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Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica. Vol. 20, N.º 2, pp. 83-90, 2016
ANÁLISIS DE POSICIÓN DE UN MECANISMO DE CUATRO BARRAS
UTILIZANDO COORDENADAS NATURALES
NEIDER NADID ROMERO NUÑEZ
Universidad de Pamplona Grupo de Investigación en Ingeniería Mecánica (GIMUP) Km. 1 vía Bucaramanga, Pamplona Norte de Santander, Colombia
(Recibido 20 de enero de 2016, para publicación 9 de marzo de 2016)
Resumen – En este artículo se propone la utilización de coordenadas naturales en la formulación de las ecua- ciones de restricción de un mecanismo de cuatro barras para resolver el problema de posición de forma cerrada o analítica, con el objetivo de evitar las complejidades que conlleva el uso del método tradicional en el cual se utilizan coordenadas angulares y, donde las restricciones se derivan de la condición de cierre de lazo. Se modeló utilizando coordenadas naturales en un mecanismo de cuatro barras junto con un punto del acoplador, debido que la trayectoria deseada de este punto es un problema de especial importancia en la síntesis dimensional. Las restricciones obtenidas se resolvieron de forma analítica, para luego ser implementas en la simulación del meca- nismo para cada una de sus configuraciones. Finalmente se concluyó que el uso de coordenadas naturales para la solución del problema de posición de un mecanismo de cuatro barras, origina ecuaciones de restricción que pueden resolverse analíticamente de forma sencilla, y de esta manera proporcionando una solución alterna al problema de posición.
Palabras clave – Mecanismo de cuatro barras, análisis de posición, coordenadas naturales.
1. INTRODUCCIÓN
El análisis de posición de mecanismos es un problema matemáticamente complejo, y en la mayoría de los casos solamente se pueden obtener soluciones aproximadas, solo en casos donde la geometría del mecanismo no es muy compleja se pueden derivar soluciones analíticas o cerradas [1]. Los métodos para resolver el problema de posición de mecanismos eran puramente geométricos antes del auge de las computadoras, por lo que el análisis de posición era bastante limitado. En la actualidad se encuentran en la literatura varios métodos para solucionar este problema, como en A. Hernández y V. Petuya[2] que proponen un método geométrico iterativo, basado en la condición de rigidez de cada elemento del meca- nismo. S. Mitsi[3] presenta un método para determinar la distintas configuraciones de un mecanismo con una cadena cinemática del grupo de Assur de clase 4, usando un procedimiento de eliminación de pará- metros desconocidos hasta llegar a un polinomio de sexto orden, donde las raíces de dicho polinomio representan las distintas configuraciones del mecanismo. También se presentó el mismo procedimiento en S. Mitsi y otros [4] para un mecanismo con tres juntas prismáticas, obteniendo un polinomio de cuarto grado. Otros métodos más actuales que abordan el problema de posición de mecanismos planos, son basados en un área relativamente nueva de la matemática llamada Geometría Algebraica, que trata de la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas. Los trabajos más representativos que utilizan esta herramienta matemática para solucionar el problema de posición son los presentados por N. Rojas[5–7], en estos tra- bajos no son utilizadas coordenadas angulares y el problema se reduce a encontrar las raíces de un poli- nomio por el método de continuación, lo que proporciona todas las configuraciones posibles del meca- nismo. En cuanto a la utilización de coordenadas naturales para solucionar el problema de posición de meca- nismos planos se destaca el estudio realizado por N. Romero[8] donde utiliza coordenadas naturales para
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modelar mecanismos de dirección vehicular de cuatro hasta ocho barras, para luego ser optimizados utili- zando algoritmos genéticos, obteniendo resultados satisfactorios en cada uno de los casos. Las coordena- das naturales fueron introducidas por J. De Jalón y colaboradores [9] para modelar sistemas multicuerpos y con ello solucionando tanto los problemas cinemáticos como dinámicos de mecanismos. En la mayoría de los métodos utilizados para resolver el problema de posición de mecanismos se utiliza coordenadas angulares para definir las ecuaciones de restricción que modelan el mecanismo, aplicando técnicas numéricas para resolver el sistema de ecuaciones que generalmente es no lineal. Por lo tanto en este trabajo se propone la utilización de coordenadas naturales para resolver particularmente el problema de posición de un mecanismo de cuatro barras de forma analítica, con lo cual se ofrece una solución alter- na a la tradicionalmente usada. En la siguiente sección se formulan las ecuaciones restricción de un mecanismo de cuatro barras. En el tercer apartado se resuelven de forma analítica las ecuaciones de restricción. Subsecuentemente se im- plementan las ecuaciones obtenidas en Matlab. Finalmente se destacan las ventajas de la solución obteni- da frente a la solución tradicionalmente utilizada.
