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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y
RLC
9.1. INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior vimos como los circuitos resistivos con capacitancias o los circuitos resistivos con inductancias tienen variables que son calculadas mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora vamos a ver que cuando en el mismo circuito tenemos inductancias y capacitancias las ecuaciones diferenciales resultantes serán de segundo orden, por lo cual los denominamos circuitos de segundo orden.
También veremos cómo en circuitos con inductancias y capacitancias la energía almacenada por uno de estos elementos puede ser transferida al otro. Esto puede producir repuestas de tipo oscilatorio, incluso cuando no hay fuentes en el sistema.
El procedimiento para encontrar las ecuaciones diferenciales de estos circuitos es el mismo que para los casos de orden uno. La solución de las ecuaciones diferenciales también es muy similar, pero ahora tendremos dos raíces de la ecuación característica, las cuales pueden ser reales diferentes, reales iguales o complejas conjugadas (con parte real igual o diferente de cero). En función de esto tendremos cuatro tipos de respuesta de estado cero: oscilatoria, subamortiguada, sobreamortiguada y críticamente amortiguada. Lo que será un poco más complejo ahora será el cálculo de las condiciones iniciales, ya que necesitaremos adicionalmente las condiciones iniciales de la primera derivada de la variable de interés.
9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO
El circuito de la Figura 9-1 muestra un circuito muy simple de segundo orden conformado por una capacitancia y una inductancia. Aunque este circuito no tiene fuentes, puede tener energía almacenada (condiciones iniciales) en cualquiera de los dos elementos o en ambos simultáneamente. La condición inicial del voltaje en la capacitancia nos fija el valor del voltaje en la inductancia, así como la condición inicial de la corriente en la inductancia nos determina la corriente en la capacitancia (pero con signo contrario).
Voltaje en la capacitancia
Vamos a encontrar la ecuación diferencial del voltaje en la capacitancia y resolverla (respuesta de entrada cero).
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
Figura 9-
La ecuaciones que describen el circuito son:
Nodo:
dt
dV i i C
C L =−C=−
Derivando
2
2
dt
dV C dt
di (^) L C =−
Malla:
− VC +VL= 0
dt
di V V L L C = L=
L C
L V L
V
dt L
di 1 1 = =
Igualando la derivada de la corriente de la inductancia tenemos:
C
L C V dt L
dV C dt
di 1 2
2
=− =
2
2
C V dt L
d V C
0
1 2
2
C V dt LC
dV
Como no hay entrada la respuesta depende exclusivamente de las condiciones iniciales con dos constantes indeterminadas A y B:
t t VC t Ae Be 1 2 ()
λ λ = +
Para encontrar la solución homogénea para el voltaje en la capacitancia
necesitamos conocer dos condiciones iniciales que pueden ser VC (t (^) o)y
( )
dt
dV (^) C to .
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
t t C V t Ae Be h
1 2 ()
λ λ = +
t LC
t j LC
j
C V t Ae Be h
1 1
( )
− = +
Como no tenemos entrada el voltaje en el condensador es:
t LC
t j LC
j VC t Ae Be
1 1
( )
− = +
Para encontrar las constantes indeterminadas utilizamos las condiciones iniciales:
V (^) C =VC =Ae +Be =A+ B
Para simplificar digamos que la corriente inicial en la inductancia es cero iL 0 = 0 ,
así que:
( ) Be A B A B LC
Ae j LC
j C
i V
L C′ =− = − = ⇒ − = ⇒ =
0 0
0 0 0
Reemplazando en la primera condición:
0
0
C
C
V A
A A V
Solución final:
−
−
t LC
t j LC
j C
t LC
j C
t LC
j C C
e e
V
e
V
e
V
V t
1 1 0
1 0
1 0
Usando la relación de Euler,
;sin( ) 2
cos( ) ( );cos( )
jx jx jx jx jx e e x
e e e x jsen x x
− − − =
podemos escribir:
LC
V t V t
C C 2 cos 2
0
LC
t V (^) C (t ) VC 0 cos
LC
Como se aprecia la respuesta es una señal oscilatoria de tipo AC con la amplitud de la condición inicial. La frecuencia de oscilación depende de los valores de L y C y no de las condiciones iniciales.
Otra manera de resolverlo, dado que las raíces son complejas conjugadas, es
asumir una solución de tipo senoidal con constantes indeterminadas A y φ :
9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO
VC (t)= Acos (ω t+φ)
con ω igual a la parte imaginaria de la raíz LC
De manera que V (^) C (t)= −ω Asen(ω t+φ)
'
Evaluando condiciones iniciales tenemos:
VC ( 0 )=Acos ( ) =VC 0
cos ( )φ
VC 0
A =
( ) C
i V A
L C
' (^0) ( 0 )=− sen =−
( ) CA
i (^) L
0 sen =
De la segunda ecuación seno se concluye que si iL 0 = 0 entonces φ = 0 , y que
A = VC 0. Así que
VC (t)= Acos (ω + t φ)
LC
t V (^) C (t ) VC 0 cos
tal como lo habíamos encontrado anteriormente.
