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6.1 DEFINICION. Consideremos un intervalo abierto I que contiene al punto a. Sea
f (x) una función a valores reales definida en todo punto x de 1, x + a. Decimos que
un número real L es el límite de f(x) en a , o que f (x) tiende a L cuando x tiende
a l punto a , si dado E > O, exista un 6 > 0 tal que O < Ix - a 1 e 6 , x en I implica
l f ( x ) - ~ I< E
En este caso escribimos lim^ f^ (x)^ =^ L
x+a
Consideremos la gráfica de la función f(x)
y ubiquemos al punto (a, L).
La afirmación que L es el límite de f(x) en
a significa que para cada E > 0 , por peque- ño que sea, debe existir un número 1 i > O tal que todos los puntos (x, f(x)) de la
gráfica de f (x), con x # a , deben encon-
trarse en el rectángulo comprendido por las rectas x = a - S , x = a + 6 , y = L - E , y = L + E. intuitivamente, lim f (x) = L sig- X+Q nifica que los valores de f(x) se aproxi-
man a L tanto como se quiera, cuando x se
aproxima al punto a , pero siempre con la condición de que x sea distinto de a.
a-6 a a+ intervalo I
x^3 - 1 EJEMPLO 1. Usando la definición de límite, determinar lim - x-bl x - 1
SOLUCION.
- En primer lugar estimamos por simple inspección el posible límite.
Ahora bien, si x se aproxima a 1, tanto en el numerador x 3 - 1 como el denominador
x - 1 se aproximan a O, y por consiguiente, el cociente se aproxima a la expresión
a , que no representa ningún número real. Para obviar esta dificultad, observemos que, cuando x + 1, se tiene
y el segundo miembro se aproxima a ( I ) ~+ (1)+ (1) = 3 , si x tiende a 1. Así, L = 3 es el posible límite.
x^3 - 1
- Enseguida probaremos que, en verdad, se tiene lim - = 3 , de acuerdo a la defi- x + l x - 1
nición de límite de una función. O sea que dado E > O debemos hallar 6 > 0 tal
que O c Ix - 4 c 6 implica que
x" - 1
Sea dado E > O. Para hallar 6 vamos a estimar el término - - 3, x # l. x - 1
Se tiene
Luego
Un primer paso consiste en controlar el tbrmino )x + 21. Si, por ejemplo, se cumple la condición lx - 4 5 l. (2) o, equivalentemente 0 5 x 5 2 , entonces 2 S x + 2 < 4, y por lo tanto lx + 21 S 4
Así, tenemos que I x - 4 Ix -21 < 41x - 4 (3)
siempre que O < Ix - 4 5 1.
.. 1 f (x) + g(x) = l b f (x) + lim g(x) x + a x+a x+a
lim f (x) - g(x) = lim f (x) - lim g(x)
x + a x+a %+a lim f (x) g(x) = lirn f (x) .lim g(x) x+a x+a x+a
lirn f(x) lim -^ f ( x )^ = x+a , cuando limg(x) O , .+a g(x) lim g(x) x+a X 3 0
en el sentido de que si existen 1im f ( x ) y lim g(x),
x - a x+a entonces tambibn existen los límites indicados en los primeros miembros y, además, se verifican las igualdades.
PROPIEDAD 3. Límite de una función polínomica.
Sea f (x) = bo + b,x + ... + bnxn una función polinómica, donde bo, b,, ... , b, , son cons- tantes reales. Entonces para todo número real a cumple
lirn (bo + b,x+ ...+ bnxn)=bo +bla+...+bnan x + a
PROPIEDAD 4. Kmite de una función racional.
Para todo número a tal que co + c,a + ... + c,an + O se cumple
b, + b,x + ... + bmxm bo + b,a + ... + b,am
lim n - - n
%+a c0 +clx+... +cnx c0^ +^ cla^ +^ ...^ +^ cna
PROPIEDAD 5. Límite de potencias^ y^ raíces.^ Si^ n^ es un número entero^ >^ O^ se cum-
plen
y en general, si p y q son dos números enteros > O , entonces se cumple PIQ iim [i(x)lpJ9= f(x)] x+a
en el sentido de que si existe lirn f (x), entonces existe el límite del primer miembro y
x + a se cumple la igualdad.
Límites de Funciones 127
Queda bien entendido que si n o q son números pares, debe asumirse que
lirn f ( x ) = L > O , a fin de que las raíces "JL o (L)''~ estdn definidas. .r+a
PROPIEDAD 6. Traslación de la variable independiente lirn f ( x ) = lirn f (a + h ) #+O h+O
EJEMPLO 1. Calcular lirn
SOLUCION. Si hacemos x = 1 obtenemos - - - que no representa ningún número o O
real.
Procedemos a simplificar la expresión
donde se h a hecho uso de la factorización 1 - x3 = ( 1 - x ) ( l +x + x 2 ).
