Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Investigacion para transformada de laplace
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
1 / 31
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Ingeniería Mecánica
Aguilar Grajales Jhonny
Unidad 3. Transformada de Laplace
Montes Fragoso Javier Antonio, 22490603
Fecha:
Mexicali, BC a 15 de mayo de 2025
En esta última expresión, debido a que se tiene una integral impropia, se aplica el cambio de
variable en el extremo superior de integración y se aplica límite en dicha variable, esto es:
cómo se puede observar, la transformada de Laplace resulta una expresión que depende de
una nueva variable, en este caso "𝑠". Se debe tener en cuenta que se tuvo que poner una
restricción en “s” para poder calcular la transformación. Todas las transformaciones de Laplace
tendrán restricciones en “s”. En esta etapa del juego, esta restricción es algo que tendemos a
ignorar, pero realmente nunca debemos olvidar que está ahí.
La transformada de Laplace posee muchas propiedades que se aplican tanto en su definición
como en su aplicación a los problemas de valor inicial (PVI) de las ecuaciones diferenciales,
entre estas se tiene:
Sean 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) dos funciones, entonces:
Luego se calcula la integral impropia primero integrando, luego evaluando los límites
de integración y finalmente calculando el límite al infinito, de ahí que:
ℒ{ 1 } = lim
𝑏→+∞
−𝑠𝑡
= lim
𝑏→+∞
−𝑠𝑏
−𝑠(0)
= lim [−
𝑏→+∞
−𝑠𝑏
ℒ{ 1 } = lim [−
𝑏→+∞
𝑠𝑏
En esta última expresión se puede observar que cuando "𝑏" tiende al infinito,
entonces la primera fracción tiende a cero siempre que "𝑠" sea positivo y la segunda
fracción al ser contante queda igual; por lo tanto:
Propiedad de cambio de escala
Sea 𝑓(𝑡) una función con transformada de Laplace 𝐹(𝑠) y sea 𝛼 ∈ 𝑅 − { 0 }, entonces:
Propiedad de desplazamiento
Sea 𝑓(𝑡) una función con transformada de Laplace 𝐹(𝑠), entonces:
𝑎𝑡
𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠 − 𝑎)
Para cualquier constante 𝑎 ∈ 𝑅.
Propiedad de la derivada
Sea 𝑓(𝑡) una función derivable con transformada de Laplace 𝐹(𝑠) y cuyo valor inicial
𝑓 (0) está definido, entonces:
Propiedad de la segunda derivada
Sea 𝑓(𝑡) una función dos veces derivable con transformada de Laplace 𝐹(𝑠) y cuyos valores
iniciales 𝑓 (0), 𝑓′ (0) están definidos, entonces:
2
( 𝑓(𝑡)
2
𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓 ( 0 ) − 𝑓
′
(0)
Propiedad de la n-ésima derivada
Sea 𝑓(𝑡) una función n veces derivable con transformada de Laplace 𝐹(𝑠) y cuyos valores
iniciales 𝑓 (0), 𝑓′ (0), …, 𝑓
(𝑛−1)
(0) están definidos, entonces:
3 .1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de una función.
Sea f una función que cumple las siguientes condiciones:
1. Es seccionalmente continua sobre el intervalo t ≤ A para cualquier A > 0, esto es, posee a lo más un
número finito de discontinuidades de salto en dicho intervalo.
2. Es de orden exponencial para t ≥ M, es decir,
j f(t) j ≤ keat para t ≥ M dondek, a & M son constantes. (6.1)
Entonces L{f(t)} = F(s) existe para s > a.
Funciones f(t) que satisfacen a las condiciones del teorema anterior se denominan funciones
seccionalmente continuas de orden exponencial.
El orden exponencial que se exige a la función sólo se requiere a partir de t ≥ M ; puede suceder que en el
intervalo t < M no se cumpla la desigualdad (6.1) para algunas t < M , sin embargo, esto no es importante
pues no afecta la existencia de L{ f(t)}.