Si la corriente inicial en la inductancia no es cero, un análisis similar nos lleva al
siguiente resultado:
LC
t
C
L
V (^) C (t ) VC iL cos
2 0
2 0
−
0
(^10) tan C
L
CV
i
ω
φ
LC
ω =
En esta última formulación vemos que si i (^) L 0 = 0 tenemos el mismo resultado
inicial.
Corriente en la inductancia
Con el resultado del voltaje sobre el condensador se puede obtener la corriente en
la inductancia i (^) L (t):
dt
dV i i C
C L =−C=−
Para el caso en que iL ( 0 ) =iL 0
− tenemos:
9.4. CIRCUITO RLC PARALELO
9.4. CIRCUITO RLC PARALELO
Figura 9-
Ecuaciones que describen el circuito
Nodo:
0
0 1
0
C
R L
R L C
R L C
CDV LD
V
R
V
CD
V
LD
V
R
V
i i i
KVL: VR =VL=VC
Ecuación diferencial para el voltaje
Con las anteriores ecuaciones se obtiene la ecuación diferencial para VC (t).
2 LDVC + RVC+RLCDVC=
C +^ C+ VC=
LC
DV
RC
DV
+ + VC
LC
D
RC
D
0
1 1 2
2
C C V dt LC
dV
dt RC
d V
9.5. COMPORTAMIENTO DE LA RESPUESTAS DE SEGUNDO ORDEN – ENTRADA
CERO
La forma general de ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:
2
2
dxt b dt
d xt
la cual se puede escribir usando el operador D como:
( ) 0
2 D + bD+cx=
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
La ecuación característica de esta ecuación será:
2
λ + b λ+c=
cuya solución es:
2
1
−b + b − c
λ = y
2
2
−b − b − c
De acuerdo a los valores que tengan λ 1 y λ 2 la respuesta homogénea puede tener
distintas formas, como lo muestra la siguiente tabla.
Tabla 9-1. Diferentes tipos de respuesta homogénea según las
raíces.
TIPO RESPUESTA GRÁFICA
Sobre- amortiguada
Raíces reales diferentes:
∈ ℜ
∈ℜ
≠
2
1
1 2
λ
λ
λ λ
4 0 2 b − c>
t t x t k 1 e^1 k 2 e^2
λ λ = +
Condiciones iniciales:
x ( ) 0 =k 1 +k 2
x′ ( ) 0 = λ 1 k 1 + λ 2 k 2
Críticamente amortiguada
Raíces reales iguales:
∈ ℜ
= =
λ
λ 1 λ 2 λ
4 0
2 b − c=
t xt k kte λ = 1 + 2
Condiciones iniciales:
x ( ) 0 =k 1
x ′ ( ) 0 =λk 1 +k 2
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
Ecuaciones que describen el circuito
Nodo: iR =iC=iL
Malla:
R L C
in R L C
Ri LDi V
V V V V
= + +
= + +
Ecuación diferencial para el voltaje en el condensador
Con las ecuaciones (1) y (2) se puede encontrar la ecuación diferencial para el voltaje en el condensador:
iC =CDV C
C C C
in
C C C
C C C
in C C C
V LC
DV L
R DV LC
V
LCD V RCDV V
RCDV LDCDV V
V Ri LDi V
2 1
2
= + +
= + +
= + +
= + +
V Kte LC
V dt LC
dV
L
R
dt
d V C in
C C
1 1 2
2
Solución de la ecuación diferencial:
La ecuación diferencial es de la forma:
x&& + bx&+cx= F
donde L
R b = y LC
c
1
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:
x =xh +x p
Solución homogénea:
De la ecuación diferencial se obtiene la siguiente ecuación característica:
2
4
0
2
1 , 2
2
b b c
b c
− ± −
λ
λ λ
Si λ 1 ≠ λ 2 Y se obtiene la siguiente solución homogénea:
t t x (^) h t Ae^1 Be^2
λ λ = +
Solución particular:
La solución particular es de la forma de la fuente, es decir, una constante:
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
0
0
=
=
=
p
p
p
x
x
x Kte
& &
&
Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
cx F
x bx cx F
p
