) y^ f^
′ +(x^0 ) si existen. (c) Determine si^ f^
′ (x 0 ) existe, de
existir cu´al es el valor.
(15) f (x) =
x + 2 si x ≤ −4;
−x − 6 si x > − 4
x 0 = − 4
R. Si; f ′ −(−4) = 1, f^
′ +(−4) =^ −1;^ f^
′ (−4) no existe
(16) f (x) =
− 1 si x < 0;
x − 1 si x ≥ 0
x 0 = 0
R. Si; f (^) −′(0) = 0, f (^) +′(0) = 1; f ′(0) no existe
(17) f (x) =
x^2 si x ≤ 0;
−x^2 si x > 0
x 0 = 0. R. Si; f (^) −′(0) = f (^) +′(0) = 0; f ′(0) = 0
(18) f (x) =
5 − 6 x si x ≤ 3;
− 4 − x 2 si x > 3
x 0 = 3. R. Si; f (^) −′(3) = − 6 , f (^) +′(3) = −6; f ′(3) = − 6
(19) f (x) =
x − 2 si x < 0;
x 2 si x ≥ 0
x 0 = 0. R. N o; f (^) −′(0) = ∞, f (^) +′(0) = 0; f ′(0) no existe
(20) f (x) =
x
si 0 < x < 2;
x
4
si x ≥ 2
x 0 = 2. R. Si; f ′ −(2) =^ f^
′ +(2) =^ −^1 /4;^ f^
′ (2) = − 1 / 4
(21) f (x) =
(x − 2)^2
; x 0 = 2 R. N o; f (^) −′(2), f (^) +′(2) y f ′(2) no existen
(22) f (x) = | 1 − x 2 |; x 0 = ± 1 R. Si; f ′ −(−1) =^ −^2 , f^
′ +(−1) = 2;^ f^
′ (−1) no existe
Si; f (^) −′(1) = − 2 , f (^) +′(1) = 2; f ′(1) no existe
(23) f (x) = |x − 3 | ; x 0 = 3 R. Si; f (^) −′(3) = − 1 , f (^) +′(3) = 1; f ′(3) no existe
(24) f (x) = sign(x); x 0 = 0 R. N o; f (^) −′(0) = ∞, f (^) +′(0) = ∞; f ′(0) no existe
(IV) En los ejercicios 25 a 29, determine si la funci´on dada es derivable en el intervalo indicado. En
caso negativo justifique su respuesta.
- f (x) =
x , [0, 1]; R. N o.
- f (x) =
1 − x
x + 2
[− 3 , 0]; R. N o.
- g(x) =
x − 1
, [2, 3]; R. S´ı.
- h(x) =
1 /x si 0 < x < 2
1 − x/ 4 si x ≥ 2
; (0, 3]; R. S´ı.
- g(x) = | x + 1| , [− 2 , −1]; [− 2 , 0]; [− 1 , 0]. R. S´ı, N o, S´ı.
(42) Determine si f ′(0) existe o no.
(a) f (x) =
x sen
1 /x
si x ̸= 0;
0 si x = 0
(b) f (x) =
x 2 sen
1 /x
si x ̸= 0;
0 si x = 0
(VI) Halle la derivada de las siguientes funciones. Las letras a, b, c y d son constantes.
