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El análisis cinemático y dinámico de un robot manipulador de 3 grados de libertad. Se detallan las ecuaciones de movimiento, los parámetros dinámicos y las gráficas correspondientes al modelo estático. El objetivo es comprender el comportamiento del sistema y seleccionar los motores adecuados para cada articulación. El documento incluye información sobre la universidad politécnica de aguascalientes, donde se desarrolló este proyecto, y la carrera de ingeniería mecatrónica. El análisis realizado puede ser útil para estudiantes y profesionales interesados en el diseño y control de robots manipuladores.
Tipo: Resúmenes
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Nombre: Miguel Ezequiel Rivera Licea Matrícula: UP Nombre: Jonathan Reyna Navarro Matrícula: UP Nombre: Moisés Cruz Figueroa Matrícula: UP Nombre: Héctor Hugo de la Cerda Tavares Matricula: UP 140141
Docente: M.C. Luis Ernesto Anaya Tiscareño Grupo: MTR09B Carrera: Ingeniería Mecatrónica
Obtención del modelo dinámico de un robot mediante la formulación de Lagrange Uicker en 1965 utilizó la representación de Denavit-Hartenberg basada en las matrices de transformación homogénea, para formular el modelo dinámico de un robot mediante la ecuación de Lagrange. Este planteamiento utiliza, por tanto, las matrices i – 1 A i que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el del elemento i - 1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias (recuérdese la información redundante contenida en las matrices i – 1 A i debido a la ortonormalidad de la submatriz de rotación), tratándose por ello de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional. Puede comprobarse que el algoritmo es de un orden de complejidad computacional O(n4), es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia 4 del número de grados de libertad. Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento (inercia, Coriolis, gravedad). Se presenta, a continuación, al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinámico del robot por el procedimiento de Lagrange (L). Algoritmo computacional de Lagrange para el modelado dinámico de un robot 1. Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo con las normas de DH. 2. Obtener las matrices de transformación 0 A i para cada elemento i. 3. Obtener las matrices U ij definidas por: 𝑈𝑖𝑗 =
∂qj 4. Obtener las matrices U ijk definidas por: 𝑈𝑖𝑗𝑘 =
∂qk 5. Obtener las matrices de pseudoinercias J i para cada elemento, que vienen definidas por: Fig. 1. Muestra matriz de pseudoinercias.
Parámetros DH Tabla I.- Parámetros de Denavit-Hartember para pata 1. Ɵ d a α Rotación (1) o translación (0) 1 q1 0 l1 - 90° 1 2 q2 0 l2 0 1 3 q3 0 l3 0 1 Parámetros dinámicos m1 = 0.2; m2 = 0.12; m3 = 0.09; l1 =0.25; l2 = 0.15; l3=0.1; g1 = - 9.81; Vector de coordenadas homogéneas de posición del centro de masas del eslabón: r=[l1 0 0 1; l2 0 0 1; l3 0 0 1]; Vector de gravedad g=[0 g1 0 0]; Ecuaciones de torque y sus elementos D = [ (7l1^2m1)/3 + l1^2m2 + l1^2m3 + (7l2^2m2)/6 + (l2^2m3)/2 + (7l3^2m3)/6 + (7l2^2m2cos(2q2))/6 + (l2^2m3cos(2q2))/2 + (7l3^2m3cos(2q2 + 2q3))/6 + 3l1l3m3cos(q2 + q3) + 3l1l2m2cos(q2) + 2l1l2m3cos(q2) + (3l2l3m3cos(q3))/2 + (3l2l3m3cos(2q2 + q3))/2, 0, 0] [ 0, (7l2^2m2)/3 + l2^2m3 + (7l3^2m3)/3 + 3l2l3m3cos(q3), (l3m3(14l3 + 9l2cos(q3)))/6] [ 0, (l3m3(14l3 + 9l2cos(q3)))/6, (7l3^2*m3)/3] H =
C =
Fig. 4. Graficas de trayectoria y torque. Fig. 5. Graficas de velocidad y aceleración. Selección de motor Como se puede observar en las gráficas anteriores, se necesita obtener un motor de 2Nm de torque, de aceleración 20deg/seg y una velocidad de 25deg/seg, se debe tomar en cuenta que los motores q2 y q3 no tienen torque por efecto de la gravedad en estad estático y tienen menos efectos del movimiento de otros eslabones, para lo que se decidió otros dos motores. Para eso se eligió decidir sobre los motores “Faulhaben Motoren” modelo “M1124-Y 187” los cuales cuentan con 8.2 Nm una velocidad de 200 rpm que es 720deg/seg superando por mucho los 20deg/seg necesarios.
