Universidad Nacional de Santiago del Estero
Facultad de Agronomía y Agroindustrias
Departamento Físico-Matemático
CALCULO NUMERICO
Curso práctico con aplicaciones
a la Ingeniería en Alimentos
Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
2008
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Cálculo numérico: curso práctico con aplicaciones a la ingeniería en alimentos, Apuntes de Ingeniería Agronómica
Tipo: Apuntes
2018/2019
1 / 134
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Universidad Nacional de Santiago del Estero
Facultad de Agronomía y Agroindustrias
Departamento Físico-Matemático
CALCULO NUMERICO
Curso práctico con aplicaciones
a la Ingeniería en Alimentos
Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
Prólogo
Los métodos numéricos constituyen una herramienta muy valiosa para la resolución de problemas prácticos de Ingeniería, por ello el objetivo de este libro es presentarlos de manera práctica y sintética.
Los distintos capítulos se diseñaron de acuerdo con las exigencias requeridas para la en- señanza de cálculo numérico, asignatura de 3º año de la carrera de Ingeniería en Alimentos, des- de el punto de vista práctico, considerando que los temas desarrollados servirán como base para estudios más profundos. Los temas tratados incluyen aspectos teóricos y prácticos sobre modelos y algoritmos; aproximaciones y errores; solución numérica de ecuaciones; sistemas de ecuaciones lineales; aproximación polinomial y funcional; simulación; series de Fourier; transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales. Se presentan gráficos aclaratorios, algoritmos de cada método numéri- co, así como también ejercicios resueltos y propuestos aplicados a la Ingeniería de Alimentos.
Dra. Lucrecia Lucía Chaillou Cátedra de Cálculo Numérico Facultad de Agronomía y Agroindustrias Universidad Nacional de Santiago del Estero
Índice
4.2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAI-
- Dedicatoria Pág.
- Prólogo
- Índice 4-
- Capítulo 1: METODOS NUMERICOS, MODELOS Y ALGORITMOS 7-
- 1.1. METODOS NUMÉRICOS
- 1.2. MODELOS MATEMÁTICOS
- 1.2.1. Clasificación de modelos matemáticos
- 1.3. ALGORITMOS
- 1.4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA REAL
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 2: APROXIMACIONES Y ERRORES 15-
- 2.1. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
- 2.2. EXACTITUD Y PRECISIÓN
- 2.3. ERRORES 16-
- 2.3.1. Error absoluto y relativo
- 2.3.2. Errores en la resolución numérica
- 2.3.2.1. Error de truncamiento
- 2.3.2.2. Error de redondeo
- 2.3.2.3. Otros tipos de error
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 3: SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES 21-
- 3.1. METODO GRAFICO
- 3.2. METODOS NUMERICOS DE CALCULO DE UNA RAIZ 22-
- 3.2.1. Métodos cerrados 22-
- 3.2.1.1. Método de la Bisección
- 3.2.1.2. Método de la Falsa Posición o Regula Falsi
- 3.2.2. Métodos abiertos 26-
- 3.2.2.1. Método de Aproximaciones sucesivas
- 3.2.2.2. Método de Newton-Raphson o de la Tangente
- 3.2.2.3. Método de Newton de segundo orden
- 3.2.2.4. Método de Von Mises
- 3.2.2.5. Método de la secante
- 3.3. RAÍCES DE POLINOMIOS 35-
- 3.3.1. Teoremas fundamentales de la Teoría de ecuaciones algebraicas
- 3.3.2. División sintética
- 3.3.3. Regla de los signos de Descartes
- 3.3.4. Raíces racionales
- 3.3.5. Raíces irracionales
- 3.3.5.1. Método de Newton-Raphson
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 41-
- 4.1. CONCEPTOS PREVIOS 41-
- 42- CAS LINELES
- 4.2.1. Métodos directos 42-
- 4.2.1.1. Método de eliminación de Gauss
- 4.2.1.2. Método de Gauss - Jordan
- 4.2.1.3. Partición de matrices
- 4.2.2. Métodos iterativos
- 4.2.2.1. Método de Jacobi
- 4.2.2.2. Método de Gauss–Seidel
- 4.2.2.3. Método de Relajación
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 5: APROXIMACION POLINOMIAL Y FUNCIONAL 56-
- 5.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL 56-
- 5.1.1. Diferencias finitas
- 5.1.2. Diferencias divididas
- 5.1.3. Interpolación con incrementos constantes. Interpolación de Newton
- 5.1.4. Interpolación con incrementos variables. Interpolación de Lagrange