(43) y = 4x^2 − 6 x + 1 (44) y = 1 −
x
3
x^6
6
(45) y = 0, 5 x^4 − 0 , 3 x^2 + 2, 5 x (46) u = v 10 −
3 v^8
4
(47) s = 2t − 5
t 3
− 0 , 3 t − 2 (48) z = 2 +
3 y
y^2
(49) f (x) = 3x
5 (^6) − 10 − 4 x−^
2 (^3) (50) g (x) = ax^5 − bx−^4 + d + cx
3 2
(51) y =
− 2 x^6
3 a
(52) z =
x^3
a + b
x^5
a − b
− x
(53) z =
t 3 − bt 2 − 3
6
(54) y = 4
x +
2 x^2
(55) z =
3
t −
3
t
(56) u =
x
3
x^2
(57) y = (5x 4 − 4 x 5 ) (3x 2
(59) y =
x ex^ (60) y = xe^ + ex
(61) y = (x − 1) (x − 2) (x − 3) (62) y =
2 x 3 − 1
3 x 2 − 2
(6x − 5)
(63) z =
t (t^4 − 1) (t^6 − 2) (64) y = (
x − 1) (
x + 1)
(65) u = 2
x
x + x^2
(66) y = (
x − 3)
2 x −^1
(67) y =
x − 9
(68) y =
x
x − 8
(69) y =
x + 3
x − 3
(70) z =
t
t^2 + 1
(71) u =
2 t^3 + 1
t − 1
(72) y =
x^3 − 2 x
x^2 + x + 1
(73) y =
ax^2 + bx + c
x
(74) y =
ax^2 + bx + c √ x
(75) y =
ax^2 + b √ a^2 + b^2
(76) y =
x^2 + 1
x^2 − 1
− (x − 1)
x 2 − 1
(77) y =
(x − 1) (x − 3)
(78) y =
x
1 + 2
x
(79) y =
x
1 + 3
x
(80) y =
ex^ − 1
ex^ + 1
(129) y =
sec(x)
(130) y = csc
x^2
(131) y = sen 3
x
1 +
x
(132) y =
tg(x) √ 1 + sec^2 (x)
(133) y =
1 + sen(x)
1 − sen(x)
(134) y =
1 + cot
x +
x
(135) y =
cot
x 2
1 − cot^2
x
2
) (136)^ y^ =^
a sen^2 (x) + b cos^2 (x)
(137) y = cos (cos(x)) (138) y = sen (cos(x^2 ))
(139) y = sen 2 (cos(4x)) (140) y = sen (sen (sen(x)))
(141) y = cos 2 (cos(x)) + sen 2 (sen(x)) (142) y = tg (sen 2 (x))
(143) y = sen
tg
sen(x)
(144) y = e−^3 x
(^2) +
(145) y = 2
√ x (^) (146) y = xna−x^2
(147) y = 3cot(1/t)^ (148) y = 2^3
sen^2 (x)
(149) y =
log 5 (x) (150) y = ln
x
ex
(151) y =
ln(t)
e^2 t^
(152) y = ln
e^4 x^ − 1
e^4 x^ + 1
(153) y = e x ln(x) (154) y = ln
x + 1 √ x − 2
(155) y = ln
x + 1
x − 1
(156) y = ln (x^3 sen(x))
(157) y = ln
[
cos
x − 1
x
)]
(158) y = arccos
1 − x √ 2
(159) y = x arcsen
x
1 + x
x −
x (160) y = arctg
senx + cos(x)
sen(x) − cos(x)
(161) y = ln
arccos
x
(162) y = arctg
x^2 − 1 −
ln(x) √ x^2 − 1
(163) y = arctg
x
1 +
1 − x^2
(164) y = arccot
a − 2 x
2
ax − x^2
, (a > 0)
R. VI)
(43) y ′ = 8x − 6
(44) y′^ = x^5 − 1 / 3
(45) y ′ = 2x 3 −
3 x
5
(46) u′^ = 10v^9 − 6 v^7 +
6 v^2
5
(47) s′^ = −
t^6
5 t^3
(48) z′^ =