La siguiente gráfica ilustra las dos condiciones anteriores.
| ƒ (t) | ≤ Keat ⟡ —Keat ≤ ƒ (t) ≤ Keat
Hemos escrito anteriormente f(t) ›→ F(s) para indicar que L{ f(t)} = F(s) y también L—1{ F(s)} = f(t).
Esta práctica se apoya en la presunción de que la TL de funciones distintas debe dar como resultado
fun- ciones también diferentes.
Si dos funciones f(t) y g(t) tienen la misma TL, es decir, cumplen
L{f(t)} = L{ g(t)},
tenemos, por la linealidad de la TL, que:
L{f(t) — g(t)} = 0.
Es decir, para que las funciones f(t) y g(t) tengan la misma TL se debe cumplir:
e—st
[f (t) — g(t)] dt = 0.
∫
Dado que la función exponencial siempre es positiva, esta integral nos indica que f(t) y g(t) son
esencial- mente iguales. (Universidad Autónoma Metropolitana, 2010)
3.2 Transformada directa.
El cálculo directo de la transformada de una función mediante su definición no es, en general,
sencillo. No obstante, para algunas funciones elementales como las constantes, exponenciales,
trigonométricas, hiperbólicas y potenciales, es factible, con sencillos cálculos, obtener sus
transformadas. A continuación, veremos algunos ejemplos.
(Universidad Estatal de Milagro, 2019)
𝑐
3.4 Función escalón unitario.
Funciones escalonadas
Antes de proceder con la resolución de las ecuaciones diferenciales utilizando la
transformada de Laplace, se deben estudiar dos funciones conocidas como
escalonadas que permitirán simplificar ciertos problemas (Edwin Purcell, Dale
Varberg, 2007). A continuación, se definen estas funciones escalonadas y
adicionalmente se muestran sus correspondientes transformadas de Laplace y las
propiedades consecuentes.
Función Escalón Unitario o Heaviside.
Definición de Función Escalón Unitario.
La función Escalón Unitario se define como:
Su gráfica se muestra a continuación:
Figura 2: Gráfica de la función Escalón Unitario 𝜇 0
(𝑡). Fuente:
Creative commons Microsoft Word.
Transformada de Laplace de la Distribución Impulso Unitario
Mediante una tabla, a continuación, se presenta la transformada de Laplace
de la función generalizada Impulso Unitario.
Función Transformada de Laplace Condición
Tabla 4: Transformada de Laplace de la distribución Impulso Unitario Fuente: (Aguirregabiria,
(Universidad Estatal de Milagro, 2019)
Ejemplo 1:
Ejemplo:
Dado que la fórmula para f cambia en t = 2, escribimos
Para relacionar el primer término con una transformada de Laplace, sumamos y restamos
Para relacionar la última integral con una transformada de Laplace, hacemos el cambio de
variable x = t − 2 y reescribimos la integral como
Dado que el símbolo utilizado para la variable de integración no tiene efecto sobre el valor de
una integral definida, ahora podemos reemplazar x por la t más estándar y escribir
Esto y (9.8.4.3) implican que
Ahora podemos usar la tabla de transformadas de Laplace para encontrar que
(Cálculo21, s.f.)
3.5 Teoremas de traslación.
Primer y segundo teorema de traslación
Traslación en el eje s
Evaluar transformadas tales como + {e5t t 3} y + {e–2t cos 4t} resulta sencillo siempre que
conozcamos + {t 3} y + {cos 4t}, lo cual sabemos. En general, si conocemos + {f (t)} F (s) es posible
calcular la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de la función f, es decir, + {eatf
(t)}, sin ningún esfuerzo adicional que el de trasladar, o desplazar, F (s) a F (s – a). Este resultado
se conoce como primer teorema de la traslación o primer teorema del desplazamiento.
