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Mecánica de Solidos Problemas Capítulo VII
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga simplemente apoyada.
Método de los cortes.
Solución:
Calculo de las reacciones en los apoyos
𝐴
𝐿
2
𝑐𝑦
𝑐𝑦
𝐿
2
𝑐𝑦
𝑦
𝑎𝑦
𝑐𝑦
𝑎𝑦
𝑐𝑦
𝑎𝑦
𝑃
2
𝑎𝑦
Realizar dos cortes, el primero:
Intervalo: 0 ≤ x ≤ L/
𝑎−𝑎
𝑃
2
𝑃
2
Para x = 0
M = 0;
Para x = L/2,
𝑦
𝑃
2
𝑃
2
(constante en todo el intervalo)
Ahora se realiza el siguiente corte,
Intervalo: L/2 ≤ x ≤ L
𝑦
𝑃
2
𝑃
2
𝑃
2
(constante en todo el intervalo)
𝑏−𝑏
𝑃
2
𝐿
2
𝑃𝑥
2
𝑃𝐿
2
𝑃𝑥
2
𝑃𝐿
2
Para x = L/2,
Para x = L
Diagramas:
x V- V+ M
0 0 P/2 0
L/2 P/2 - P/2 PL/
L - P/2 0 0
Ahora se realiza el siguiente corte, L/2 ≤ x ≤ L
𝑏−𝑏
𝑀 𝑜
𝐿
𝑜
𝑜
𝑀 𝑜
𝐿
Para x = L/2,
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
Para x = L
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
𝑦
𝑀
𝑜
𝐿
𝑀
𝑜
2
constante en todo el intervalo
Diagramas:
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga simplemente apoyada.
Solución:
Calculo de las reacciones en los apoyos
𝐴
𝐿
2
𝐵𝑦
𝐵𝑦
𝐿
2
2
𝐵𝑦
𝑦
𝐵𝑦
𝐵𝑦
𝐴𝑦
𝐵𝑦
𝐴𝑦
𝑤𝐿
2
𝐴𝑦
Realizar un único corte:
0 ≤ x ≤ L
𝑦
𝑤𝐿
2
1
2
Para x = 0
Para x = L
Como el cortante cambia de signo de positivo a negativo, debemos buscar el punto donde se hace cero:
𝑎−𝑎
𝑤𝐿
2
𝑥
2
1
2
1
2
2
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga simplemente apoyada.
Solución:
Calculo de las reacciones en los apoyos
𝐴
𝐿
2
2
3
𝐿
2
𝐿
2
𝐿
4
𝐿
2
𝑐𝑦
𝑐𝑦
1
12
2
3
8
2
𝑐𝑦
𝑦
𝑎𝑦
𝑐𝑦
𝑤𝐿
2
𝑤𝐿
4
𝑎𝑦
3 𝑤𝐿
4
𝑐𝑦
𝑎𝑦
3 𝑤𝐿
4
11 𝑤𝐿
24
𝑎𝑦
Corte 0 ≤ x ≤ L/
𝑦
7 𝑤𝐿
24
𝑤𝑥
2
𝐿
7
24
𝑤𝑥
2
𝐿
Para x = 0
2
2
Para x = L/
2
2
2
𝑎−𝑎
7 𝑤𝐿
24
𝑤𝑥
2
𝐿
𝑥
3
7 𝑤𝐿
24
𝑤𝑥
3
3 𝐿
Para x = 0,
M = 0;
Para x = L/2,
3
3
2
3
3
Corte L/2 ≤ x ≤ L
𝑦
7 𝑤𝐿
24
𝑤𝐿
4
𝐿
2
13
24
Para x = L/
Para x = L
El cortante pasa de positivo a negativo
𝑏−𝑏
2
2
2
2
2
2
Para x = L/2,
2
2
2
2
3
Para x = L
2
2
2
2
Momento Máximo x = (13/24)L
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga en voladizo que se muestra.
Solución:
Reacciones en los apoyos:
𝐴
𝐴
𝑎
𝐴
𝑦
𝐴𝑦
𝑎𝑦
𝐴𝑦
Realizar tres cortes, el primero:
Corte AB 0 ≤ x ≤ 2
𝑦
𝑎−𝑎
Para x = 0,
Para x = 2 m
Corte BC 2 ≤ x ≤ 4
𝑦
𝑏−𝑏
Para x = 2 m
para x = 4 m
Corte CD 4 ≤ x ≤ 6
𝑦
Para x = 4,
Para x = 6,
𝑐−𝑐
2
2
2
2
Para x = 4 m
2
2
Para x = 6 m
2
2
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento de flexión para la viga simplemente apoyada.
