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En este documento se presenta el proceso para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan. Se incluyen ejemplos con diferentes sistemas de ecuaciones y se utiliza GeoGebra para verificar los resultados.
Tipo: Ejercicios
1 / 11
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Mapa mental: estudiante 1
Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones
lineales en la solución de problemas básicos.
a)
x + y + z = 12
2 x − y + 3 z = 17
3 x + 2 y − 5 z =− 8
|
|
Respuesta:
Planteamos la matriz de la siguiente manera:
x y z
|
|
Primer paso:
Intercambiar fila F 1
3
así:
x y z
|
|
Segundo paso:
Convertir el 3 en 1 así:
x y z
|
|
Paso 3 convertir el 2 en cero así:
x y z
|
|
Paso 4 convertir el 1 en cero así:
|
|
Paso 7 convertir
en cero así multiplicándola en
así:
|
|
Paso 7 convertir
en 1 así dividiendo en
así:
|
|
Paso 8 convertir 2 / 3 en cero así multiplicando en
así:
|
|
Comprobación geogebra:
Descripción del ejercicio 3.
Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y
resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según
los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras
herramientas como Scilab, Octave o Matlab):
a) Un joven emprendedor distribuye huevos de tres precios: Huevo
normal a $300, huevo semi orgánico a $600, huevo orgánico a
$1500. El día que inició su negocio, en un solo día, vendió 260
huevos en total. De la venta de ese día, recaudó $180000 en total.
Se sabe que vendió el doble de huevos de $300 que de $1500.
Calcular cuántos huevos de cada uno vendió en ese día.
Respuesta:
Ecuación 1: x + y + z
Ecuación 2: 300 x + 600 y + 1500 z =180.
Ecuación 3: z = 2 x
Ecuación 4: x + y + 2 x = 260 → 3 x + y = 260
Ecuación 5: 300 x + 600 y + 1500 ( 2 x )=180.
→ 300 x + 600 y + 3000 x =180.
→ 3300 x + 600 y =180.
Ecuación 6: (^) y = 260 − 3 x
Ecuación 7: luego remplazamos la ecuación 6 en la ecuación 5 así:
3300 x + 600 ( 260 − 3 x )=180.
Simétricas de la recta:
x − x 0
a
y − y 0
b
z − z 0
c
i +( 5 −(− 3 ) ) ⏞ j +( 1 −( 4 ) ) k ⏞
i + 8 ⏞ j +(− 3 ) k ⏞
i + 8 ⏞ j − 3 k ⏞
Por tanto: a =− 5 b = 8 c =− 3
Ecuación vectorial y paramétrica:
x 1
y 1
z 1
x 2
y 2
z 2
Q + t
( x , y , z )=( 2,3,4 )+ t (−5, 2 , − 3 )
m =
y 2
− y 1
− z 1
x 2
− x 1
− z 2
m =
m =
x y z
y = mx + b
y =
x + b
(− 2 )+ b
b
x +
y =
x +
Luego la ordenamos así:
x + y −
Comprobación geogebra
Descripción ejercicio 5.
Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y
grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab,
Octave o Matlab):
Descripción ejercicio 6.
A continuación, se presentan las ecuaciones de dos planos. Se sugiere
emplear el producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos; en
caso de no serlo, se recomienda establecer las ecuaciones paramétricas
que describan la recta que se forma en el evento que exista la
intersección entre ellos.
1: x+2y-3z=
2: -2x-y+3z=
Respuesta:
Si el producto cruz de los vectores normales de los planos es nulo, entonces
los planos son paralelos.
N₁×N₂ = (0,0,0) ⇒ π₁ // π₂
1
2
[
i j k
]
i (^) [ ( 2 ) ( 3 ) −(− 1 )(− 3 )]− j [ (− 2 ) (− 3 ) −( 1 )( 3 )] + k (^) [ ( 1 ) (− 1 )−( 2 )(− 2 )]
1
2
= 3 i + 3 j + 3 k
1
2
Entonces podemos afirmar que los planos no son paralelos
Ecuación paramétrica
x 1
y 1
z 1
x 2
y 2
z 2
1 + t
( x , y , z )=( 1, 2 , − 3 ) + t (3,−3,− 6 )
m =
y 2
− x 2
− z 2
y 1
− x 1
− z 1
m =
m =