Fig. 6. Motor por utilizar. La elección del motor para q2 y q3 es el motor “sg996” este cuenta con un torque de 1.2Nm el cual el modelo llega hasta torques máximos de 0.80Nm la velocidad alcanza los 300deg/seg superando los 220deg/seg máximos de la simulación, el servomotor utilizado se muestra en la siguiente figura. Fig. 7. Servomotor por utilizar.
Parámetros DH Tabla II.- Parámetros de Denavit-Hartember para pata 2. Ɵ d a α Rotación (1) o translación (0) 1 q1+90 0 l1 0 1 1 - 90 q2 l2 90 0 3 q3 0 l3 0 1
Fig. 8. Graficas de trayectoria y torque. Fig. 9. Graficas de velocidad y aceleración. Gráficas para el modelo análisis cinemático. Para el análisis dinámico se propuso una velocidad de 20deg/seg en las articulaciones de rotación y en la articulación de traslación de 0.1m/seg, a su vez se propuso una aceleración no máxima de 360deg/seg^2, para q1, 10m/seg^2 para q2 y 180deg/seg para q3.
Fig. 10. Graficas de trayectoria y torque. Fig. 11. Graficas de velocidad y aceleración. Selección de motor Para el motor del q1 y q3 se requiere que el motor deber tener un torque de al menos 5Nmaq una velocidad aproximada de 50deg/seg y una aceleración de 50deg/seg^2, para este motor se vuelve a elegir el motor previamente utilizado, @Faulhaben Motoren” modelo “M1124- Y2002 187” los cuales cuentan con 8.2 Nm una velocidad de 200 rpm que es 720deg/seg superando por mucho los 50deg/seg necesarios.
g1 = - 9.81; vector de coordenadas homogéneas de posición del centro de masas del eslabón. r=[l1 0 0 1; l2 0 0 1; l3 0 0 1]; vector de gravedad. g=[0 0 g1 0]; Ecuaciones de torque y sus elementos D = [ (7l1^2m1)/3 + l1^2m2 + l1^2m3 + (7l2^2m2)/3 + l2^2m3 + (7l3^2m3cos(q3)^2)/
(3aq2^2l1l3m3cos(q3)sin(q2))/2 - (3aq3^2l1l3m3cos(q3)sin(q2))/2 - 3aq1aq2l1l2m2sin(q2) - 2aq1aq2l1l2m3sin(q2) - 3aq1aq3l2l3m3sin(q3) - 3aq2aq3l2l3m3sin(q3) + 3aq1l1l3m3cos(q2)cos(q3) + (3aq2l1l3m3cos(q2)cos(q3))/2 - (3aq3l1l3m3sin(q2)sin(q3))/2 - 3aq1aq2l1l3m3cos(q3)sin(q2) - 3aq1aq3l1l3m3cos(q2)sin(q3) - 3aq2aq3l1l3m3cos(q2)sin(q3) (7aq1l2^2m2)/3 + aq1l2^2m3 + (7aq2l2^2m2)/3 + aq2l2^2m3 + (7aq1l3^2m3cos(q3)^2)/3 + (7aq2l3^2m3cos(q3)^2)/3 + (3aq1^2l1l2m2sin(q2))/2 + aq1^2l1l2m3sin(q2) - (7aq1aq3l3^2m3sin(2q3))/3 - (7aq2aq3l3^2m3sin(2q3))/3 + (3aq1l1l2m2cos(q2))/2 + aq1l1l2m3cos(q2) + 3aq1l2l3m3cos(q3) + 3aq2l2l3m3cos(q3) + (3aq1^2l1l3m3cos(q3)sin(q2))/2 - 3aq1aq3l2l3m3sin(q3) - 3aq2aq3l2l3m3sin(q3) + (3aq1l1l3m3cos(q2)cos(q3))/ (7aq3l3^2m3)/3 - 2g1l3m3cos(q3) + (l3m3sin(q3)(9aq1^2l2 + 9aq2^2l2 + 9aq1^2l1cos(q2) + 14aq1^2l3cos(q3) + 14aq2^2l3cos(q3) + 18aq1aq2l2 + 28aq1aq2l3cos(q3)))/6 - (3aq1l1l3m3sin(q2)*sin(q3))/ Gráficas para el modelo estático. Para el robot número tres se pueden ver las gráficas para cada articulación en su posición, torque, velocidad y aceleración, q1 y q2 no tienen torque ya que estos no les afecta la gravedad en su posición de reposo a excepción de la articulación q3 que tiene cercas de 0.2Nm de torque. Fig. 1 4. Graficas de trayectoria y torque.