Determine el momento flector máximo que se produce en el intervalo. (Método gráfico)
Solución:
Reacciones en los apoyos:
𝐴
𝐷𝑦
𝐷𝑦
𝐷𝑦
𝑑𝑦
𝑦
𝑎𝑦
𝑎𝑦
𝑎𝑦
Ahora hay que construir los diagramas de cortante y momento a partir de las relaciones de carga.
Primero construya el diagrama de fuerza de corte, en el diagrama de carga, muestre las fuerzas de
reacción que actúan en sus direcciones correctas. Dibuje una serie de líneas verticales debajo de los
puntos clave de la viga y dibuje una línea horizontal que definirá el eje para el diagrama V. Use los pasos
descritos a continuación para construir el diagrama V. (Nota: las letras minúsculas en el diagrama V
corresponden a las explicaciones dadas para cada paso.
a. V (x = 0−) = 0 kips. (cortante igual a cero al inicio de la viga). (A la izquierda de x= 0)
b. V (x = 0+) = 14 kips. (Regla 1: el diagrama de cortante salta en una cantidad igual a la reacción de 14 kip)
(A la derecha de x= 0)
c. V (x = 4−) = 14 kips (Regla 2: Dado que la carga es cero (w = 0), el área bajo la curva w también es cero. Por
lo tanto, no hay cambio en el diagrama de fuerza de corte). (A la izquierda de x= 4)
d. V (x = 4+) = 2 kips (Regla 1: el diagrama cortante salta 12 kips hacia abajo). (A la derecha de x= 4)
e. V (x = 12−) = 2 kips (Regla 2: El área bajo la curva de carga, w es cero; por lo tanto, ΔV = 0, no hay
incremento en el cortante queda igual). (A la izquierda de x= 12)
f. V (x= 12+) = – 8 kips (Regla 1: el diagrama V salta 10 kips hacia abajo). (A la derecha de x= 12)
g. V (x = 21−) = – 8 kips (Regla 2: El área bajo la curva de carga, w es cero; por lo tanto, ΔV = 0, no hay
incremento en el cortante queda igual). (A la izquierda de x= 21)
h. V (x = 21+) = 0 kips (Regla 1: el diagrama V salta en una cantidad igual a la fuerza de reacción de 8 kips y lo
que indica que el cortante es V = 0 kips) (A la derecha de x= 21)
Observe que el diagrama V comenzó en V
a
= 0 y terminó en V
h
Ahora se construye, a partir de este, el diagrama de momentos,
Comenzando con el diagrama V, use los pasos que siguen para construir el diagrama de momentos, M.
(Nota: las letras minúsculas en el diagrama M corresponden a las explicaciones dadas para cada paso).
i. M (x = 0) = 0 (El momento es cero en el extremo izquierdo de la viga simplemente apoyada).
j. M (x = 4) = 56 kip ⋅ ft (Regla 4: El incremento en el momento flector ΔM entre dos puntos es igual al área
bajo el diagrama de cortante V). El área bajo el diagrama de cortante V entre los puntos x = 0 pies y x = 4
pies es simplemente el área del rectángulo (1), que mide 4 pies de ancho y +14 kips de alto, el incremento
del valor es positivo.
( 1 )
Como M = 0 kip ⋅ ft en x = 0 ft, y el incremento en el momento de flexión es ΔM = +56 kip ⋅ ft, el momento
de flexión en x = 4 ft es M j
= 0 + 56 kip ⋅ ft. = + 56 kip ⋅ ft.
k. M (x = 12) = 72 kip ⋅ ft (Regla 4: El incremento en el momento flector ΔM entre dos puntos es igual al área
bajo el diagrama de cortante V). El área bajo el diagrama de cortante V entre los puntos x = 4 pies y x = 12
pies es simplemente el área del rectángulo (2), que mide 8 pies de ancho y +2 kips de alto, el incremento
del valor es positivo.
( 2 )
Como M = 56 kip ⋅ ft en x = 4 ft, y el incremento en el momento de flexión es ΔM = +16 kip ⋅ ft, el
momento de flexión en x = 12 ft es M k
= 56 + 1 6 kip ⋅ ft. = + 72 kip ⋅ ft. Aunque la fuerza cortante
disminuye de +14 kips a +2 kips, observe que el momento flector continúa aumentando en esta región.
l. M (x = 21) = 0 kip ⋅ ft (Regla 4: El incremento en el momento flector ΔM entre dos puntos es igual al área
bajo el diagrama de cortante V). El área bajo el diagrama de cortante V entre los puntos x = 12 pies y x =
21 pies es simplemente el área del rectángulo (3), que mide 9 pies de ancho y − 8 kips de alto. El
incremento del valor es negativo.
