Clasificación de superficies, Apuntes de Geometría

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Clasificación de superficies por M. A. de Prada Vicente Teorema de clasificación. Cualquier suporficie ccrrada es homeomorfa a una esfera, o a un espacio obtenido removiendo un número finito de discos disjuntos de una esfera de dimensión 2, y “tapando” cada uno de ellos con una banda de Moebius (un bonete cruzado) o un toro con un agujero (un asa). Equivalentemente, cualquier superlicio es homcomoría a una esfera, a una suma conexa de toros o a una suma conexa de planos proyectivos. Comentarios, La existencia de un teorema de clasificación de superficies es importante, hace que nuestro conocimiento de ellas sea más completo que el de variedades de dimensión superior. Se sabe que cualquier superficie compacta simplemente conexa es homeomorfa a 3%. No se conoce un resultado similar para variedades compactas de dimensión 3 (conjetura de Poincaré). Fxisten invariantes topológicos fáciles de calcular, que permiten determinar si dos variedades compactas de dimensión 2 son equivalentes (homeomorfas) o no. 5] as 76 Clasificación de superficies ¿Qué es una superficie? El concepto topológico de superficie es la abstracción matemática del con- cepto familiar de superficie en el espacio. Tl equivalente natural de una superficie, para dimensiones superiores, es el de una variedad n-dimensional. Una variedad n-dimensional, es un espacio topológico, localmente homeo- meorfo al espacio cuclídeo de la misma dimensión R”. Una variedad n-dimensional con borde, es un espacio topológica en el que cada punto tiene un entorno homecomorfo, bien a un disco abierto, E”, en el espacio euclídeo de dimensión n, o bien al subespacio" ((21,17,...,%n) € E” : x1 > 0). El conjunto de los puntos con un entorno homecomorfo a E”, se llama. el interior de la variedad, el conjunto restante constituye el borde de la variedad. Las variedades sin borde, se llaman cerradas. Entenderemos por superficie una variedad de dimensión 2, compacta y cone- xa. La esfera, el toro y el plano proyectivo real son ejemplos fundamentales de superficies, en el sentido de que cualquier superficie cerrada se puede obtener a partir de ellas, mediante el proceso, que precisaremos más adelante, de forinar sumas conexas. Las superficies pueden ser de dos tipos: orientables o no orientables. Dar una orientacion en el plano, por ejemplo, o en un pequeña región de él, es fijar el sentido de rotación en el plano, alrededor de un punto, que se considera como positivo y el que se considera como negativo; es elegir un sistema de coordenadas como positivo: si la matriz del cambio de base tiene determinante mayor que cero, decimos que las coordenadas son de la misma clasc. Si todo camino cerrado preserva la orientacion, es decir, si moviendo un círculo orientado a lo largo de un camino cerrado, no cambia la orientación cuando volvemos al punto de partida, la superficie se dirá orientable, y no orientable en caso contrario; es decir si existe al menos un camino cerrado que no la preserva. Un ejemplo de estas úllimas lo proporciona la banda de Moebius, y naturalmente cualquier superficie que contenga un subconjunto horueomorfo a ella. 78 Clasificación de superficies luvestigaremos las superficies, imaginando que están cortadas en pequeños trozos, triángulos curvilíneos, por ejemplo, y considerando la forma en que estos trozos se pueden pegar, como un puzzle. Fig. 3. Una superficie cerrada como un conjunto de triángulos emparejados. (a) Los triángulos; — (b) la superficie “ensamblada” como un tetracdro, Fig. 4. Una representación de la esfera, equivalente a (b) Topológicamente, las superficies de un tetraedro y una esfera son equiva- leru Fig. 5. Otras dos representaciones de la esfera Fig. 6. Reunión de los triángulos de la Fig. 3 (a) en una región poligonal En este sentido, decir que la superficio es coneza, cs decir que se puede pasar de un triángulo a otro, recorriendo una sucesión de triángulos adyacentes, con aristas identificadas. En caso contrario, nos encontraríamos con dos 81 Fig. 7. Representación poligonal octogonal a Fig. 3. Dos representaciones equivalentes Cualquier colección de letras, en las que ninguna aparece más de dos veces, y los superíndicos están arbitrariamente distribuídos, representa una superficie (se llama su símbolo poligonal). Modos permitidos de cambiar los símbolos, sin cambiar las superficies repre- sentadas (representaciones equivalentes) son: 1) En aristas libres, se puede cambiar el superíndice +1 por —1, y viceversa. En aristas identificadas, cambiar simultáneamente el superíndiec, en las dos apariciones de la arista. 