- 5.1.5. Interpolación inversa
- 5.1.6. Derivación numérica
- 5.1.7. Integración numérica 66-
- 5.1.7.1. Regla trapecial
- 5.1.7.2. Regla de Simpson 1/3
- 5.1.7.3. Regla de Simpson 3/8
- 5.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL 71-
- 5.2.1. Regresión lineal
- 5.2.2. Linealización de relaciones no lineales
- 5.2.3. Regresión polinomial
- 5.2.4. Regresión lineal múltiple
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 6: SIMULACION 81-
- 6.1. METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN
- 6.1.1. Métodos de Montecarlo 82-
- 6.1.1.1. Generación de números aleatorios
- 6.1.1.2. Generación de Números pseudo aleatorios
- 6.1.1.2.1. Método de los cuadrados centrales
- 7.1.1.2.2. Método de los productos centrales
- 6.1.1.2.3. Métodos congruenciales
- 6.1.1.3. Aplicaciones de los métodos de Montecarlo
- 6.1.1.3.1. Paseo aleatorio
- 6.1.1.3.2. Integración por simulación
- 6.1.1.3.2. Línea de espera
- 6.2. Modelos Demográficos y de la Cinética Química 89-
- 6.2.1. Modelo demográfico
- 6.2.2. Modelos de la cinética química
- 6.2.2.1. Método diferencial
- 6.2.2.2. Método integral
- 6.2.2.3. Dinámica de sistemas cinetoquímicos
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 7: SERIES DE FOURIER 94-
- 7.1. CONSIDERACIONES PREVIAS 94-
- 7.1.1. Funciones periódicas
- 7.1.2. Series trigonométricas
- 7.1.3. Funciones seccionalmente continuas
- 7.1.4. Funciones pares e impares
- 7.2. DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER 97-
- 7.2.1. Cálculo de los coeficientes de Fourier
- 7.2.2. Expresión de la serie de Fourier para funciones de período arbitrario
- 7.2.3. Forma exponencial de la serie de Fourier
- 7.2.4. Consideraciones simplificatorias
- 7.2.5. Espectro de frecuencias
- 7.3. INTEGRALES DE FOURIER
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 8: TRANSFORMADA DE LAPLACE 105-
- 8.1. DEFINICIÓN DE TRASFORMADA DE LAPLACE
- 8.2. PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- 8.2.1. Transformada de Laplace de operaciones
- 8.3. MÉTODOS PARA CALCULAR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
- 8.4. VENTAJAS DEL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- 8.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
- 8.6. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
- 8.7. INTEGRAL DE CONVOLUCION
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- Capítulo 9: ECUACIONES DIFERENCIALES 112-
- 9.1. CONCEPTOS PREVIOS 112-
- 9.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 113-
- 9.2.1. Solución analítica
- 9.2.1.1. Solución por el método del operador diferencial
- 9.2.2. Solución por métodos numéricos
- 9.2.2.1. Métodos de un paso
- 9.2.2.1.1. Método de la Serie de Taylor
- 9.2.2.1.2. Método de Euler
- 9.2.2.1.3 Métodos de Runge-Kutta
- 9.2.2.1.4 Métodos de Heun
- 9.2.2.2. Métodos de pasos múltiples
- 9.3. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN 125-
- 9.3.1. Métodos de resolución
- 9.3.1.1. Método del operador diferencial
- 9.3.1. 1.1. Solución complementaria
- 9.3.1.1.1.1. Caso sobre-amortiguado
- 9.3.1.1.1.2. Caso crítico
- 9.3.1.1.1.3. Caso oscilatorio amortiguado
- 9.3.1.1.2. Solución particular
- 9.1.1.3. Solución general
- 9.3.1.2. Método de los coeficientes indeterminados
- 9.4. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 131-
- 9.4.1. Ecuaciones elípticas
- 9.4.2. Ecuación Parabólica
- 9.4.3. Ecuación Hiperbólica
- EJERCICIOS PROPUESTOS
- BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
Cálculo Numérico Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
Capítulo 1
METODOS NUMERICOS, MODELOS Y ALGORITMOS
La resolución de problemas de Ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas. Muchos de estos problemas sólo se pueden resolver de forma aproximada, por ello es importante el estudio de una rama de las Ma- temáticas denominada Análisis Numérico, esta rama involucra el estudio de Métodos Numéricos. Su desarrollo estuvo y está notablemente influenciado y determinado por las computadoras digita- les que permiten realizar los cálculos de manera veloz, confiable y flexible.