( 3 )
Como, ΔM = −72 kip ⋅ ft. En el punto k, M = +72 kip ⋅ ft. El momento flector disminuye ΔM = −72 kip ⋅ ft
entre k e l; en consecuencia, el momento flector en x = 21 ft es M l
= − 72 + 72 = 0 kip ⋅ ft. Este resultado es
correcto, ya que sabemos que el momento flector en el rodillo D debe ser cero. Cerrando la viga.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga simplemente apoyada.
Determine el momento de flexión máximo que se produce en el intervalo. (método de las áreas o
gráfico)
Solución:
Reacciones en los apoyos:
𝐴
𝑐𝑦
𝑐𝑦
𝑐𝑦
𝑐𝑦
𝑦
𝑎𝑦
𝑎𝑦
𝑎𝑦
Ahora hay que construir los diagramas de cortante y momento a partir de las relaciones de carga.
Primero construya el diagrama de fuerza de corte, en el diagrama de carga, muestre las fuerzas de reacción que
actúan en sus direcciones correctas. Dibuje una serie de líneas verticales debajo de los puntos clave de la viga y
dibuje una línea horizontal que definirá el eje para el diagrama V. Use los pasos descritos a continuación para
construir el diagrama V. (Nota: las letras minúsculas en el diagrama V corresponden a las explicaciones dadas para
cada paso.
a. V (x = 0−) = 0 kN. (cortante igual a cero al inicio de la viga). (A la izquierda de x= 0)
b. V (x = 0+) = + 4 kN. (Regla 1: el diagrama de cortante salta en una cantidad igual a la reacción de + 4 kN) (A
la derecha de x = 0)
c. V (x = 4) = – 2 kN (Regla 2: el incremento en la fuerza cortante es igual al área bajo la curva w). Por lo
tanto, como es un rectángulo el área se busca como,
( 1 )
El área bajo la curva de carga (w) entre los puntos A y B es −6 kN; por lo tanto, ΔV = −6 kN. Entonces, Vb =
- 4 kN, la fuerza cortante en el punto c es Vb = + 4 kN – 6 kN = −2 kN.
Como w es constante entre A y B, la pendiente del diagrama V también es constante (Regla 3) e igual a -
1.5 kN / m entre b y c. En consecuencia, el diagrama de cortante, V es lineal en esta región.
d. V (x = 6−) = – 2 kN (Regla 2: El área bajo la curva de carga, w es cero; por lo tanto, ΔV = 0, no hay
incremento en el cortante queda igual). (A la izquierda de x = 6)
e. V (x = 6+) = 0 kN (Regla 1: el diagrama V salta en una cantidad igual a la fuerza de reacción de + 2 kN y lo
que indica que el cortante es V = 0 kips) (A la derecha de x = 6)
f. Antes de completar el diagrama V, debemos ubicar el punto entre b y c donde el cortante es cero, V = 0.
Para hacer esto, recuerde que la pendiente del diagrama de fuerza cortante (dV/dx) es igual a la
intensidad de la carga distribuida w (Regla 3). En este caso, se considera una longitud finita Δx de la viga
en lugar de una longitud infinitesimal dx. En consecuencia, la ecuación (7.1) se puede expresar como:
Dado que la carga distribuida es w = −1.5 kN/m entre los puntos A y B, la pendiente del diagrama V entre los
puntos b y c es igual a −1.5 kN/m. Como V = 4 kN en el punto b, la fuerza cortante debe cambiar en ΔV = −4 kN
para cruzar el eje V = 0. Use la pendiente conocida y el ΔV requerido para resolver Δx de la ecuación anterior,
despejando:
Como x = 0 m en b, el punto f se encuentra a 2.667 m del extremo izquierdo de la viga. (Observe la figura).