p p p
=
&& + & + =
c
F x (^) p =
Solución completa:
La solución completa de la ecuación diferencial es:
c
F x t x t x Ae Be
t t = (^) h + p= + + 1 2 λ λ
Reemplazando los valores de la ecuación diferencial del voltaje en el condensador
se obtiene:
LC
LC
V
V t Ae Be
in
C
t t
1
= λ^1 + λ^2 +
VC ( )t Ae Be Vin
t t = 1 +^2 +
λ λ
Condiciones iniciales:
Caso 1: Raíces reales diferentes ( 4 0 )
2 b − c>
VC ( )t Ae Be Vin
t t = 1 +^2 +
λ λ
VC ( 0 ) =A+B+Vin
t t V (^) C t 1 Ae^1 2 Be^2
λ λ & =λ +λ
V&C ( 0 ) =λ 1 A+ λ 2 B
Caso 2: Raíces complejas conjugadas ( 4 0 )
2 b − c<
x ( ) t e [ A ( t) B ( t)] Vin
t = ω + ω +
σ cos sen
x ( 0 ) =A+Vin
x ( ) t e [ A ( t) B ( t)] e [ A ( t) B ( t)]
t t σ ω ω ω ω ω
σ σ & = ⋅ cos + sen + ⋅ − sen + cos
x& ( 0 )=Aσ +Bω
x (t ) Ke ( t ) Vin
t = ω+θ +
σ cos
x ( 0 ) =Fcos( ) θ +Vin
σ σ x t = ⋅Ke t+ − ⋅Ke t+
t t & cos sen
x& ( 0 ) =σ ⋅Kcos( )θ −ω⋅Ksen( )θ
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
Parte b)
2
2
2
//
//
LD R RLCD
LD
v
LCD
LD
R
LCD
LD
v R Z
Z
v v in in
L C
L C C in
( RLCD +LD+R)v (^) c =LDvin
2
c Dv in RC
v LC
D
RC
D
dt
dv t
RC
v t dt LC
dv t
dt RC
d v t in c
c c^1 () ()
2
2
Parte c)
El circuito equivalente, antes de cerrar el interruptor
− t = 0 , se muestra en la
Figura 9-6(a). Como el interruptor está abierto no hay corriente por la resistencia y
la fuente de voltaje no tiene efecto, así que solo debemos examinar lo que ocurre
con la inductancia y la capacitancia. Las condiciones iniciales son v (^) c ( 0 ) =Vc 0
− e
iL ( 0 ) =IL 0 −
. Ahora debemos encontrar las condiciones en
t = 0 , al cerrar el
interruptor. En ese momento intervienen la fuente y la resistencia. El circuito
equivalente en
t = 0 se muestra en la Figura 9-6(b). Por continuidad en C y L
tenemos :
( ) ( )
− + vc 0 = VC 0 =vc 0 y ( ) ( )
− + IL 0 = IL 0 =IL 0
A partir de estos valores podemos encontrar las condiciones en
t= 0
(a) (b)
Figura 9-
i. ( )
iL′ 0
( ) ( )
( ) = = =Li′( )t ⇒ dt
di t v t v t L L L C L ( )^ v ( )t L
i (^) Lt C
1 ′ =
( ) ( )
′ (^) = 0
L 0 vC L
i
( ) (^0)
L 0 VC
L
i ′^ =
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
ii. ( )
′ (^0) vc
( )
( )
dt
dV t i t C
C C =
( )
( ) ( ) [i ( )t i ( )t] C
i t dt C
dV t v t C R L
C c = = = −
( )
( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦
′ (^) = i t R
v t v t
C
v t L
in C c
( )
( ) ( ) ( )⎥
⎦
0
0 L
in C c i R
v v
C
v
( ) ⎥ ⎦
0
0 L
in C c i R
v V
C
v
Ejemplo 9-2. Circuito RC y L con interruptor.
El circuito de la Figura 9-7 tiene una fuente de voltaje Vs de tipo D.C.; el interruptor
ha estado cerrado por un largo tiempo antes de t 0 = 0 y alcanzó el estado estable.
En t 0 se abre el interruptor y se deja así por un corto tiempo hasta el instante t 1
(sin llegar a estado estable). Encontrar para t ≥ t 0 :
a. la ecuación diferencial para v (^) C (t).
b. ( 0 )
− v (^) C t , ( 0 )
− i (^) L t , ( 0 )
v (^) C t , ( 0 )
i (^) L t , ' ( 0 )
v (^) C t
c. v (^) C ( t 1 ≥ t≥t 0 ), ( 1 )
v (^) C t , ' ( 1 )
v (^) C t
d. v (^) C ( t≥ t 1 ), si R = 2 Ω, L = 1 H y C = 1/8 F y Vs = 10V.