Traslación en el eje t
Función escalón unitario En ingeniería es común encontrar funciones que están en estado
“activo” o “inactivo”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúe sobre un sistema mecánico o
un voltaje aplicado a un circuito pueden ser suspendidas después de cierto tiempo. Resulta
conveniente, entonces, definir una función especial que sea del número 0 (inactiva) hasta cierto
tiempo t a, y de número 1 (activa) después de ese tiempo. Esta función se denomina función
escalón unitario o función de Heaviside.
(Zill & Cullen, 2008)
Teorema Expresión Transformada de Laplace Condición
Primer Teorema
de Traslación
𝑎𝑡
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 − 𝑎) 𝑠 > 0
Segundo Teorema
de Traslación
−𝑐𝑠
𝐹(𝑠) 𝑠 > 0
Tabla 5: Teoremas de Traslación
Fuente: (Aguirregabiria,2000)
(Universidad Estatal de Milagro, 2019)
(Atlantic International University, s.f.)
3.7 Transformada de una derivada y derivada de una transformada.
Este teorema se muestra en la ecuación 5.7 donde F(s) = L{f(t)} y su finalidad es cancelar la
derivada del orden que sea con tan solo multiplicar la variable s elevada al orden de la derivada
por la función y le resta sus condiciones iniciales.
La ecuación 5.8 muestra la transformada de Laplace de la primera derivada, donde se ve que se
multiplica por s la transformada de Laplace de la función menos su condición inicial, es
importante señalar que si no se cuenta con las condiciones iniciales ese término es igual a cero.
Aplicando este teorema para la segunda derivada se obtiene la ecuación 5.9, donde se ve que
ahora se multiplica F(s) por s
2
para así eliminar la segunda derivada y se le restan las condiciones
iniciales, de la misma manera si no existen condiciones iniciales esos términos son igual a cero.
(Universidad de Guanajuato, 2022)
Ejemplo 1:
(Zill & Cullen, 2008)
3.8 Teorema de convolución.
La convolución es una operación matemática que combina dos funciones para describir la
superposición entre ambas. La convolución toma dos funciones, “desliza” una sobre la otra,
multiplica los valores de las funciones en todos los puntos de superposición, y suma los
productos para crear una nueva función. Este proceso crea una nueva función que representa
cómo interactúan las dos funciones originales entre sí.
Formalmente, la convolución es una integral que expresa la cantidad de superposición de una
función, f(t), cuando se desplaza sobre otra función, g(t), de este modo:
La convolución f ∗ g de dos funciones f y g está definida por
Se puede demostrar (Ejercicio 6) que f ∗ g = g ∗ f ; esto es,
La ecuación (9.8.6.5) muestra que L
− 1
( FG ) = f ∗ g en el caso especial donde g ( t ) = e
at
. El siguiente
teorema establece que esto es cierto en general.
Teorema 9.8.6.1 El teorema de convolución
Si L ( f ) = F y L( g ) = G , entonces
L ( f ∗ g ) = FG. ♦
Una demostración completa del teorema de convolución está más allá del alcance de este
libro. Sin embargo, supondremos que f ∗ g tiene una transformada de Laplace y verificaremos
la conclusión del teorema de forma puramente computacional. Por la definición de la
Ya que,
y
Resulta que,
Una fórmula para la solución de un problema de valor inicial
El teorema de convolución proporciona una fórmula para la solución de un problema de valor
inicial para una ecuación de segundo orden de coeficiente constante lineal con un valor no
especificado. Los siguientes tres ejemplos ilustran esto.
Ejemplo 9.8.6.
Encuentre una fórmula para la solución del problema de valor inicial
y ′′ − 2 y ′ + y = f ( t ), y (0) = k 0
, y ′ (0) = k 1
Solución:
Tomando transformadas de Laplace en (9.8.6.7) se obtiene
Por lo tanto
De la Tabla de transformadas de Laplace,
Ya que
y
el teorema de convolución implica que
Por lo tanto, la solución de (9.8.6.7) es
(Cálculo21, s.f.)