Fig. 17. Graficas de velocidad y aceleración. Selección de motor Para este robot debido al tamaño de los eslabones y a su peso se seleccionó el servo-motor modelo S3003 de la marca futaba, esta opción fue tomada debido a que en las gráficas del torque generado se puede observar que el torque genera en cada articulación es muy poco y estos servo-motores serán suficientes para soportar las características antes mencionadas. Además de que es económico y programable a lo que el usuario requiera. La velocidad máxima a la que se moverán estos servo-motores será la de 0.19sec/60° (recorrerá 60 grados en 0.19 segundos) Fig. 18. Servo-motor seleccionado.
Parámetros DH Tabla VI.- Parámetros de Denavit-Hartember para pata 4. Ɵ d a α Rotación (1) o translación (0)
1 0 q1 l1 0 0 2 q2 0 l2 0 1 3 q3 0 l3 0 1 Parámetros dinámicos m1 = 0.1; m2 = 0.07; m3 = 0.03; l1 =0.3; l2 = 0.18; l3=0.1; g1 = - 9.81; vector de coordenadas homogéneas de posición del centro de masas del eslabón. r=[l1 0 0 1; l2 0 0 1; l3 0 0 1]; vector de gravedad. g=[0 0 g1 0]; Ecuaciones de torque y sus elementos D = [ m1 + m2 + m3, 0, 0] [ 0, (7l2^2m2)/3 + l2^2m3 + (7l3^2m3)/3 + 3l2l3m3cos(q3), (l3m3(14l3 + 9l2cos(q3)))/6] [ 0, (l3m3(14l3 + 9l2cos(q3)))/6, (7l3^2*m3)/3] H = 0
Fig. 21. Graficas de trayectoria y torque. Fig. 22. Graficas de velocidad y aceleración. Selección de motor Para la articulación q1 se deberá utilizar un motor de mayor torque para poder realizar el trabajo, para esto se encontró que el motor “H050” que son reductores motovario de engranajes coaxiales sabiendo que para nuestro sistema se requiere 1 el cual el motor con una transmisión adecuada es capaz de cumplirla y sobrepasa el torque necesario que es de 100Nm logrando alcázar los 450Nm, por esto se eligió este motor sobre otros.
Fig. 21. Motor seleccionado para q2. La elección del motor para q2 y q3 es el motor “sg996” este cuenta con un torque de 1.2Nm el cual el modelo llega hasta torques máximos de 0.2Nm la velocidad alcanza los 300deg/seg superando los 50deg/seg máximos de la simulación, el servomotor utilizado se muestra en la siguiente figura. Fig. 22. Servomotor por utilizar.
Jonathan Reyna Navarro UP La Práctica realizada en Matlab fue de sumo aprendizaje para el entendimiento del algoritmo de Lagrange Euler ya que cada uno de los pasos hechos en el software ayuda a comprender que cálculos se hacen en dichos procesos, para obtener las ecuaciones de torque, velocidad, posición y aceleración de cualquier robot solo con los parámetros de Denavit-Hartenberg y condiciones como de centro de masa y medidas, para posterior conocer que motores es convenientes utilizar para cada articulación. Moisés Cruz Figueroa UP En esta práctica realizada en el software llamado MATLAB se pudo comprobar cómo es que interactúan los eslabones de un robot con respecto a su longitud y a su peso, con ello se observó su posible comportamiento en la vida real. Además, basándonos en el algoritmo de Lagrange-Euler visto en clase fue como se pudieron obtener todas las ecuaciones de torque del sistema en cuestión. Finalmente, lo anterior para poder seleccionar un motor adecuado que se implementara en la vida real. Miguel Ezequiel Rivera Licea UP El método de lagrange-euler es muy práctico para la ayuda de dinámica de robots ya que con esta herramienta sabríamos cual motor y con qué torque podríamos ensamblar o crear un robot, con la ayuda de Matlab los cálculos serán mas fáciles para ver este estudio sobre los
