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MATEMÁTICA
POR EXTENSIÓN
Es una agrupación o colección bien definida de objetos, donde cada uno es un elemento o miembro del conjunto que satisfacen ciertas propiedades específicas.
CONJUNTO
POR COMPRENSIÓN
UNIDAD 1: TEORÍA DE CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. UNIDAD 1: TEORÍA DE CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Matematica y estadistica ITEC- 2025^ Tec. en Higiene y Seguridad
¿Cómo definir conjuntos?
Definir un conjunto es algo que tiene que dejar perfectamente claro cuáles son los elementos que lo forman, ya sea enumerando dichos elementos o citando las características de los mismos. Quedando bien definido, sin ambigüedades, y pudiendo decidir con la definición cuando un elemento pertenece o no al conjunto. Hay dos maneras distintas de definir un conjunto, ellas son: Nombrando, uno por uno, a todos los elementos del conjunto. Aquí están los símbolos más usados para escribir conjuntos:
higiene y seguridadhigiene y seguridad Diciendo las "condiciones" que deben cumplir los elementos del conjunto. Ejemplo: Supongamos un conjunto formado por los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y llamemos a este conjunto "A". Este conjunto, lo podemos definir por ambas maneras: Por Extensión: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Por comprensión: Las condiciones que definen a este conjunto son: Que son números naturales y que son menores que 10, por lo tanto, si lo escribimos con símbolos matemáticos sería así: A={x/x∈N:x<10} NOTACION SIMBOLICA DE CONJUNTOS Prof. Aimé Kappes 1.
Dos conjuntos son iguales si y sólo si contienen los mismos elementos. Por lo tanto, A = B significa (∀x)[(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]
CONJUNTOS
IGUALES
CONJUNTOS
FINITOS E
INFINITOS
CARDINALIDAD
{x ∈ R | -2 < x < 3} Denota el conjunto que contiene todos los números reales entre -2 y 3. Este es un intervalo abierto, lo que significa que los puntos -2 y 3 no están incluidos. {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 3} Conjunto similar pero en un intervalo cerrado. Incluye todos los números del intervalo abierto descripto arriba y los extremos.
CONJUNTO
INTERVALO
Conjunto finito e infinito: descripto por el número de elementos en un conjunto. Los miembros de conjuntos infinitos no pueden ser listados, pero se puede indicar un patrón para listar elementos. Un conjunto que no tiene miembros es llamado nulo o vacío y está representado mediante ∅ o {}. Notar que ∅ es diferente de {∅}. El último es un conjunto con 1 elemento, que es el elemento vacío. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos dentro del conjunto. La cardinalidad de un conjunto S se denota |S|. CONJUNTO NULO O VACÍO
Ejercicios aplicativos Ejercicios aplicativos
- Problemas de Aplicación Problema 1: Un colegio organiza talleres de arte y deportes. El conjunto V representa a los estudiantes inscritos en arte, y W a los inscritos en deportes. Si V={Ana,Luis,Marta} y W={Luis,Carlos,Ana}, ¿son iguales V y W? ¿Cuál es la cardinalidad de V∪W? Problema 2: Una tienda registra las edades de sus clientes. Representa las edades como conjuntos intervalo según los datos: Menores de 18 años. Entre 18 y 60 años. Mayores de 60 años.
INCLUSIÓN
SUBCONJUNTO
Conjunto de Equipos de Protección Personal (EPP) Conjunto general (EPP): Considera un conjunto E que representa todos los equipos de protección personal. Por ejemplo: E={casco, guantes, gafas de seguridad, mascarilla, chaleco reflectante, botas de seguridad} Subconjunto de EPP para protección de la cabeza: Sea el subconjunto C que representa los elementos de protección para la cabeza: C={casco, gafas de seguridad} Los gráficos de conjuntos se realizan por medio de Diagramas de Venn. La misma consiste en dibujar una figura cerrada y dentro de ella se anotan los elementos del conjunto.
Grafica de conjuntos:
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Un conjunto A se denomina subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es tambien un elemento de B.
Propiedades Propiedades Dados los conjuntos A, B, y C, y un conjunto universal S y el conjunto vacío ∅, la siguientes propiedades se verifican: Propiedad conmutativa (pc) A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Propiedad asociativa (pa) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Propiedad distributiva (pd) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Propiedades de identidad (pi) ∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A S ∩ A = A ∩ S = A Propiedades de complemento (comp) A ∪ A′ = S A ∩ A′ = ∅ Ley de doble complemento (A′)′ = A Leyes de idempotencia A ∪ A = A A ∩ A = A Leyes de absorción A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A Representación alternativa de la diferencia A - B = A ∩ B′ Inclusión en unión A ⊆ A ∪ B B ⊆ A ∪ B Inclusión de intersección A ∩ B ⊆ A A ∩ B ⊆ B Propiedad transitiva de subconjuntos Si A ⊆ B, y B ⊆ C, entonces A ⊆ C
Ejemplo Sea A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3} A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)} ¿Es A × B = B × A?