2. RESTRICCIONES CINEMÁTICAS DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS
En un mecanismo de cadena cinemática cerrada existe dependencia entre las coordenadas elegidas para su modelación, lo que significa que las coordenadas están relacionadas entre sí, y dichas relaciones son expresadas por medio de ecuaciones que se denominan ecuaciones de restricción[9].Las coordenadas que modelizan un sistema mecánico se llaman dependientes cuando su número es mayor que el número de grados de libertad[10]. En un mecanismo el número de coordenadas dependientes y el número de restricciones están relaciona- dos por la ecuación:
݉ܨ െ ݊ൌ (1)
donde ݉ es el número de ecuaciones de restricción, ܨ son los grados de libertad y ݊ es el número de coordenadas dependientes. Las restricciones que modelizan el mecanismo pueden ser escritas en forma compacta como:
en el que es el vector de restricciones en función del vector de coordenadas y el vector ࣒ de coorde- nadas que representan los grados de libertad, ߶ଵ, ߶ଶ ⋯ , ߶son cada una de las ecuaciones de restricción del mecanismo.
2.1. Modelado utilizando coordenadas naturales
Las coordenadas naturales fueron originalmente introducidas por J. De Jalón y colaboradores [9], sien- do mayormente coordenadas cartesianas ubicadas en los pares cinemáticos o en puntos de interés. La ventaja principal en el uso de las coordenadas naturales es su sencillez e interpretación física intuitiva, además no es necesario definir coordenadas de tipo angular para definir la orientación de cada uno de los elementos del mecanismo evitando toda la complejidad que ello conlleva[10]. El análisis de posición es uno de los pasos iniciales en la síntesis de mecanismos, donde la generación de movimiento y de trayectoria son unos de los problemas principales en la síntesis dimensional de meca- nismos. Estos dos problemas de generación de movimiento y de trayectoria están íntimamente relaciona- dos [11], por lo tanto en este trabajo se considera en el modelado del mecanismo de cuatro barras junto con un punto del acoplador, el cual genera una trayectoria. La Fig. 1 muestra un mecanismo de cuatro barras modelado en coordenadas naturales, donde el vector
coordenadas naturales es ൌൣ ܥ௫ ܥ௬ ܦ௫ ܦܲ௬ ܲ௫ ௬ ൧் , como solo hay un grado de libertad el vec-
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ܥሺ௫ െ ܣ (^) ௫ ሻ െܽ cos ሺ߮ ሻ ܥ൫௬ െ ܣ (^) ௬ ൯ െܽ sin ሺ߮ ሻ ܦሺ௫ ܥ െ௫ ሻ ଶ^ ܦ൫ ௬ ܥ െ௬ ൯ ଶ ܾെ ଶ ܦሺ௫ ܤ െ௫ ሻ ଶ^ ܦ൫ ௬ ܤ െ௬ ൯
ଶ ܿെ ଶ ܲሺ (^) ௫ ܥ െ௫ ሻ ଶ^ ܲ൫ (^) ௬ ܥ െ௬ ൯ ଶ ݀െ ଶ ܲሺ (^) ௫ ܦ െ௫ ሻ ଶ^ ܲ൫ (^) ௬ ܦ െ௬ ൯
ଶ ݁െ ଶ^ ے
donde los puntos y son fijos y están ubicados en los pares cinemáticos y junto con las longitudes ܽ , ܾ , ܿ , ݀ y ݁ definen la geometría del mecanismo. Estos nueve parámetros independientes son los que se tienen que determinar en el problema de síntesis dimensional el cual no es nada trivial [1].
3. SOLUCIÓN ANALÍTICA DE LAS ECUACIONES DE RESTRICCIÓN DEL MECANISMO
DE CUATRO BARRAS
En un mecanismo de cadena cinemática cerrada las ecuaciones de restricción en general no son lineales y generalmente se emplean métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas [12], solamente en algunos casos donde la geometría del mecanismo no es muy compleja se pueden encontrar soluciones analíticas. Una solución analítica del problema de posición del mecanismo de cuatro barras, es derivada del método de lazo vectorial [1]. El objetivo aquí es encontrar una solución analítica alterna al problema de posición del mecanismo de cuatro barras, lo cual se consigue resolviendo analíticamente las ecuaciones (3) a (8) y cuyo problema se reduce a encontrar los puntos de corte entre dos circunferencias como se muestra en la Fig. 2. El proce- dimiento para encontrar los puntos de cortes entre dos circunferencias fue tomado de B. Paul [13]. De las ecuaciones (3) y (4) tenemos que,
Fig. 2. Configuración abierta y cruzada del mecanismo de cuatro barras.