Luego se tiene
para todo x z 1.
1 3 lim x-11 ( x + 2) 3 Tomando límites obtenemos lirn^ - -- 3 =^ -^ =^ --^ =- 1.
1 1 - 1 - x lim ( 1 + x + x 2 ) 3
x-
x^3 - 8
EJEMPLO 2. Calcular lirn - x-12 x4 - 16
SOLUCION. Aplicando la propiedad (6), si hacemos x = 2 + h , se tiene que
x^3 - 8 ( 2 + h ) 3- 8 - lirn - = lirn -^ (2)3+3(2)2h +^ 3(2)h2 +^ h3^ -^^8 1-12 x4 - (^16) h-ro ( 2 + h)4 - 16 (2)4 + 4(2)3h + 6(2)2h 2 + 4(2)h3 + h 4 - 16
h(12+6h+ h z ) 12 1
= lirn - - - = -
h-1° h(36 + 24h + 8h2 + h 3 ) 36 3 '
Límites de Funciones 129
Luego tenemos que i s e n x < 3%< i tg x ,
X 1 1<-c-, senx cosx
(dividiendo entre j s e n x )
sen x cosx < - c 1 (tomando inversos) (2) X
De d ( A , P) < arco AP se sigue que ,/(l-cosx)' + sen2 x < x , y elevando al cuadrado
1 - 2 cos x + cos^2^ x + sen^2 x < x^2 2-2cosx < X de donde 1-+x^2 <cosx.
De este modo de (2) y (3) tenemos ahora que para O < x < $
1-+x 2 <cosx<-sen x< 1
Supongamos luego que - 4 2 < x < O. Entonces O < -x < 4 2 y (4) se cumple para el ángulo -x
x 2 sen x 1--<cosx<- < 1. 2 x puesto que cos(-x) = cosx y sen(-x) = -senx.
Juntando (4) y ( 5 ) vemos que las desigualdades (1) se cumplen para todo x tal que
Finalmente, X^2 sen x 1 - < cosx < - < 1,
y puesto que 1im (1- $1 = 1, por el teorema del Sandwich (propiedad 7). llegamos a x-O sen x lim cosx = lim - -- 1,
x-90 x+o x
que era lo que se queríamos demostrar.
EJEMPLO 4. Probar que lirn sen x = O
x+o sen x SOLUCION. Se tiene lirn senx = lirn x x - = x+O x+o X sen x puesto que lirn - -- 1, por el ejemplo 3. #+O X
EJEMPLO 5. Probar que
(1) lirn sen x = sen a
x+a
(2) 1'^ im^ cos^ x^ =^ cosa x+a
SOLUCION.
(1) Haciendo x = a + h s e n x = s e n ( a + h ) = s e n acosh+cosa senh Por la propiedad (6) lirn sen x = lirn sen(a + h) = lirn (sena cos h + cosa sen h) x+a h+O h+O = (sen a ) lirn cos h + (cosa) lirn sen h L o 1 (h+O 1 Pero lirn cos h = 1 y lirn sen h = 0, por los ejemplos 3 y 4, respectivamente. h+O h+O Por lo tanto tenemos lirn sen^ x^ =^ sen^ a x+a (2) Se tiene lirn cos x = lim cos(a + h) = lirn (cosa cos h - sen a sen h) x+a h+O h+O =cosaxlim cosh-senaxlim senh=cosax 1-senaxO=cosa. h+O h+O
PROPIEDAD 9. Cambio de escala en la variable independiente. Si k # O entonces
lirn f (kx) = lirn f (x)
x+a x+ka
sen 5x EJEMPLO 6. Calcular lirn - %-'O sen3x
6.3 PROBLEMAS RESUELTOS.
PROBLEMA 1. Hallar lirn^ 2X3+ 5 ~ - 7
- 1 x2 + 1
SOLUCION. Puesto que ( - I ) ~ + 1 = 2 + 0, se tiene directamente
z X 3 + 5~ - 7 2(-q3 + 5(-1) - 7
lirn - -^ -^ - - -^^14^ =^ -7.