y^3
3 y^2
(49) f ′(x) =
x
3 x
x^2
(50) g ′ (x) = 5ax 4
4 b
x^5
c
x
(51) y ′ = −
4 x 5
a
(52) z′^ =
3 x 2
a + b
5 x 4
a − b
(53) z′^ =
3 t^2 − 2 bt
6
(54) y′^ =
x
x^3
(55) z′^ = 1 3
[
t^2
t
t
]
(56) u ′ =
x
[
3
x^2
x
]
(57) y′^ = − 64 x^7 − 14 x^6 + 90x^5
(58) y′^ = x^2 ex(3 + x)
(59) y′^ =
xex
[
2 x + 1
2 x
]
(60) y ′ = ex e− 1
(61) y′^ = 3x^2 − 12 x + 11
(62) y ′ = 72x 5 − 50 x 4 − 32 x 3
(63) z′^ =
t
[
21 t^9
2
13 t^5
2
− 9 t 3
t
]
(64) y ′ = 1
(65) u′^ =
x
x − 2
(66) y′^ =
x^2
x
x
x
(67) y′^ =
(x − 9)^2
(68) y ′ =
(x − 8)^2
(69) y′^ =
(x − 3)^2
(70) z′^ =
1 − t^2
(t^2 + 1)^2
(71) u′^ =
4 t^3 − 6 t^2 − 1
(t − 1)^2
(72) y′^ =
x^4 + 2x^3 + 5x^2 − 2
(x^2 + x + 1)^2
(73) y′^ = a −
c
x^2
(74) y′^ =
x
[
3 ax + b −
c
x
]
(75) y′^ =
2 ax √ a^2 + b^2
(76) y′^ =
− 4 x
(x^2 − 1)^2
− (3x 2 − 2 x − 1)
(77) y′^ =
−2(x − 2)
(x − 1)^2 (x − 3)^2
(78) y′^ =
x(1 + 2
x)^2
(79) y′^ =
x^2 (1 + 3
x)^2
(80) y′^ =
2 ex
(ex^ + 1)^2
(81) f ′(x) = 5 cos(x) − 2 sen(x)
(82) g ′ (θ) = cot x − θ csc 2 θ
(83) y ′ = senα[sen 2 α + 1]
(84) y ′ = sec 2 x + csc 2 x
(85) h′(t) =
1 + cos t
(86) f ′ (x) =
x sec^2 x − tan x
x^2
(87) g ′ (x) =
2 senx
[1 + cos x]^2
(88) y ′ =
(sent − cos t)^2
(89) y′^ = sec x −
sen^2 x
cos x
(90) y′^ = − ln(2)
)x
(91) y′^ = x 2 x(2 + x ln 2)
(92) y′^ =
−x(x − 2)
ex
(93) y′^ = ex
[
ln x +
x
]
(94) y ′ = 2 x
[
ln x +
x ln 2
]
(95) y′^ =
1 − ln(xx)
xex
(96) y′^ =
1 − ln(2)x ln x
ln(2)x 2 x
(145) y′^ =
ln(2)
√ x
x
(146) y′^ = xn−^1 a−x
2 [n − 2 ln(a)x^2 ]
(147) y′^ =
ln(3) csc^2 (1/t)3cot(1/t)
t^2
(148) y′^ = ln(2) ln(3)sen(2x)3sen
(^2) x 23
sen^2 x
(149) y′^ =
2 ln(5)x
log 5 x
(150) y′^ =
1 − x
x
(151) y ′ =
1 − ln(t^2 t)
te^2 t
(152) y′^ =
8 e^4 x
e^8 x^ − 1
(153) y′^ = [1 + ln x]ex^ ln^ x
(154) y′^ =
x − 5
2(x + 1)(x − 2)
(155) y ′ =
5(x^2 − 1)
(156) y′^ =
x
(157) y′^ =
−tg
x− 1 x
x^2
(158) y′^ =
1 + 2x − x^2
(159) y′^ = arcsen
x
1 + x
(160) y′^ = − 1
(161) y ′ =
2 x
x − 1 arc cos
√^1 x
(162) y′^ =
x 2 ln(x) + 1
x(x^2 − 1)^3 /^2
(163) y′^ =
1 − x^2
(164) y ′ =
ax − x^2
(VII) En las siguientes funciones halle los valores de x para los cuales f ′(x) = 0 ´o f ′(x) no existe.