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ܣ (^) ௫ ܽ cos ሺ߮ ሻ ܣ (^) ௬ ܽ sin ሺ߮^ ሻ
se observa que las ecuaciones (5) y (6) corresponden a un circulo de radio ܾ con centro en y un circulo de radio ܿ con centro en como se muestra en la Fig. 2. Por lo tanto ࡰ es el punto de corte de estas dos circunferencias. Denotando a ݏ como la distancia del segmento , se tiene que:
ݏൌ ‖ െ ‖ ൌ ටܤሺ௫ ܥ െ௫ ሻ ଶ^ ܤ൫ ௬ ܥ െ௬ ൯
ଶ
y de los triángulos ࡱࡰ y ࡱࡰ podemos escribir que ݈ ଵଶ^ ݄ (^) ଵଶ^ ܾൌ ଶ^ y ݎଵଶ^ ݄ (^) ଵଶ^ ܿൌ ଶ, como ݈ൌ ݏ (^) ଵ ݎ ଵ se resuelve para ݈ ଵde donde se tiene que,
݄ ଵ ݐ ൌଵ ܾට^ ଶ^ ݈െ ଵଶ
donde ݐଵes 1 o െ1. Por lo tanto
ଵ ݏ
notando que ࡰࡱ ࡱ ൌ ࡰሬሬሬሬሬሬԦ^ y ࡰࡱሬሬሬሬሬሬԦ^ ൌ
భ ௦
ሻെ ሺࡾ, se puede escribir que,
ଵ ݏ
ଵ ݏ
donde ࡾൌ ቂ
ቃ que corresponde a una rotación noventa grados del vector ሬሬሬሬሬሬԦ. Procediendo de igual forma con las ecuaciones (7) y (8) encontramos que:
݄ ଶ ݐ ൌଶ ݀ට^ ଶ^ ݈െ ଶଶ
ܾଶ ሻെ ࡰሺࡾ
de aquí se tiene que el vector de coordenadas naturales es
ൌ
ࡰ ࡼ
൩ ൌ
ۏ
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ܥ௫ ܥ௬ ܦ௫ ܦܲ௬ ܲ௫ ௬ ے
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ܣ (^) ௫ ܽ cos ሺ߮ ሻ ܣ (^) ௬ ܽ sin ሺ߮ ሻ
ܥ௫ ݈ ଵ ݏ
ܤሺ௫ ܥ െ௫ ݄ ሻ ଵ ݏ
ܥ൫௬ ܤ െ௬ ൯
ܥ௬ ݈ ଵ ݏ
ܤ൫௬ ܥ െ௬ ݄െ ൯ ଵ ݏ
ܥሺ௫ ܤ െ௫ ሻ
ܥ௫ ݈ ܾଶ^ ܦሺ௫ ܥ െ௫ ݄ ሻ ܾଶ^ ܥ൫௬ ܦ െ௬ ൯
ܥ௬ ݈ ܾଶ ܦ൫௬ ܥ െ௬ ݄െ ൯ ܾଶ (^) ܥሺ ௫ ܦ െ௫ ሻے
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y cuya simulación se muestra en la Fig. 3, donde se representan las cuatro configuraciones posibles con su respectiva curva de acoplador generada por el punto ࡼ del acoplador. En la Fig. 3-a se muestra una configuración con los valores ݐଵ =1 y ݐଶ ൌ 1, la configuración para los valores ݐଵ ൌ െ1y ݐଶ ൌ െ1 se muestra en la Fig. 3-b, en la Fig. 3-c la configuración para los valores ݐଵ ൌ 1y ݐଶ ൌ െ1 y por último en la Fig. 3-d la configuración para los valores ݐଵ ൌ െ1y ݐଶ ൌ 1. Las con- figuraciones abiertas son las mostradas en la Fig. 3-a y la Fig. 3-c, mientras las configuraciones cruzadas se muestran en la Fig. 3-b y la Fig. 3-d.
