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Condiciones de frontera consucion bidimensional
Tipo: Resúmenes
1 / 9
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¡No te pierdas las partes importantes!
Índice
estacionario......................................................................................................................................... 3
1.1 Conducción bidimensional en estado estacionario................................................................... 3
1.2 Ecuación general de conducción bidimensional en estado estacionario .................................. 3
1.2.1 Explicación de los términos de la formulas ...................................................................... 4
1.3 Aplicación de las condiciones de frontera................................................................................ 4
1.3.1 Condición de Dirichlet (temperatura prescrita) ................................................................. 5
1.2.1 Explicación de los términos de la formulas
Temperatura
Para 𝑇 representamos la temperatura en un punto dentro del cuerpo.
Pero no es una sola temperatura, es una función que depende de dos variables espaciales:
Por ejemplo, en una placa delgada, la temperatura puede cambiar en la dirección horizontal (𝑥) y
vertical (𝑦).
Derivadas parciales
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑥
2
y
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑦
2
son derivadas que indican como cambia la temperatura, donde:
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑥
2
mide cómo cambia el gradiente de temperatura (la pendiente) en la dirección horizontal.
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑦
2
tiene la misma utilidad, pero en la dirección vertical.
Igualación a cero
2
2
2
2
La igualación a cero significa que no hay acumulación de calor en ningún punto. La cantidad de
calor que entra en un punto del material es igual a la que sale.
El desarrollo de la formulación en diferencias finitas de los nodos de frontera en los problemas
bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el caso unidimensional descrito al
principio. Una vez más, la región se divide entre los nodos mediante la formación de elementos de
volumen alrededor de ellos y se escribe un balance de energía para cada nodo frontera. Como se
discutió para una pared plana, se pueden manejar varias condiciones de frontera, excepto que los
elementos de volumen en el caso bidimensional comprenden transferencia de calor en la dirección
y así como en la dirección x. Las superficies aisladas todavía se conciben como “espejos” y se puede
usa el concepto de imagen especular con el fin de tratar los nodos sobre fronteras aisladas como
nodos interiores. Para la transferencia de calor en condiciones estacionarias, la ecuación básica que
se debe tener presente al escribir un balance de energía sobre un elemento de volumen es (figura 1 ).
∑ Todos los lados 𝑄
elemento
Figura 1. La formulación en diferencias finitas de un nodo frontera se obtiene al escribir un balance de energía sobre su elemento
de volumen.
1. 3 .1 Condición de Dirichlet (temperatura prescrita)
La condición de Dirichlet prescribe un valor fijo para la temperatura en la frontera de un dominio.
Esto significa que sabes exactamente cuál es la temperatura en los bordes de tu dominio y se utiliza
para definir las soluciones de la ecuación de conducción.
Por ejemplo, tomando en cuanta una placa rectangular, las condiciones de Dirichlet podrían ser algo
así:
1
(Temperatura fija en x = 0 )
2
(Temperatura fija en x = a)
3
(Temperatura fija en 𝑦 = 0 )
Como la condición es Dirichlet, necesitamos que 𝑇(𝑥, 𝑦) sea conocida en los bordes:
1
2
Entonces 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥) 𝑌(𝑦), debemos de tener 𝑋( 0 ) = 𝑇
1
y 𝑋(𝑎) = 𝑇
2
lo que implica que la
función 𝑋(𝑥) debe estar definida de tal forma que cumpla con estas condiciones.
La ecuación para 𝑋(𝑥) es:
′′
La solución general de esta ecuación depende del valor de 𝜆:
Si 𝜆 𝑛
𝑛𝜋
𝑎
2
(una constante positiva) a solución tiene la forma:
𝑛
𝑛
sin (
Donde A n
es una constante que se determina por las condiciones de frontera.
Ahora, aplicamos las condiciones de frontera de Dirichlet en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑎:
Esto obliga a que 𝑋
𝑛
(𝑥) sea de la forma sin (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) para n = 1 , 2 , 3.. ..
La ecuación para 𝑌(𝑦) es:
′′
Usando 𝜆 𝑛
𝑛𝜋
𝑎
2
la solución general es:
𝑛
𝑛
sinh (
n𝜋𝑦
a
𝑛
cosh (
n𝜋𝑦
a
Si la temperatura en 𝑦 = 0 𝑦 𝑦 = 𝑏 es conocida, usamos estas condiciones para determinar los
coeficientes 𝐵 𝑛
y C
𝑛
. Si 𝑇(𝑥, 0 ) = 0 y 𝑇(𝑥, 𝑏) = 𝑇
4
por ejemplo, esto nos permitirá obtener los
valores de 𝐵 𝑛
y C
𝑛
Llegamos a la solución final al juntar las soluciones para 𝑋(𝑥) 𝑦 𝑌(𝑦) obteniendo una serie general
para la temperatura:
𝑛
∞
𝑛= 1
sin (
n𝜋𝑦
a
) sinh (
n𝜋𝑦
a
Los coeficientes A 𝑛
se determinan a partir de las condiciones de frontera en 𝑦 = 0 𝑦 𝑦 = 𝑏, y pueden
encontrarse mediante la técnica de series de Fourier.