Figura 9-
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
iR + iC−iL= 0
LD
v
CD
v
R
V C C L
LD
V v
CD
v
R
V C C S C
LD
V
V
LD
CD
R
S ⎟ C = ⎠
LD
V
V RLD
LD
CD
R
RLD
S ⎟ C = ⎠
(LD + RLCD +R) ⋅VC =RVS
2
C V S
LC
V
RC LC
D
D
Pasando al dominio del tiempo tenemos entonces la siguiente ecuación diferencial de orden dos:
C S
C C V LC
V t dt LC
dV t
dt RC
d V t 1 ()
2
2
Para resolver esta ecuación vamos a necesitar las condiciones iniciales en
t 1 : ( 1 )
v (^) C t y ' ( 1 )
v (^) C t.
Parte b)
Para el intervalo de tiempo anterior a t 0 = 0 no hace falta escribir la ecuación
diferencial ya sabemos que en t 0 = 0 se alcanzó el estado estable y que como la
fuente es de tipo D.C. el condensador está abierto y la inductancia en corto circuito. Esto nos permite encontrar las condiciones iniciales.
En
− t 0 :
Figura 9-
vC ( t 0 )= VS=vC(t 0 )=vC 0
− +
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
R
V
R
V t
R
v t i t
R S S L = = =
− − − ( ) ( ) ( )
0 0 0
En
t 0 :
Figura 9-
Por continuidad del voltaje en la capacitancia y dado que se alcanzó el estado
estable en t 0 tenemos:
vC t = vC t =vC =V S
Aquí ya no es válida la continuidad de la corriente en la inductancia ya que el
interruptor está abierto y se debe respetar KCL:
− + i t R
V
i t L
S L
Para encontrar ' ( 0 )
v (^) C t usamos la relación entre corriente y voltaje en la
inductancia y el hecho de que el interruptor está abierto que implica que iC = −iR:
dt
dv t i t C
C C
C
i t
dt
dv (^) C (t ) C()
RC
v t
C
R
v t
C
i t
C
i t
dt
dv t v t
R
R
C C R C
0
0
' 0 0 0 0
= = =− =− =−
Como R y C están en paralelo:
RC
V
RC
v t v t
C S C =− =−
' 0 0
Parte c)
Para encontrar las condiciones iniciales en t 1 necesitamos resolver la ecuación del
voltaje en la capacitancia v (^) C (t)en el intervalo [t 0 ,t 1 ]y evaluarla en t 1.
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
( ) (ω θ)
σ v t = Ke t+
t Ch cos
Donde K y θ son constantes indeterminadas.
( ) = ( +θ)
− v t Ke t
t Ch cos^2
2
La solución particular será:
( ) (^) S
S
Ch V
LC
V
LC
c
F
v t =
Así que la solución completa es para t ≥ t 1 :
vC (t ) Ke ( t ) VS
t = + +
−
cos 2 θ
2
( ) = − ( +θ ) − ( +θ)
− − v t Ke t Ke t
t t C 2 cos^22 sen^2
' 2 2
Ahora evaluamos condiciones iniciales:
( )
( 1 0 )
1
1 1
t t RC V (^) C vCt VSe
− −
= =
( )
1 1 4 1
1 0
1
C S VC V C
RC
Ve RC
v t
t t RC =− =− =−
− −
( ) ( )
( 1 0 ) 1
1
1 cos^211
2
t t RC v t Ke t VS VC VSe
t C
− −
= + + = =
−
( ) ( 1 ) ( 1 ) (^1)
' 1 2 cos^22 sen^24
(^21 ) C
t t vCh t = − Ke t + − Ke t + =−V
− −
( )
( ) [ ]
⎩ (^ )
−
− −
1
0 1 0 cos 2 ,
2
(^40)
Ke t V parat t
V e parat t v t t
S
S C (^) t
tt
( )
( ) [ ]
⎩ (^ )
−
− −
1
0 1 0 cos 2 10 V ,
10 V , ,
2
(^40)
Ke t parat t
e parat t v t t t
tt
C
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
9.7. SIMULACIONES
9.7.1. RESPUESTA DE CIRCUITO RLC A DIVERSAS ENTRADAS.
Figura 9-
Descripción
Esta simulación permite mostrar el comportamiento de circuitos RLC de segundo orden, las raíces de la ecuación característica, y el comportamiento del circuito en función del tipo de raíces obtenidas. También permite analizar el comportamiento en función de los parámetros de los componentes RLC, de las condiciones iniciales y del tipo de entrada AC y DC.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos de circuitos RLC o segundo orden, representación de circuitos por ecuaciones diferenciales, condiciones iniciales, respuesta natural y respuesta particular, el estudiante puede variar las condiciones iniciales en la inductancia y la capacitancia y la señal de entrada y observar sus efectos en la respuesta del circuito en tiempo real. Los cambios se pueden dar el