Luego se construye el diagrama de momento de flexión:
A partir de la construcción del diagrama de cortante V, los pasos que siguen se utilizan para construir el diagrama
M. (Nota: las letras minúsculas en el diagrama M corresponden a las explicaciones dadas para cada paso).
g. M (x = 0) = 0 (momento cero en el extremo fijado de la viga simplemente apoyada).
h. M (x = 2.667) = + 5.333 kN ⋅ m (Regla 4: El cambio en el momento flector, ΔM, entre dos puntos es igual al
área bajo el diagrama de cortante V). El diagrama de cortante entre los puntos b y f es un triángulo (1) con
un ancho de 2.667 m y una altura de +4 kN. El área de este triángulo es +5.333 kN ⋅ m; por lo tanto, ΔM =
+5.333 kN ⋅ m. Como M = 0 kN ⋅ m en x = 0 m y ΔM = +5.333 kN ⋅ m, el momento flector en x = 2.667 m es
Mh = 0 + 5.333 = + 5.333 kN ⋅ m.
( 1 )
La forma del diagrama de momento flector entre g y h se puede dibujar a partir de la Regla 5 (la
pendiente del diagrama M es igual a la fuerza de corte V). La fuerza de corte en b es +4 kN; por lo tanto, el
diagrama M tiene una gran pendiente positiva en g. Entre b y f, la fuerza de corte sigue siendo positiva,
pero disminuye en magnitud; en consecuencia, la pendiente del diagrama M es positiva, pero se vuelve
menos pronunciada a medida que aumenta x. En f, V = 0, entonces la pendiente del diagrama M se
convierte en cero.
i. M (x = 4) = + 4 kN ⋅ m (Regla 4: ΔM = área bajo el diagrama de cortante). El diagrama de fuerza cortante
entre f y c es un triángulo (2) con un ancho de 1.333 m y una altura de −2 kN.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento de flexión para la viga simplemente apoyada.
Determine el momento de flexión positivo máximo y el momento de flexión negativo máximo que se
producen en la viga.
Primero buscamos las reacciones y para eso nos auxiliamos del siguiente diagrama:
Solución:
Reacciones en los apoyos:
𝐵
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
Ahora hay que construir los diagramas de cortante y momento a partir de las relaciones de carga.
Construir el diagrama de fuerza cortante
Antes de comenzar, complete el diagrama de carga observando las fuerzas de reacción y usando flechas para
indicar sus direcciones correctas. Use las cargas distribuidas originales, no las fuerzas resultantes, para construir el
diagrama V.
a. V (x = −5–) = 0 kips. (Por la izquierda de x = 5)
b. V (x = −5+) = −30 kips (Regla 1). (Por la derecha de x = 5)
c. V (x = 0−) = −30 kips (Regla 2). (Por la izquierda de x = 0)
Hay un área cero debajo de la curva de carga w entre los puntos A y B; por lo tanto, ΔV = 0 entre b y c.
d. V (x = 0+) = +35 kips (Regla 1). (Por la derecha de x = 5)
e. V (10) = +15 kips (Regla 2: ΔV = área bajo la curva de carga w). El área bajo la curva w entre B y C es −
kips.
Por lo tanto, en este punto el valor del cortantes es V e
= +35 – 20 = + 15 kips. Como w es constante en
esta región, la pendiente del diagrama V también es constante (Regla 3) e igual a −2 kips/ft entre d y e.
f. V (x = 20−) = − 35 kips (Regla 2: ΔV = área bajo la curva de carga w). El área bajo la curva w entre C y D es −
50 kips. (a la izquierda de x = 20)
Por lo tanto, en este punto el valor del cortantes es Vf = +20 – 50 = – 35 kips. La pendiente del diagrama V
es constante (Regla 3) e igual a −5 kips/ft entre e y f.
g. V (x = 20+) = 0 kips (Regla 1). (Por la derecha de x = 5)
h. Para completar el diagrama V, ubique el punto entre e y f donde V = 0. La pendiente del diagrama V en
este intervalo es −5 kips/ft (Regla 3).
En el punto e, V = +15 kips; en consecuencia, la fuerza de corte debe cambiar por ΔV = −15 kips para que
se cruce con el eje V = 0. Use la pendiente conocida y el ΔV requerido para encontrar Δx:
Como x = 10 ft es el punto e, el punto f se encuentra a 3 ft del punto e la viga, por lo tanto, h está localizado en x =
10 + 3 = 13 ft. (Observe la figura).
Construir el diagrama de momento de flexión
A partir de realizado el diagrama de cortante, los siguientes pasos se utilizan para construir el diagrama de
momentos (M):
i. M (x = – 5) = 0 (Hay momento cero en el extremo libre de una viga simplemente apoyada).
j. M (x = 0) = −150 kip ⋅ ft (Regla 4: Δ M = área bajo diagrama de la gráfica de V). El área de la región (1) es
(−30 kips) * (5 ft) = −150 kip ⋅ ft; por lo tanto, ΔM = −150 kip ⋅ ft.
