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Juan Carlos Acosta Jiménez 1
Introducción a la Probabilidad
Conceptos básicos
El término experimento se utiliza en teoría de probabilidad para describir cualquier acción
o proceso que genera observaciones.
Un experimento aleatorio ó estocástico es aquel que al repetirse bajo las mismas
condiciones, no genera siempre los mismos resultados. En caso contrario, se llama
experimento determinístico.
Por ejemplos:
- Contar el número de días despejados en un mes específico del año.
- Contar el numero bacterias nocivas para la salud por 𝑐𝑚
!
de agua en una ciudad.
- Medir la cantidad de gramos de hidrocarburos emitidos por un automóvil por cada
dos kilómetros.
- Medir el nivel de precipitación que se produce en una época de interés.
- Medir la temperatura ambiente máxima durante una época de interés.
- Medir la velocidad del viento en una dirección preestablecida.
El espacio muestral
es el conjunto de todos los posibles resultados que se obtienen al
realizar un experimento aleatorio.
Un evento o suceso es un resultado experimental el cual puede ocurrir o no. En general es
un subconjunto del espacio muestral
Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado insesgado.
Ejemplo 2: Lanzamiento de dos dados.
Ejemplo 3: Lanzamiento de una moneda
Ejemplo 4: Lanzamiento de dos moneda
Ejemplo 5: Lanzamiento de tres monedas legales.
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Propiedades de los eventos
Sean 𝐴 "
!
$
eventos de un espacio muestral Ω, entonces:
- Dos eventos 𝐴 %
y 𝐴
&
se dicen que son mutuamente excluyentes ó disyuntos si 𝐴
%
&
para todo 𝑖 ≠ 𝑗.
- Si se cumple que 𝐴 "
!
$
= Ω, entonces, estos 𝑛 eventos se denominan
colectivamente exhaustivos.
- Decimos que estos 𝑛 eventos forman una partición si ellos son disyuntos y
colectivamente exhaustivos.
Algunas técnicas de conteo
Principio básico del conteo: Si un evento puede ocurrir de 𝑚 formas y si después que ha
sucedido puede seguir un segundo evento que puede ser de cualquiera de 𝑛 formas,
entonces, los dos eventos pueden ocurrir simultáneamente en el orden establecido de 𝑚𝑛
formas. Esta regla se puede extender a cualquier cantidad de eventos
Ejemplo 6: En una final de una carrera de atletismo, participan 5 corredores.
¿De cuántas maneras se puede organizar el podio?
Rta/ 5 × 4 × 3 = 60
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Principio de adición: Si los eventos 𝐴 "
!
(
son mutuamente excluyentes y si se
ocurren de 𝑛 "
!
(
formas diferentes, entonces, el evento 𝐴
"
(
ocurre de
"
!
(
formas diferentes.
Ejemplo 10: En Parchis, le toca lanzar al jugador verde, ¿De cuántas maneras puede matar
al jugador amarillo en un solo lanzamiento?
Rta/ Para matar a la ficha amarilla, el jugador verde debe obtener un 5, por ende, las
combinaciones posibles serian:
Esto es, hay 15 maneras de realizar dicha tarea.
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Ejemplo 9 : En el lanzamiento de dos dados, ¿De cuántas formas se puede obtener que
la suma de los números sea un siete o un ocho?
Rta/ 𝑠𝑢𝑚𝑎 7 = {( 5 , 2 ), ( 2 , 5 ), ( 4 , 3 ), ( 3 , 4 ), ( 6 , 1 ), ( 1 , 6 )}
Por tanto, hay 11 maneras de obtener una suma de 7 ó 8.
Permutaciones: Una permutación es un arreglo ordenado de una cantidad finita de
objetos distintos, donde el orden es importante. El número de permutaciones de un
conjunto de 𝑛 elementos distintos tomados de 𝑘 en 𝑘 sin repetición, está dada por:
(
Ejemplo 10 : Seis personas participan en una elección para ocupar cuatro cargos
importantes en su organización: presidente, vicepresidente, tesorero y secretario. ¿De
cuántas formas diferentes, pueden ocuparse los puestos?
Rta/
)
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6
1 × 2
= 3 × 4 × 5 × 6 = 360
Ejemplo 1 1 : Hay cuatro facturas diferentes que un gerente quiere ordenar, de izquierda a
derecha, en cuatro lugares distintos de su escritorio. ¿De cuántas maneras puede él
hacerlo?
Rta/
)
1 × 2 × 3 × 4
Combinaciones: Una escogencia de 𝑘 objetos de un conjunto de 𝑛 objetos distintos sin
importar el orden en que sean elegidos se llama combinación. El número de
combinaciones de un conjunto de 𝑛 elementos distintos tomados de 𝑘 en 𝑘 sin repetición,
está dada por:
(
= O
P =
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Definiciones de Probabilidad
- Probabilidad empírica : este concepto está basado en el llamado método de la
frecuencia relativa , el cual utiliza datos que se han observado empíricamente,
registrando la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la
probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos,
esto es: Si un experimento se repite 𝑛 veces, y 𝑛(A) de esas veces ocurre en el evento 𝐴,
entonces:
A
- Probabilidad clásica (de Laplace) : proviene de los juegos de azar y se emplea para
espacios muestrales finitos con resultados que suceden con la misma probabilidad, esto
es: Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral equiprobable 𝑆 que tiene # (𝑆)
elementos y 𝐴 es un evento 𝑆 que ocurre # (𝐴) maneras diferentes, entonces:
- Probabilidad subjetiva : permite asignar probabilidades con fundamento en la
experiencia previa, intuición, o en la opinión personal. En este caso después de estudiar
la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en
el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.
Por ejemplo:
- La probabilidad de que llueva mañana es del 70%.
- La probabilidad de que se produzca un terremoto en Cartagena antes del 2016 es
casi cero.
- La probabilidad de que haya vida en Marte es del 12%.
- Probabilidad matemática (axiomática): Sea
un espacio medible. Una aplicación
𝑃 definida sobre el sistema de subconjuntos 𝔉 y con valores en el intervalo ℝ
se llama medida de probabilidad o simplemente probabilidad, sí y solo sí se satisfacen
los siguientes tres axiomas.
i) 𝑃(𝐴) ≥ 0 para todo evento A ∈ 𝔉
ii) 𝑃
iii) Para cada sucesión de eventos 𝐴
"
!
, ⋯ , ∈ 𝔉 disyuntos dos a dos, se cumple la
llamada 𝜎 − 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑, esto es:
𝑃 ab 𝐴
$
,
$-"
c = d 𝑃
$
,
$-"
A la tripla (𝛺, 𝔉, 𝑃) se le llama espacio de probabilidad.
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
