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Jessica Milena Montaño linares
Fundación Universitaria San Mateo
Ingeniera en Seguridad y Salud en el Trabajo
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01 de febrero de 2025
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Cálculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución: Métodos de Rebanada, Disco y Anillo, Apuntes de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos
Una guía detallada sobre el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución utilizando los métodos de rebanada, disco y anillo. Se explica cada método con ejemplos prácticos y se incluyen las fórmulas matemáticas relevantes. Útil para estudiantes de ingeniería que buscan comprender y aplicar estos conceptos en problemas de cálculo.
Tipo: Apuntes
2023/2024
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1.5.7 Momento Colaborativo Actividad Dos-4 (Foro de discusión) Jessica Milena Montaño linares Fundación Universitaria San Mateo Ingeniera en Seguridad y Salud en el Trabajo Modulo Introductorio 01 de febrero de 2025
¿Cómo se define en cálculo los términos rebanada, disco y anillo, para qué se utilizan y en qué campo de la ingeniería se aplican estos conceptos? Mencione un ejemplo en cada caso y explique el paso a paso. Método de rebanada: El método de rebanada se puede definir, como una técnica útil para encontrar el volumen de un sólido. Recordando que una rebanada es la intersección del sólido con el plano, visto de una manera más formal, se tiene que existe una función continua que nos permite conocer el área de una región de sección transversal que se genera al rebanar el sólido por un plano perpendicular al eje. La descripción matemática para este método es: V = ∫ A ( x ) dx Donde a y b son los planos que acotan al sólido y A ( x ) es la función área. Cabe destacar que teniendo en cuenta la geometría del sistema se puede tener el caso: V = ∫ A ( y ) dy En Ingeniería Civil se aplica este método de integración en Líneas Circulares, dicha aplicación se basa en determinar una línea circular que exige dividir la masa en varias rebanadas verticales, de este modo se puede suponer que el terreno a trabajar sea homogéneo y que pueda representar su fondo curvo como una línea recta. Ejemplo Encontrar el volumen de solido generado al rotar sobre el eje 𝑌 y la región acotada por la curva y = x (^2) en el intervalo[ 0 , 4 ] Para comenzar, se hará uso del software Geómetra para graficar la función en el intervalo y crear el sólido
MÉTODO DE DISCO: Para obtener el volumen de un disco se multiplica el área de un circulo por el ancho del mismo, teniendo en cuenta que el ancho deberá ser de longitud infinitesimal será nuestro diferencial. Resultando lo siguiente: Donde Ac = π ri^2 es el área de un circulo y (^) ∆ x es el ancho del círculo, es decir v = π ri 2 ∆ x Teniendo en cuenta que el radio del círculo es una función continua entonces integrando el volumen en un intervalo [ a , b ] obtendremos que: v =∫ a b π ( R ( x )) 2 dx Recordando que se tiene en cuenta la geometría del sistema se puede tener el caso: v =∫ c d π ( R ( y )) 2 dy Ejemplo: Hallar el volumen que se engendra al girar alrededor del eje (^) X entre la siguiente parábola (^) y = x 2 4 y las rectas x = 4 , x = 0
Para calcular el volumen, se sigue la definición, en donde: v =∫ 0 4 π ( x 2 4
2 dx Sacando la constante de la integral y resolviendo el cuadrado: v = π ∫ 0 4 x 4 16 dx Se resuelve la integral: v = π 16
x 5 5
4 Evaluando los límites: v =^ π 80
5 − 0 5 v = π 80
v = 64 π 5 Donde el volumen del sólido es V = 64 π 5 [ u 3 ] donde (^) [ u^3 ] son las unidades del volumen. MÉTODO DEL ANILLO: Esta técnica nos ayuda a determinar el volumen de un sólido, consiste en formar secciones transversales sobre el sólido, de tal forma que al hacerlas rotar sobre el eje genere un sólido de revolución que pueda modelarse como una superposición de anillos. La descripción matemática de este modelo es: Recordando que el volumen del anillo es realizar una multiplicación entre el área del anillo y su grosor, de modo que nos queda: v = Aa ∆ x Teniendo en cuenta que R ( x ) es el radio externo del anillo y r ( x ) es el radio interno del anillo, ahora integrando la función en el intervalo (^) [ a , b ] resulta: v =∫ a b π ¿ ¿ Al igual que el anterior método, se tiene en cuenta la geometría del sistema se puede tener el caso: (^) v =∫ c d π ¿
v =∫ − 2 1 π ¿ ¿ Expandiendo el cuadrado: v =∫ − 2 1
( x
2 − 6 x + 9 − x 2 − 2 x 2
− 1 ) dx
Operando los términos semejantes: (^) v = π (^) ∫ − 2 1
(− x^4 − 2 x^2 − 6 x + 8 ) dx
Integrando se obtiene: v = π [ − x 5 5
2 x 3 3
6 x 2 2
- 8 x ¿− 2 1 Evaluando en los límites: v = π [
5 −( 2 ) 5 )−
3 (− 2 ) 3
2 −(− 2 ) 2
+ 8 ( 1 −(− 2 ) ) ]
v = π [
( 1 + 8 )− 3 ( 1 − 4 ) + 8 ( 1 + 2 ) ]
v = π [
( 9 )− 3 (− 3 ) + 8 ( 3 ) ]
v = π [
− 6 + 9 + 24 ]
v = π ¿ v =
π Donde el volumen del sólido es V =
π [ u 3 ] donde (^) [ u^3 ]son las unidades del volumen.
- Solucione el siguiente ejercicio: La región limitada por la curva (^) y = x^2 y las rectas y = 1 y x = 2 gira alrededor de la recta (^) y =− 3. Encontrar el volumen del sólido generado considerando los elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución. Teniendo en cuenta que el eje de rotación es en la recta (^) y =− 3 , entonces dejaremos la curva en termino de 𝑦, reescribiendo se tiene: y = x 2
→ x =√ y
Por lo tanto, la integral nos quedaría de la siguiente manera: v =∫ 1 2
π ( √ y −(− 3 ))
2 dy
v =∫ 1 2
π ( √ y + 3 )
2 dy Expandiendo el cuadrado de la integral y sacando el 𝜋: v = π ∫ 1 2
( y + 6 √ y + 9 ) dy
Por separación de integrales: v =¿ Resolviendo cada integral: v = π ¿ ¿ π [
[
y 2
2 ]
+ 6 [
2 y 3 2
2 ]^
1 +[ y ]
]
Evaluando los límites de integración:
v = π {^1
2 − 1 2
3 (^2) − 1 3
Calculando los interiores de los paréntesis: v = π
3
v =4.85 π Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es (^) v =4.85 π [ u^3 ]donde¿ son las unidades del volumen.