Dados los conjuntos A y B, si A ∩ B = ∅, entonces A y B son
conjuntos disjuntos. En otras palabras, no existen elementos en A que
están también en B.
CONJUNTOS
DISJUNTOS
El producto cartesiano de A y B denotado simbólicamente A × B
se define como A × B = {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B }
PRODUCTO
CARTESIANO
Un par ordenado de elementos se escribe (x,y) Dos pares
ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si y sólo si a = c y b = d. Si S = {2,3} los
pares ordenados del conjunto son (2,2), (2,3), (3,2), (3,3).
PAR
ORDENADO
- Trabajar con conjuntos vacíos y cardinalidad. En una bodega de materiales peligrosos, se clasifica: Material inflamable: F={gasolina, acetona, etanol} Material no inflamable: N={agua, sal} Si un material no pertenece a F∪N, ¿Qué implica esto? ¿Existe algún material común entre F y N? Justifica con un conjunto vacío si aplica. Representa gráficamente la relación entre ambos conjuntos.
- Utilizar conjuntos intervalo para clasificar zonas de trabajo según el nivel de ruido. El nivel de ruido en decibelios (dB) se clasifica en: Zonas seguras: 0–85 dB. Zonas de advertencia: 86–100 dB. Zonas de peligro: Más de 100 dB. Representa cada categoría como un conjunto intervalo y gráficamente. Si el ruido en una zona es de 95 dB, ¿a qué categoría pertenece? Identifica el conjunto complementario de las zonas seguras.
- Problema final: Proyecto Integrador Objetivo: Integrar conceptos para analizar un caso completo. Caso: Una empresa necesita reorganizar su almacén según criterios de seguridad. El equipo debe: Clasificar materiales peligrosos y no peligrosos en conjuntos. Definir intervalos seguros de temperatura y humedad para almacenamiento. Representar en diagramas de Venn los tipos de incidentes registrados y las posibles intersecciones. A continuación, se presentan problemas de aplicación relacionados con las propiedades de los conjuntos:
- En una fábrica, se clasifican dos grupos de trabajadores: Trabajadores con cascos: A. Trabajadores con guantes: B. a. Verifica si A∪B=B∪A b. Explica el significado de esta propiedad en la práctica: ¿cambia el resultado al intercambiar los grupos?
- En una empresa se identifican tres grupos de trabajadores: A: Trabajadores capacitados en primeros auxilios. B: Trabajadores capacitados en manejo de extintores. C: Trabajadores capacitados en evacuación de emergencia. a. Comprueba si A∪(B∪C)=(A∪B)∪C b. Representa gráficamente la asociación entre estos grupos en un diagrama de Venn.
- En un almacén se tienen los siguientes conjuntos: A: Materiales inflamables. B: Materiales almacenados en cajas de cartón. C: Materiales almacenados en cajas metálicas. a. Verifica si A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b. Explica qué implica esta propiedad en la organización de los materiales según su tipo y embalaje.
- En una inspección de seguridad, se registraron los siguientes resultados: A: Zonas con señalización adecuada. El conjunto universal (S): Todas las zonas inspeccionadas. a. Verifica si A∪∅=A b. Describe cómo estas propiedades ayudan a interpretar los resultados de la inspección.
- En una planta, se identifican: A: Zonas seguras para el trabajo. A′: Zonas inseguras. a. Verifica si A∪A′=S (conjunto universal) y A∩A′=∅ b. Explica la relación entre zonas seguras e inseguras y su importancia en la seguridad laboral.
- En una empresa, se define el conjunto A: trabajadores capacitados para operar maquinaria. a. Verifica si el doble complemento (A′′) es igual a A. b. Explica el significado práctico de esta propiedad en la categorización de trabajadores. 7.En un taller, se clasifican los siguientes grupos: A: Herramientas verificadas para su uso. a. Comprueba que A∪A=A y A∩A=A b. Interpreta esta propiedad en términos de redundancia al clasificar herramientas.
- En un almacén, se identifican: A: Materiales inflamables. B: Materiales almacenados en cajas de cartón. a. Verifica si A∪(A∩B)=A y A∩(A∪B)=A b. Explica cómo estas propiedades pueden simplificar la clasificación de materiales.
- En un taller, se tienen los siguientes conjuntos: A: Máquinas que necesitan mantenimiento. B: Máquinas en uso. a. Representa A−B usando A∩B′ b. Describe qué significa este conjunto en el contexto del mantenimiento de maquinaria.
- En una planta química: A: Trabajadores capacitados en manejo de sustancias peligrosas. B: Trabajadores capacitados en uso de trajes de protección. a. Verifica si A⊆A∪B y A∩B⊆B b. Explica cómo estas propiedades ayudan a gestionar capacitaciones laborales. 11.En una empresa, se registran: A: Trabajadores con certificación básica en seguridad. B: Trabajadores con certificación avanzada en seguridad. C: Trabajadores con certificación completa en seguridad. a. Si A⊆B y B⊆C, verifica si A⊆C. b. Explica cómo esta propiedad puede ser útil para planificar el entrenamiento de los trabajadores.