(165) f (x) =
x^2 − 2 x (166) f (x) = x^3 3 −^4 x
2
(167) f (x) = 3 − 3
(x − 3)^2 (168) f (x) = x + 1 x
(169) f (x) = 9x e−x^ (170) f (x) = 4x^3 e−x
(171) y =
x − 1
(172) y =
3 x
1 − x
(173) f (x) = 2sen(x) − sen(2x)
R. VII):
(165) x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2
(166) x 1 = 2, x 2 = 6
(167) x = 3
(168) x 1 = 0, x 2 = − 1 , x 3 = 1
(169) x = 1
(170) x 1 = 0, x 2 = 3
(171) x = 1
(172) x = 1
x 1 y x 2 ∈ R : x 1 = 2nπ y x 2 = (6n ± 2)π 3 , n ∈ Z
(VIII) Dada la funci´on y, encuentre
d^3 y
dx^3
(174) y = x^3 + 2x^2 + 6x (175) y = x^5 + x^4
(176) y = (3x + 5)^3 (177) y = (3 − 5 x)^5
(178) y = sen(7x) (179) y = sen(x 3 )
(180) y =
x − 1
(181) y =
3 x
1 − x
(182) y = e^3 x^ (183) y = arctg(x)
R. VIII)
d^3 y
dx^3
d^3 y
dx^3
= − 27 x 6 cos(x 3 ) − 54 x 6 sen(x 3 ) + 6 cos(x 3 )
d 3 y
dx^3
= 60x 2
d 3 y
dx^3
(x − 1)^4
d 3 y
dx^3
d 3 y
dx^3
= 18(1 − x) − 4
d^3 y
dx^3
= −7500(3 − 5 x) 2 (181)
d^3 y
dx^3
= 27e 3 x
d^3 y
dx^3
= −343 cos(7x) (183)
d^3 y
dx^3
6 x^2 − 2
(1 + x^2 )^3
(IX) En los siguientes problemas determine f ′′ (2).
(184) f (x) = x 2
- 1 (185) f (x) = 5x 3
- 2x 2
- x (186) f (t) = 2/t
(187) f (u) =
2 u 2
5 − u
(188) f (θ) =
cos(πθ)
(189) f (t) = tsen(π/t)
(190) f (s) = s(1 − s^2 )^3 (191) f (x) =
(x + 1)^2
x − 1
R. IX)
(184) f ′′(2) = 2
(185) f ′′(2) = 64
(186) f ′′(2) = 1 2
(187) f ′′(2) = 100 27
(188) f ′′(2) = 2π^2
(189) f ′′(2) = −π
2 8
(190) f ′′(2) = − 900
(191) f ′′(2) = 8
(192) Determine una f´ormula para D n x
an− 1 x n− 1 +· · ·+a 1 x+a 0
. Sin realizar c´alculo alguno encuentre
la derivada D 4 x
3 x 3
y D 11 x
x 2 − 3
(XII) Suponiendo que en los siguientes ejercicios cada ecuaci´on define una funci´on derivable de x.
Encuentre Dxy por medio de la derivaci´on impl´ıcita.