- 1 x 2 + 1 ( - I ) ~ + 1 2
x 2 -(a + 1 )x + a
PROBLEMA 2. Calcular lirn x - b a (^) x 3 - a^3 o SOLUCION. Sustituyendo x = a se obtiene -. Para cancelar el factor x -a, efec- o tuamos las descomposiciones
x 2 -(a + 1)x + a x - 1
Se tiene entonces lim = lim - - -^ a - 1
x+a x 3 - a^3 x + a x + a^2 3a
X" - a"
PROBLEMA 3. Hallar lirn
x - b a x - a
SOLUCION. Efectuando la sustitución^ x^ =^ a^ +^ h^ se tiene
x" - a m = (a + h)" - a" = (a" + m"-'h + (términos en h2))- a m m- = rnam-'h + (términos en h 2 ) = h(ma +^ (términos en^ h))
e igualmente xn - a" = h (nan-' + (términos en h ))
x m - a m (a + h)" - a m Luego lim = lim x+cr - a n (a + h)" - a"
ma"" +(términos en h) - mam-' m
= lirn h-o (^) mn-l + (términos en h) -^ - nan-' =^ -am-"n
ya que lirn (términos en h) = O.
h-O
Límites de Funciones 133
xn+l - ( n + i ) x + n
PROBLEMA 4. Hallar lim
x-bl ' ( x - 1)
SOLUCION. Haciendo x = 1 + h tenemos
( n + l)nh2 n+ 1 = l + ( n - l ) h + 2 +..+ h - ( n + l ) ( l + h ) + n = h 2 [ ~ + ( t l r m i n o s 2 enh) 1
x n t l - ( n + i ) x + n ( n + l ) n n ( n + 1) Luego lim = 1im [T +términos en h = - x+ 1 ( X - I ) ~ h-O 1 2
PROBLEMA 5. Hallar lim
q2 - 2 3 1 ; + 1 x-' ( x - 1)
SOLUCION. Efectuamos la sustituci6n x = y '. Se tiene
e - 2 ~ + 1 y 2 - 2 y + l lim = lim 1 ( x - l ) l
= lim (Y^ -^^112 2 =^ lim^^1 2 = -^1 =^ -^1 y j l (y - l)2(Y2 + y + 1 ) ~ + l ( ~ ~ + ~ + 32 l ) 9
y x - 1 PROBLEMA 6. Hallar lim - x + l G - 1
SOLUCION. Hagamos el cambio de variable x = y-. Luego
en donde para obtener la última igualdad hemos hecho uso del problema 3, con a = 1.
Limites de Funciones 135
PROBLEMA 10. Hallar lim (1- x) tg
x-b 1 2
SOLUCION. Se tiene x = h + 1,
,.[y] CoS - X I ~ COS - A 1IX
lim ( 1 - x ) t g - = lirn - h = lim - h = lim 2
x+I 2 h j o c o s [ ~ ] h+o -8en- h+o nh
sen -
2
tgx-senx
PROBLEMA 1 1. Calcular lim
%+O (^) X^3
SOLUCION. Tenemos
sen x
tgx-senx (^) - -
lim cosx
lim (sen x)^ (1^ -^ COS^ x)
x+o X^3 x+o X^3 =^ lim x-bo X^3 COSX
X
sen -
PROBLEMA 12. Hallar lim arc^ sen^ x^ y lim - arc^ tg^ x x+O X x-bo X
SOLUCION. Hacemos el cambio de variable x = sen y o y = are sen x.
Luego (^) lim a m^ sen^ x = lim - Y^ = lim -^1 = 1.
X+O x Y - ~ O seny y - b o seny
y s i y = a r c tgx, entonces x = t g y y
arctgx Y
lim - = lim - = lim ,cos^ y^ , - - -^1 = 1 X+O n: Y+O t g y Y+O \ sen y ) 1
PROBLEMA 13. Hallar lirn
arc tg 5x
%-+O sen3x
SOLUCION.
arc tg 5x 3 arctg5x 1
lim = lim - x x-^ =^ -^3^.
x-+O sen3x - 0 5 5x 5
1- 2cosx
PROBLEMA 14. Hallar lirn ,
X SOLUCION. Haciendo x = - + h tenemos que 3
Luego
1 - 2 + h] 1 - 2cosx 1 - c o s h + f i s e n h
lim = lim = lim
x+- h+o^ sen^ h^ h+o
3 sen(x - 3 )
sen h
s e 1
= lim + & = & ,
puesto que
lim = lim (^) h =^ - x l^ = o^.
h+o sen h h+o Senh 1
PROBLEMA 15. Unicidad del límite.
Probar que si limf(x)= L, y limf(x)=L2,
x-a x+a entonces se cumple que L, = L2.
(Bastará tomar O < E, <mínimo E , ya que entonces
Escribimos
f ( x ) g ( x ) - LlL2 = ( f ( x ) - L l ) g ( x ) + L1( g ( x ) - L, ) (restando y sunando L,g(x) 1
= ( f ( x ) - L , ) ( g ( x ) - L , ) + ( f ( x ) - L , ) L 2 + L,(g(x)-L2)
(restando y sumando ( f ( x ) - L1)L2 1
y obtenemos
Por otra parte, para E, se tiene que existen 6 , y S 2 > O tales que
O < lx - al < S 1 implica 1 f ( x ) - LII < E, (definición de^ lim^ f^ ( x )^ =^ L,), x-ba
y O^ <^ Ix^ -^ al^ <^ S ,^ implica^ Ig(x) -^ < E, (definición de^ lim X - m^ g ( x ) =^ L,^ 1.