1.1. METODOS NUMÉRICOS
Se pueden definir a los métodos numéricos como las técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de manera que puedan resolverse utilizando operaciones aritméti- cas , ó también como el grupo de conocimientos matemáticos relacionados con el diseño y análi- sis de algoritmos necesarios para resolver problemas de ciencia e ingeniería. Estos métodos se caracterizan porque: permiten dar más importancia a la formulación e interpretación de la solución, los cálculos involucrados están relacionados con cantidades discretas, permiten obtener resulta- dos aproximados y ayudan a identificar, cuantificar y minimizar los errores.
Existen varios motivos por los cuales deben estudiarse estos métodos:
- Son herramientas poderosas para la solución de problemas. Permiten manejar sis- temas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas.
- Su teoría es la base de programas de métodos numéricos.
- Su conocimiento permite diseñar programas propios.
- Son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras persona- les.
- Son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas. Estos métodos permiten: 9 Encontrar las raíces de ecuaciones lineales y no lineales 9 Resolver grandes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 9 Encontrar aproximaciones de funciones
Cálculo Numérico Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
entre las variables; en la segunda etapa se deben determinar las ecuaciones asociadas al modelo y seleccionar y estimar los parámetros del modelo.
El objetivo del modelo es aplicarlo para obtener alguna información del problema o fenó- meno que se estudia. Frecuentemente sufre modificaciones y a veces es descartado y aunque contenga errores, puede poner en evidencia componentes esenciales de una realidad compleja.
1.2.1. Clasificación de modelos matemáticos
Los modelos matemáticos pueden clasificarse en función del tratamiento de la incertidum- bre; del origen de la información; de su campo de aplicación, etc.
a) En función del tratamiento de la incertidumbre
Determinístico: se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determina- dos.
Estocástico: probabilístico, no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por
lo tanto incertidumbre.
b) En función del origen de la información utilizada para construirlos
Modelos heurísticos: del griego euriskein , hallar, inventar. Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
Modelos empíricos: del griego empeiricos (experiencia, experimento) Son los que utilizan las
observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.
c) En función de su campo de aplicación
Modelos conceptuales : son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en la naturaleza.
Modelo matemático de optimización: los modelos matemáticos de optimización son ampliamen- te utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más de una solución posible.
d) En función del factor tiempo
Modelos estáticos : son independientes del tiempo, consideran situaciones estacionarias.
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Modelos dinámicos : son los que describen el comportamiento del sistema en estudio en función del tiempo.
1.3. ALGORITMOS
Un algoritmo puede definirse como una secuencia lógica de pasos necesarios para la eje- cución de una tarea específica, tal como la solución de un problema, ó también como una secuen- cia de instrucciones para alcanzar un resultado deseado en un tiempo finito.
Un buen algoritmo se caracteriza por: terminar luego de una cantidad finita de pasos, ser lo más general y preciso posible, ser determinístico, no dejar nada al azar y permitir obtener resulta- dos independientes de quien lo está utilizando.
Para generar un algoritmo se debe seguir una serie de pasos:
- Determinar el objetivo de la tarea
- Identificar los datos de entrada y de salida
- Determinar el proceso involucrado
- Identificar las variables internas
- Dividir el proceso en acciones elementales
- Determinar la secuencia de estas acciones
- Incorporar estructuras de control Por lo general, el objetivo del algoritmo será el de implementar un procedimiento numérico para resolver un problema o para aproximar una solución del problema. Consta de un principio; de una serie de pasos en los que se deben definir los valores iniciales de las variables del proble- ma, operar con estos valores hasta llegar a un resultado, proporcionar un resultado y de un final.
Un algoritmo se puede representar mediante un pseudocódigo que especifica los datos de entrada, la forma de los resultados deseados y los pasos involucrados ó bien mediante un dia- grama de flujo que es una representación visual o gráfica del algoritmo que emplea una serie de bloques y flechas. Cada bloque representa una operación particular o un paso en el algoritmo. Las flechas indican la secuencia en que se implementan las operaciones.
Los símbolos que se utilizan en diagramas de flujo se representan en la Figura 1.1.
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1.4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA REAL
Consideremos el problema físico de una encomienda que se deja caer desde un globo ae- rostático. Se desea determinar la velocidad de caída luego de 12 segundos si la masa del cuerpo es 70 kg y que el coeficiente de roce es 0,27 kg/m.
En la Figura 1.3 puede observarse un esquema de la situación planteada.
Figura 1.3. Representación de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en caída libre.
El modelo físico que lo rige está dado por la segunda Ley de Newton. Su expresión ma- temática es
F= M a (1.1) Este modelo es una idealización y simplificación de la realidad, no incluye los efectos de la relatividad, donde F corresponde a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, M es la masa del objeto y a su aceleración.
