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Calculo vectorial
Unidad 1 vectores
Alumno: Manuel Humberto Valenzuela Gutierrez 1.Definicion de un vector en R2 y R3 (interpretación geométrica) En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). 2.Operaciones con vectores y sus propiedades En las cantidades vectoriales, se deben especificar tanto su magnitud (número) como su dirección, en contraste con las cantidades escalares que se pueden especificar con solo el número. Cualquier conjunto de vectores del mismo tipo, (que tengan las mismas unidades) se puede combinar por medio
de las operaciones básicas con vectores. ¡Precaución! Esto es un documento HTML grande. Puede ser necesario esperar un poco para que se carguen completamente todos los enlaces y queden operativos. La suma de vectores A y B gráficamente, se puede visualizar como dos recorridos consecutivos, donde el vector suma corresponde al vector distancia que va desde el punto inicial al punto final. A la izquierda tenemos una representación de vectores por medio de flechas dibujadas a escala. El comienzo del vector B, se coloca sobre el extremo final del vector A. El vector suma R se dibuja como el vector que va desde el punto inicial del vector A al punto final del vector B.
3.Producto escalar y vectorial Producto escalar El producto escalar o producto punto entre dos vectores se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo theta que forman. El resultado de esta operación es un número o escalar. Propiedades del producto escalar:
- Conmutativa:
- Distributiva respecto a la suma vectorial:
- Asociatividad respecto al producto por un escalar m: Beneficios del producto escalar: Angulo entre dos vectores: La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores. Vectores ortogonales: Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales; ya que el coseno de π/2 es 0. Vectores paralelos o en una misma dirección: Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o 180 grados. Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto, el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.
Producto vectorial El producto vectorial o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. El producto cruz se puede calcular de la siguiente manera: Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección. Identidades: Cualesquiera que sean los vectores , y :
- Anticonmutatividad:
- Cancelación por ortogonalidad:
- Si con y ,
- Regla de la expulsión:
- Identidad de Jacobi:
Utilidad del producto escalar y del producto vectorial El producto escalar de 2 vectores nos da información sobre el ángulo que forman entre ellos. El producto vectorial nos proporciona las coordenadas de un vector perpendicular a ambos vectores. Este vector perpendicular tiene el sentido que nos indica la ley del “tornillo”. Además, el módulo o longitud del vector obtenido en el producto vectorial es el área del paralelogramo que definen estos vectores. Fórmula para obtener el ángulo formado por 2 vectores: Fórmula para obtener el módulo del vector resultado del producto vectorial: EJEMPLO (producto escalar): Para los vectores tenemos que:
Para los vectores tenemos que: Cuando el producto escalar de dos vectores es 0 los vectores forman entre sí un ángulo recto (90º). Si el producto escalar de 2 vectores es cero los vectores son perpendiculares.
Para los vectores tenemos que: Este vector tiene módulo: El área del triángulo de vértices ABC es la mitad del módulo del vector producto vectorial, que vale 10. Es decir, vale 5.
5.aplicaciones físicas y geométricas El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las Matemáticas. El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y además, es un concepto importante en Física. Aplicación de los Vectores en Física Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1, F 2 , F3 y así sucesivamente hasta Fn actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+ … + Fn. Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. Trabajo: Si una partícula se desplaza desde el punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza, entonces el trabajo W realizado por el vector fuerza F está dado por W = F. AB, lo cual es igual a |F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza). Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y, respectivamente, entonces la velocidad de B respecto a A es - y la velocidad de A respecto a B es -. Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vector velocidad. Dado un vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial. Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una partícula es, v = d / t. Podemos observar que es la misma fórmula para
Aplicaciones físicas y geométricas