Luego si tomamos 6 =mínimo { S , , t i 2 } > 0 , las dos implicaciones se cumplen para todo
x tal que O < Ix - al < S , y por consiguiente en (1)se tiene para tales x
(la última desigualdad se cumple por la elección de E,). Hemos probado asi que (^) lim f ( x ) g ( x ) = LlL. x+a
PROBLEMA 18. Probar que si lim f ( x ) = L y A < L < B , entonces existe un S > O tal
x+a
que ~ c l x - a J < ~ implica A < f ( x ) < B.
SOLUCION. Sea ~ = m i n i m o { L - A , B - L } > O.
Luego por definición de lim^ f^ ( x )^ =^ L^ existe un^ S^ >^ O^ tal que
x+a
Límites de Funciones 139
O e l x - a l e 6 implica ( ~ ( X ) - L ~ < E ,
Puestoque E I L - A y B-L,setieneque
L - ( L - A ) < L - E < f ( x ) < L + E < L + ( B - L )
O A e f ( x ) e B , para todo^ x^ tal que^ O^ c^ Ix^ -^ al^ <^ S^.
PROBLEMA 19. Probar que si lim g ( x ) # 0 , entonces x+a
lim - =
#-a g ( x ) lim g ( x ) x+a
SOLUCION. Llamemos lim g ( x ) = M # 0. X+Q Paso l. Existe 6, > 0 tal que O < lx - al < 6 , implica (^) Ig(x)l 2 -^ IMI. 2
En efecto, para E , = -^ IMI> O por definición de límite existe 6 , > O tal que O < Ix - al < 6 , 2 implica Ig(z) - M I < E , = M, y de esta desigualdad tenemos que 2
o sea que O < Ix - a/ < 6 , implica Ig(x)l 2 -^ IMI. 2
POSO 2. Prueba de lim - = - x- g(.) M ' Sea E > O. Tenemos que
para O < I x - a l < 6 , , por el paso 1.
Límites de Funciones 141
con u = f ( x ) y v = L ,tenemos
If(x)" - L" 1 S If(x) - L/M para O < lx - al e S ,
donde M = B ~ - ' + B " - ~ I L ~ +... + B I L ~ ~ - ~+1Lln-'.
Por otra parte, dado E > O existe un 62 > O tal que
8 O < Ix - a 1 e S2 implica (^) If(x) - LI < -
M
Si tomamos 6 = mínimo{^, ,62}, entonces 0 < 1 x - a 1 < 6 implica
ya que entonces las dos desigualdades (1) y (2) se verifican simultáneamente.
Así, O < lx - al < S implica (^1) f (x)" - L" 1 < E ,
y por lo tanto, hemos probado que
lim f ( x ) ~ = Ln =
x+a
PROBLEMA 22. Probar que lirn (6, + b,x + ... + bmxm ) = bo + b,a + ... + b,a m. x-a
SOLUCION. Es fticil ver que
lim bi = b,
x 3 a
lim xn = a n
x+a
(límite de una hnción constante)
(potencia de límites)
y por lo tanto
lim(b, + b , x +... + b m x m ) = lim b, + l i m 4 x lirnx+ ...+ = bo + b , a +.. .+bma^ m x+a x 3 a x 3 a x+a
PROBLEMA 23. Raíz de iímites.
Demostrar que (^) lim d f o = {-. %-+a %-+a
SOLUCION. Sea L = lim f ( x ). x+a
Consideremos los tres casos siguientes:
Caso 1. n es un entero cualquiera 2 1 y L > 0.
Por el problema 18 (tomando A = L < L ) existe un S, tal que -^ L < f ( x ) para todo x (^9) Y tal que 0<lx-a1 <S1.
Luego, en particular f ( x ) > O si o < I x - ~ I < s ,.
Usando la identidad
U - U =^ un^ - u n un-1 + Un-2u + ... + uvn-, + un-l
con u = d f o (^) y u = E , tenemos que
Luego,
yaque ~ P + ~ P ...+dL"-lL + > " J F cuando f ( x ) , L > O.
Si ahora E > O es dado, de lim f ( x ) = L se sigue que existe un S, > O tal que
x+a O < Ir - a1 < 6, implica (^) If(x)- L I < E d F (**)
Tomando 6 = mínimo {S,,S,} > O vemos que si O < Ix - al < S entonces se cumplen () y (*) a la vez y por lo tanto (^) -
Así, en el presente caso hemos demostrado que lim dm = a. x - a C-2. n e s i m p a r y L < O.
Entonces -L > O y lim dm = G, por el caso l. x - b a Luego, siendo n un número impar se tiene
Caso 3. n es impar y L = O
iim dm = C. x+a
Procedemos a probar directamente que lim dfixj = =^ 0. x+a
