Continuidad de una Función
Estudiar la continuidad de la función en el punto
f x
( )
x
=
𝜋
3
f x
=( )
2
cos x -
1
cos x
+
( )
𝜋
6
si x
≠
𝜋
3
3
3
si x
=
𝜋
3
Para que sea continua en un numero tenemos que:
f
"
c
"
➔ exista.
f c
( )
➔ existe.
f x
lim
x
⇾
c
( )
➔
f x
=
f c
lim
x
⇾
c
( ) ( )
Tenemos por definición que existe.
f c
( )
f
=
𝜋
3
3
3
Procedemos a calcular si el limite cuando tiende a existe
y es igual a
x
𝜋
3
f
𝜋
3
lim
x
⇾
𝜋
3
2
cos x -
1
cos x
+
( )
𝜋
6
Evaluamos el limite
L
= = = =
2
cos -
1
cos
+
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
6
2
-
1
cos
1
2
𝜋
2
-
1
0
2
20
0
L
= lim
x
⇾
𝜋
3
2
cos x -
1
cos x
+
( )
𝜋
6
Aplicamos Cambio de Variable
w
=
x-
𝜋
3
x
=
w
+
𝜋
3
⇒
x
⇾
𝜋
3
w
⇾
0
L
= lim
w
⇾
0
2
cos w
+
-
1
cos w
+ +
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
6
L
= lim
w
⇾
0
2
cos w
+
-
1
cos w
+
𝜋
3
𝜋
2
Aplicamos,
cos
𝛼
+
𝛽
=
cos
𝛼
cos
𝛽
-
sen
𝛼
sen
𝛽
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L
= lim
w
⇾
0
2
cos w
cos -sen w
sen -
1
cos w
cos -sen w
sen
( )
𝜋
3( )
𝜋
3
( )
𝜋
2( )
𝜋
2
Sabemos que:
; ; ;
cos
=
𝜋
3
1
2
sen
=
𝜋
3 2
3
cos
=0
𝜋
2
sen
=1
𝜋
2
L
= lim
w
⇾
0
2
cos w -sen w -
1
cos w
0
- sen w
1
1
2( ) 2
3( )
( ) ( ) ( )( )
L
= lim
w
⇾
0
cos w -sen w -
1
-sen w
( ) 3 ( )]
( )
L
= lim
w
⇾
0
-
1
-cos w
+
sen w
-sen w
( ) 3 ( )
( )
L
= lim
w
⇾
0
1
-cos w
+
sen w
sen w
( ) 3 ( )
( )
L
= =
lim
w
⇾
0
1
-cos w
+
sen w
w
( ) 3 ( )
sen w
w
( ) lim
w
⇾
0
+
1
-cos w
w
( )
sen w
w
3 ( )
sen w
w
( )
L
= =
+
lim
w
⇾
0 1
-cos w
w
( ) 3 lim
w
⇾
0
sen w
w
( )
lim
w
⇾
0
sen w
w
( )
0 + 1
1
3 ( )
L
= 3
.
f
= = . =
𝜋
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
⇒
f
=
𝜋
33
Por lo tanto,
f x
=
f
lim
x
⇾
𝜋
3
( )
𝜋
3
Entonces es continua en el punto
f x
( )
x
=
𝜋
3
Capitulo 2 - Límite de Funciones y Continuidad
Autor: Ing. A.Hurtado
38
Ejemplo
