CALCULO VECTORIAL ING. BRENDA ANGELICA ARTEAGA ROSALES KARINA ELIZABETH GONZÁLEZ
GALÁN 860144150 ACTIVIDAD 6. INTEGRACIÓN 07/DICIEMBRE/2021 INTRODUCCIÓN La
integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una
integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños:
una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función. Los
principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A
través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la
integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular
fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser
herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. En el
siguiente trabajo observamos los conceptos de las diferentes formas de integrar: • Integral de
línea • Integral de superficie • Integral de volumen • Integral doble • Integral triple Las cuales se
desarrollan a través de la solución de un ejemplo A. Seleccionar un ejercicio de dificultad media de
las referencias proporcionadas que denoten la aplicación de cada tipo de integral descrita a
continuación (5 ejercicios en total): 1. INTEGRAL DE LINEA, aquella integral cuya función a integrar
es evaluada sobre una curva Evaluar la integral de linea donde c es la curva dada ∫ 𝒚 𝟑 𝒅𝒔 𝒄 𝒄: 𝒙
= 𝒕 𝟑 𝒚 = 𝒕, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐 ∫ 𝑦 3 𝑑𝑠 𝑐 𝐷𝑠 = ∅(𝑡)𝑑𝑡 𝑐: 𝑥 = 𝑡 3 𝑦 3 = 𝑤(𝑡) 𝑦 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 ∫ 2 0 𝑑𝑠
𝑑𝑡 = | 𝑑𝑟 𝑑𝑡| 𝑟(𝑡) = (𝑡 3 ,𝑡) 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = (3𝑡 2 , 1) | 𝑑𝑟 𝑑𝑡|= √(3𝑡 2) 2 + 1 2 reemplazar igualdad
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = √9𝑡 4 + 1 𝑑𝑠 = √9𝑡 4 +1𝑑𝑡 𝑑𝑠 = √9𝑡 4 +1𝑑𝑡 ∫ 𝑦 3 𝑑𝑠 𝑐 𝑥 = 𝑡 3 𝑦 = 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 ∫ 𝑡 3 √9𝑡
4 + 1𝑑𝑡 ∫ 𝑡 3√9𝑡 4 + 1𝑑𝑡 2 0 ∫ 𝒚 𝟑 𝒅𝒔 = 𝟏 𝟓𝟒 (√𝟏𝟒𝟓𝟑 + 𝟏) 𝒄 2. INTEGRAL DE SUPERFICIE,
aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie. Calcule la integral ∫ 𝒙 𝟐𝒛 𝒅𝑺 𝑺
siendo S la superficie externa de 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝒂 𝟐 entre 𝒛 = 𝟐 y 𝒛 = −𝟐 𝑥=𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑦=𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑧=𝑣 } → 𝑟(𝑢. 𝑣) = (𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑢, 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷 = [0, 2𝜋]x[−2, 2] Calcular producto
vectorial fundamental 𝜕𝑟 𝜕𝑢 (𝑢, 𝑣) = (−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑢, 𝑎 cos 𝑢, 0), 𝜕𝑟 𝜕𝑣 (𝑢, 𝑣) = (0, 0, 1) 𝑁(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝑟 𝜕𝑢 (𝑢, 𝑣)x 𝜕𝑟 𝜕𝑣 (𝑢, 𝑣) = 𝑖 𝑗 𝑘 −𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑎 cos 𝑢 0 0 0 1 = (𝑎 cos 𝑢, 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑢, 0); ‖𝑁‖ = 𝑎 ∫
𝑥 2 𝑧𝑑𝑆 = 𝑆 ∬ 𝑎 3 𝑣 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣 = 𝑎 3 𝐷 ∫ [∫ 𝑣 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑣 2 −2 ] 2𝜋 0 𝑑𝑢 = 𝑎 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑢 [
𝑣 2 2 ]−2 2 2𝜋 0 𝑑𝑢 = 0 la superficie es un cilindro circular recto 3. INTEGRAL DE VOLUMEN, Es
encontrado por rotación de una figura plana, el eje de la curva hace girar el eje de las
coordenadas. Hallar el volumen engendrado por el circulo 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒙 = −𝟑 al girar alrededor
del eje 𝑶𝑿 (𝑥 − 2) 2 + 𝑦 2 = 1 El centro de la circunferencia en 𝐶(2, 0) y el radio 𝑟 = 1. Los puntos
de corte con el eje 𝑂𝑋 son: (1, 0), (3, 0) 𝑦 = √−𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝑉 = 𝜋 ∫ (√−𝑥 2 + 4𝑥 − 3 3 1 ) 2𝑑𝑥 =
𝜋 ∫ (−𝑥 2 + 4𝑥 − 3)𝑑𝑥 3 1 𝜋 ∫ (−𝑥 2 + 4𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 3 1 𝜋 (− 𝑥 3 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) 3 1 𝜋 (− 𝑥 3 3 +