Para un cuerpo que cae dentro del perímetro de la Tierra, la fuerza neta está formada por dos fuerzas opuestas: la atracción hacia abajo debida a la gravedad P y la fuerza hacia arriba de- bida a la resistencia del aire Fγ, si consideramos el sistema de referencia positivo hacia abajo, esta última tendrá signo negativo. La resistencia ofrecida por el aire puede expresarse de varias mane- ras, una aproximación sencilla es suponer que:
Fγ = γ v (1.2) Además la aceleración puede expresarse como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), por lo tanto la ecuación (1.1) puede escribirse como
M dvdt = Mg−γv (1.3)
Si se divide por M a ambos miembros para normalizarla se llega a la ecuación dvdt (^) = g −Mγv (1.4)
P
Fγ
t=
t=t
y(t)
Cálculo Numérico Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
La ecuación (1.4) es un modelo matemático y es una ecuación diferencial puesto que está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt). Para resolverla pueden utilizarse dos métodos: el analítico que aplica las reglas del cálculo diferencial o bien el método numérico.
a) Solución analítica
La solución analítica exacta de la ecuación (1.4) es:
= γ −
− γt v( t) gM 1 e M (1.5)
Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.5) se obtiene
(^2) − 070 ,^27 t v(t)^9 ,^80 (m, 27 /(skg)^70 /m()kg) 1 e
b) Solución numérica
Como se mencionó anteriormente, los métodos numéricos permiten reformular el problema para que se pueda resolver mediante simples operaciones aritméticas. Entonces se aproxima la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo por:
i 1 i
i 1 i t t
v(t ) v(t) t
v dt
dv −
Reemplazando en (1.4) v( tt ) tv(t) g Mv(ti) i 1 i
i 1 i = −γ −
Esta ecuación puede reordenarse para obtener la velocidad en el instante t (^) i+
v( ti + 1 )= v(ti)+⎢⎣⎡^ g−Mγv(ti)⎥⎦⎤(ti+ 1 −ti) (1.8)
De manera que la ecuación diferencial se transforma en una ecuación algebraica, en la
que se puede calcular v (t (^) i+1) si se da un valor inicial a v (t (^) i ), y donde (^) ⎢⎣⎡^ g − (^) Mγv(ti )⎥⎦⎤ es la pendiente
de la recta descripta por esta ecuación, es decir:
(nuevoValor de v) =(anterior Valor dev) +(pendienteValor dela) x(Incrementotiempo de)
Como en el instante inicial la velocidad del cuerpo es 0, se toma éste para calcular la velo- cidad en t=2 s y así sucesivamente. En la Tabla 1.4 se muestran los valores de velocidad obteni- dos para la solución analítica y la solución numérica.
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Capítulo 2
APROXIMACIONES Y ERRORES
El análisis del error en un resultado numérico es esencial en cualquier cálculo hecho a ma- no o con una computadora. Los datos de entrada rara vez son exactos puesto que se basan en ensayos experimentales o bien son estimados y los métodos numéricos introducen errores de varios tipos, por ello brindan resultados aproximados. En la práctica profesional, los errores son costosos y en algunos casos letales. Además como los resultados de los métodos numéricos son aproximaciones, es necesario tener en claro los conceptos de cifras significativas, exactitud y pre- cisión.
2.1. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
La confiabilidad de un valor numérico está dada por sus cifras significativas que se defi- nen como el número de dígitos, más un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Por ejemplo, si se leen 25 ml en una bureta, que está graduada en 0,1 ml, se puede decir que el nivel del líquido es mayor que 25,1 y menor que 25,2 ml como puede observarse en la Figura 2.1. Has- ta puede estimarse con una aproximación de ± 0,05 ml, por lo tanto el volumen vertido es 25,15 ml que tiene 4 cifras significativas. Los primeros tres dígitos son seguros y el último es una estima- ción.
Figura 2.1. Representación de la sección de una bureta
Un cero puede ser significativo o no, dependiendo de su posición en un número dado. Los ceros que solamente sitúan la cifra decimal no son significativos, si se escribiera 25,15 ml como 0,02515 l, el número de cifras significativas sigue siendo el mismo. Los ceros al final de un núme- ro pueden ser significativos o no. Si se dice que un tanque de agua se encuentra a 10,0 m de altu- ra, significa que la altura se conoce hasta las décimas de metro. Si esa misma altura se da como
25
Cálculo Numérico Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
1000 cm la expresión es confusa y para mantener el criterio de cifras significativas se utiliza la notación científica 1,0 x 10 3.
2.2. EXACTITUD Y PRECISIÓN
La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad ó a la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.