(204) y^2 − x^2 = 1 (205) 9 x^2 + 4y^2 = 36 (206) x^3 + y^3 = 8xy
(207) x^2 + y^2 = 7xy (208)
x
y
x
y
= 2x
5 xy + 2y = y 2
y + 1 = xy + 1 (212) xy + sen(xy) = 1
(213) cos(xy^2 ) = y^2 + x (214) sec^2 (x) + csc^2 (y) = 4 (215) ctg(xy) + xy = 0
(216) xsen(y) + y cos(x) = 1 (217) cos(x + y) = ysen(x) (218) e xy
(219) ln(1 +
x^2 + y^2 ) − x + y = 0
R. XII)
(204) y′^ =
x
y
(205) y′^ =
4 y
(206) y′^ =
3 x^2 − 8 y
8 x − 3 y^2
(207) y′^ =
2 x − 7 y
7 x − 2 y
(208) y′^ =
−y^2
x^2
(209) y′^ =
(2x^2 + 3)y^2
3 x^2
(210) y′^ =
2 y^3
5 xy − 5 y
5 x + 4
5 xy − 4 y
5 xy − 6 xy^2
5 xy
(211) y ′ =
y + 1(y −
y + 1)
x − 2 x
y + 1
(212) y′^ =
−y
x
(213) y′^ =
−(1 + y^2 sen(xy^2 ))
2 y(xsen(xy^2 ) + 1)
(214) y′^ =
sen(x)sen 3 (y)
cos(y) cos^3 (x)
(215) y ′ =
y(csc 2 (xy) − 1)
x(1 − csc^2 (xy))
(216) y′^ =
ysen(x) − sen(y)
x cos(y) + cos(x)
(217) y′^ =
−sen(x + y) − y cos(x)
sen(x) + sen(x + y)
(218) y′^ =
−yexy^ − 2 x
xexy^ − 2 y
(219) y′^ =
x^2 + y^2 + x^2 + y^2 − x √ x^2 + y^2 + y + x^2 + y^2
(XIII) Encuentre la derivada en el punto indicado.
(220) x^3 y + y^3 x = 30, (1, 3); (221) sen(xy) = y, (π/ 2 , 1);
(222) y + cos(xy^2 ) + 3x^2 = 4, (1, 0); (223) arc tg(x + y) + y = π/ 4 , (1, 0);
(224) arctg(x − y) + x + y = π/ 4 , (1, 0).
R. XIII)
(220) y′(1, 3) = −^9 7
(221) y′(π/ 2 , 1) = 0
(222) y′(1, 0) = − 6
(223) y′(1, 0) = −^1 3
(224) y ′ (1, 0) = − 3
(225) Suponga que xy + y 3 = 2. Derivando impl´ıcitamente dos veces respecto de x se obtiene:
(a) xy ′
(b) xy ′′
- 2y ′
- 3y 2 y ′′
- 6y(y ′ ) 2 = 0
Despeje y ′ de (a) y sustituya en (b), finalmente despeje y ′′ .
(226) Determine y′′^ si x^3 − 4 y^2 + 3 = 0.
(227) Determine y′′^ en el punto (2, 1) si 2 x^2 y − 4 y^3 = 4.
(228) Determine y′′^ en el punto (3, 4) si x^2 + y^2 = 25.
R.
(225) y ′′ =
2 y(x + 3y 2 ) − 6 y 3
(x + 3y^2 )^3
(226) y ′′ =
48 xy^2 − 9 x^4
64 y^3
(227) y′′(2, 1) = − 5 2
(228) y ′′ (3, 4) = −
(XIV) En los siguientes problemas encontrar dy/dx por medio de la derivaci´on logar´ıtmica.
(229) y =
x + 11 √ x^3 − 4
(230) y = (x 2
(231) y =
x + 13
(x − 4) 3
2 x + 1
(232) y =
(x 2
2 / 3 (3x + 2) 2 √ x + 1
(233) y = (2x + 1) 5 (x 4 − 3) 6 (234) y =
x e x^2 (x 2
10
(235) y =
sen 2 (x) tg 4 (x)
(x^2 + 1)^2
(236) y =
4
x 2
x^2 − 1
(237) y = xx^ (238) y = xcos(x)^ (239) y = xsen(x)
(240) y = (
x )x^ (241) y = cosx(x) (242) y =
sen(x)
)ln(x)
(243) y =
tg(x)
) 1 /x (244) y =
ln(x)
)cos(x)
(3) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., “C´alculo”, 9na Edici´on, Pearson-Educaci´on.
(4) Saenz J., “C´alculo Diferencial con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencia e Inge-
nier´ıa”, 2da Edici´on, Hipotenusa, Barquisimeto-Lara-Venezuela.
(5) Stewart J., “Calculus”, Sexta Edici´on, Thompson Brooks/Cole.