5. CONCLUSIÓN
En este trabajo se presentó el análisis de posición de un mecanismo de cuatro barras, por medio de la utilización de coordenadas naturales, permitiendo encontrar una solución analítica alterna al problema de posición de un mecanismo de cuatro barras, obteniendo ecuaciones simples y fáciles de implementar comparadas con las ecuaciones derivadas del método de lazo vectorial [1]. En cuanto al procedimiento utilizado para solucionar las ecuaciones de restricción se observa que es intuitivo y se puede visualizar fácilmente en la geometría del mecanismo. Una ventaja que tienen las ecuaciones obtenidas, frente a las ecuaciones derivadas del método de lazo vectorial es que la coordenada del punto del acoplador se hallan directamente sin la necesidad de pre- multiplicar por una matriz de rotación. Y además se evitan todas las complicaciones que conlleva el uso de coordenadas dependientes angulares, y en caso que sea necesario conocer alguna variable angular se puede obtener sin mayor complicación en función de las coordenadas naturales. Además el uso de coordenadas naturales demuestra ser útil no solamente para la solución del problema de posición utilizando técnicas numéricas sino que además es posible obtener soluciones analíticas que son mucho más útiles a la hora de implementar en un computadora. Por lo cual se pretende en trabajos futuros utilizar las coordenadas naturales para solucionar el problema de posición en mecanismos más complejos que el mecanismos de cuatro barras.
REFERENCIAS
[1] Norton, R.L., Design of Machinery: An Introduction to the Synthesis and Analysis of Mechanisms and Machines. McGraw-Hill Higher Education (2003)
[2] Hernández, A., Petuya, V., “Position analysis of planar mechanisms with R-pairs using a geometrical– iterative method,” Mech. Mach. Theory , 39 (2), 133–152 (2004) [3] Mitsi, S., “Position analysis in polynomial form of planar mechanisms with a closed chain of the Assur group of class 4 L’analyse de position sous forme polynomiale des mecanismes plans avec une chaine fermee du groupe d'Assur de 4-eme classe,” Mech. Mach. Theory , 34 (8), 1195–1209 (1999)
[4] Mitsi, S., Bouzakis, K-D., Mansour, G., Popescu, I., “Position analysis in polynomial form of class-three Assur groups with two or three prismatic joints,” Mech. Mach. Theory , 43 (11), 1401–1415 (2008) [5] Rojas, N., Dollar, A.M., Thomas, F., “A unified position analysis of the Dixon and the generalized Peaucellier linkages,” Mech. Mach. Theory , 94, 28–40 (2015)
[6] Rojas, N., Thomas, F., “Distance-based position analysis of the three seven-link Assur kinematic chains,” Mech. Mach. Theory , 46 (2), 112–126 (2011) [7] Rojas, N., Thomas, F., “On closed-form solutions to the position analysis of Baranov trusses,” Mech. Mach. Theory , 50, 179–196 (2012)
[8] Romero, N., “Sítese Estrutural e Otimização Dimensional de Mecanismos de Direção,” Universidade Federal de Santa Catarina (2014) [9] De Jalón, J., Bayo, E., Kinematic and dynamic simulation of multibody systems , Springer-Verlag (1994)
[10] Avello, A., Teoría de Máquinas , 2nd ed. Pamplona, España (2014)
[11] Erdman, A.G., Sandor, G.N., Mechanism Design: Analysis and Synthesis, Volume 1, Prentice-Hall International (1997)
[12] Nikravesh, P.E., Computer-aided analysis of mechanical systems, Prentice-Hall (1988)
90 N.N. Romero Núñez et al ./ Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica 20(2), 83-90 (2016)
[13] Paul, B., “Circles and spheres,” 1997. [Online]. Available: http://paulbourke.net/geometry/circlesphere/. [Accessed: 15-Jan-2016].
AGRADECIMIENTOS
Al Grupo de Investigación en Ingeniería Mecánica de la Universidad de Pamplona (GIMUP).
FOUR BAR LINKAGES POSITION ANALYSIS USING NATURAL
COORDINATES
Abstract – In this article the use of natural coordinates for the formulation of the constraint equations of a four- bar linkages is proposed, to solve the problem of position at analytic form, in order to avoid the complexities of using the traditional method in which angular coordinates are used and where restrictions are derived from the closing condition loop. Was modeled using natural coordinates four-bar linkages with a coupler point, because the desired trajectory of this point is an issue of particular importance in the dimensional synthesis. The re- strictions obtained were analytically resolved and then be implemented in the simulation mechanism for each of your configurations. Finally it is concluded that the use of natural coordinates for solving the problem of posi- tion of a four-bar linkages, originate constraint equations that can be solved analytically in a simple manner, and thus providing an alternative solution to the problem of position.
Keywords – Four-bar linkages, Position analysis, Natural coordinates.