La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdade- ro que se supone representa.
2.3. ERRORES
2.3.1. Error absoluto y relativo
El error se aplica para indicar la inexactitud y la imprecisión de las mediciones. El error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado: E (^) v = valor verdadero – valor aproximado (2.1) El error relativo fraccional resulta de normalizar el error respecto al valor verdadero:
valorverdadero Error relativofraccional= error (2.2)
Si se expresa en porcentaje:
E (^) v = (^) valorerrorverdaderoverdaderox 100 (2.3)
El error relativo porcentual de aproximación está dado por:
E (^) a= aproximaciónaproximaciactual^ −ónaproximaciactual ónpreviax 100 (2.4)
Por lo general se toma el valor absoluto del error. De acuerdo con Scarborough, se tiene la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas si se cumple el siguiente criterio:
∈s =( 0 , 5 x 102 −n)% (2.5)
donde ∈s es la tolerancia prefijada.
Cálculo Numérico Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
- Para la multiplicación y la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contienen las cantidades en operación.
- En el caso de operaciones combinadas se ejecutan las operaciones entre parénte- sis y el resultado se redondea antes de proceder con la otra operación. Si los cálculos se realizan utilizando una computadora se debe considerar que la mayoría de ellas guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo y resultan críticos en dos casos:
- Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una res- puesta, además los cálculos dependen entre sí, por lo tanto los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores y por lo tanto el efecto de acumulación en el transcurso de una gran cantidad de cálculos resulta significativo.
- Si se realizan operaciones algebraicas con números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Además la mayoría de las computadoras representan a los números como números de punto flotante. La representación de punto flotante de un número está dada por la siguiente ex- presión:
fl (x)= ε 0 .a 1 a 2 a 3 LapB^ b (2.8)
Donde:
ε: es el signo del número, puede ser positivo o negativo
a 1 a 2 a 3 ...ap: es la parte fraccionaria significativa
B: es la base, puede ser 2, 10 ó 16
b: es el exponente entero, las computadoras de 12 dígitos tiene un valor de b de ± 999
p: es el número de dígitos significativos (precisión)
Por ejemplo, si se quiere representar el número 24,12 como un número de punto flotante con B=10 y p=4, este será:
fl(x)= +.2412x10^2 Si la computadora admite solo p cifras significativas el redondeo se hace al número más próximo. Dado el número:
El redondeo para este número utilizando el punto flotante fl(x) es:
x =ε 0 .a 1 a 2 a 3 La (^) pap+ 1 ap+ 2 L 10 b
Cálculo Numérico Dra. Lucrecia Lucía Chaillou
Las cotas del error de redondeo serán:
a) Error absoluto Ea= fl(x)-x con su valor absoluto Ea ≤ 0. 5. 10 b−p b) Error relativo Er = Ex^ a^ con su valor absoluto Er ≤ 0. 5. 10 −p
2.3.2.3. Otros tipos de error
Errores por equivocación
Son errores por torpeza o por equivocación, son debidos por lo general a errores humanos. Las equivocaciones ocurren en cualquier etapa del proceso de modelado matemático y pueden contribuir con las otras componentes del error.
Errores de formulación
Estos errores degeneran en un modelo matemático incompleto y si se está usando un mo- delo deficiente, ningún método numérico generará resultados adecuados.
Incertidumbre en los datos
Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo. Son errores que muestran inexactitud e imprecisión.
EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1. Suponga que debe cuantificar la cantidad de β-caroteno en lechuga y experimentalmente se determinó que el valor es 0,042 mg/100g. Si el valor verdadero es 0,048 mg/100g, indique el error verdadero y el error relativo porcentual.
2.2. Estime el valor de e 0.5^ utilizando la expansión en serie de Mac Laurin, calculando los errores relativos porcentuales real y aproximado (considere que el valor real de e 0.5^ es1, 648721271 des- pués del agregado de cada término hasta que el valor absoluto del error aproximado sea menor que el criterio establecido por la fórmula de Scarborough para 3 cifras significativas.
2.3. En la tabla que sigue se muestran las velocidades de formación del compuesto C, mediante una reacción enzimática, a partir de los reactivos A y B. Se indican las velocidades de formación con 3, 4, 5 y 6 cifras significativas. Calcule los errores relativos porcentuales para un tiempo t = 12s, considerando que el valor real con 10 cifras significativas es 4984,921508 μg/s.
fl(x) 0 .a a a (a 1 ) 10 sia 5
fl(x) 0 .a a a a 10 sia 5
1 2 3 p b p 1
1 2 3 p b p 1 =ε + ≥
=ε <
L