82 Clasificación de superfcies 2) Escribir un símbolo en orden inverso. 3) Mover bloques de letras, desde el final de un símbolo al cornierzo. Dado un símbolo de dos aristas AA7!, se puede imaginar una cremallera a lo largo de las aristas identificadas, y, al cerrarla, deformar la superficie en una esfera. Fig. 9 Algunas superficies elementales y sus representaciones poligonales Fig. 9. La esfera 84 Clasificación de superficios El plano proyectivo real se define como el espacio topológico homeomorfo al espacio cociente de X = E-— (0), obtenido identificando pares de puntos di- ametralmente opuestos. Dos puntos de coordenadas (71, %2,13) e (Y1, Ya. Ya). donde una al menos de las coordenadas no es cero, representan el mismo punto si existe algún A € R (distinto de cero) tal que 2; = Ayí : 2 = 1,2,3, es decir si están sobre una misma recta que pasa por el origen. Podemos interpretar un punto del plano proyectivo corno una recta cn E, a la que le falta el origen, que pasa por el origen. La razón del nombre de plano proyectivo, viene de la geometría. proyectiva, cu la que un punto tiene coordenadas homogéneas (21, 02,73), siendo 11, 12,83 números reales, uno al menos distinto de cero, y el término “homogénca” significa que (21,72,23) € (Y, Y2, ya) representan el mismo punto, si se verifica la condición anterior, es decir: si existe algún A € R (distinto de cero) tal que 1; = Ay¡:i=1,2,3. Equivelentemente: Sea H = ([2,y,2) € SY : z > 0) el hemisferio superior cerrado de S?. Es evidente que, de cada par de puntos de S? diametralmente opuestos, uno al menos se encuentra en H. Si los dos se encuentran en H, entonces están sobre el ecuador, que es el borde de 7. Por tanto, se puede definir el plano proyectivo como el espacio cociente de H obtenido identificando los puntos diametralmente opuestos del borde de H. Como 11 es homeomorfo al disco cerrado unidad, E?, del plano, el espacio cociente de E? obtenido identificando los puntos diametralmente opuestos del borde es un plano proyectivo. A Fig. 11. Representación poligonal del plano proyectivo Fig. 12. La esfera con un honete cruzado Deformamos el disco CC hasta obtener una esfera con un agujero. “Hin chamos” una parte de la esfera conteniendo el agujero para obtener una ampolla (Fig. 12 (a)). Identificamos las aristas cpm y cgm del agujero (Fig. 12 (b) y (c)). Fig. 12 (4), muestra un corte horizontal entre los puntos rn y C 87 Fiz. 15. Construcción de la botella de Klcin a partir de un cuadrado Fig. 16. La botella de Klein 88 Clasificación de superficies Fig. 17. Banda de Moebius y bonete cruzado Cortamos el bonete cruzado de Fig. 12 (c), y lo extendemos sabre cl plano. Obtenemos la representación de la Fig. 17 (a). Después cortamos a o largo de las línea de puntos B; y By, separando la superficie en las partes 1 y TI (Fig. 17 (b)), que aparecen deformadas como rectángulos. Movemos los rectángulos para unirlos a lo largo de C. Reemplazamos las aristas By y Ba por una única arista 2. Observamos que las dos aristas B están identificadas (mirad sus vértices!). El resultado es una banda de Moebius (Fig. 17 (d)). Otra representación se obtiene cortando en (Fig. 17 (c)) por la diagonal A (Fig. 17 (e)), y pegando como se indica en la (Fig. 17 (£)). La Fig. 13 iuestra como cortar una botella de Klein, para obtener dos bandas de Moebias. 90 Clasificación de superficies bn a ta e EN be a b2 0) a da br e a bo D a Fig. 19. Suma conexa de dos toros o esfera con dos asas. (a) Dos toros disjuntos 7, y T2. (b) Los toros disjuntos con discos recortados, Pegados a lo largo de los bordes de los discos Fig. 20. Suma conexa de Lres toros o eslera con tres asas (e) 91 Fig. 21. Redurción a su forma poligonal de una esfera con tres asas. (a) La esfera. con tres asas. (b) Deformada a un toro con dos agujeros. (c) Preparación para climinar la segunda asa. (d) Separación a lo largo de A, con el asa retraída. (c) Separación a lo largo de Bz (f) Preparación para eliminar la tercer asa 93 (o) 23. Reducción de la esfera con tres bonetes cruzados a su forma poligonal. equivalente a la suma conexa de tros planos proyectivos) 94 Clasificación de superficios e € (b) 10] Fig. 24. Suma conexa de dos planos proyectivos. (a) Dos planos proyectivos disjuntos. (b) Los planos proyectivos con discos recor- lados. (c) Pegados a lo largo de los bordes de los discos