Teoría del Riesgo: Métodos para Determinar la Distribución Exacta del Siniestro Total, Resúmenes de Análisis de Riesgo

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DISTRIBUCIÓN EXACTA DE S

Carrera: Actuaría

Clase: Teoría del Riesgo

28/02/2024-León, Guanajuato

1. Objetivo de la Investigación

El objetivo de este estudio es desarrollar y comparar métodos para determinar la

distribución exacta del siniestro total, S, definido como la suma de los reclamos

individuales en un portafolio de seguros. Para ello se utilizarán y relacionarán diversas

herramientas vistas en clase:

• Convolución: Método básico para obtener la distribución de la suma de

variables aleatorias.

• Funciones generatrices: Herramienta que permite caracterizar la distribución a

través de la función generadora de probabilidades (PGF) y la función generadora

de momentos (MGF).

• Métodos recursivos (Fórmula de Panjer): Técnica eficiente para calcular la

función de probabilidad de S cuando la frecuencia de reclamos pertenece a la

familia (a,b,0).

• Aproximaciones (Normal y Gamma): Métodos para aproximar la distribución

de S en casos en que el cálculo exacto resulta complejo o cuando se tienen

grandes volúmenes de reclamos.

2.Marco Teórico

• 2.1. Modelo de Pérdida Agregada

Sea S el siniestro total, definido como la suma de N reclamos:

𝑁

𝑖= 1

donde:

• N es una variable aleatoria que representa el número de reclamos en un

periodo.

• {Xi} son variables aleatorias independientes que representan el monto de cada

reclamo y son independientes de N.

2.2. Convolución

La convolución es el método fundamental para obtener la distribución de la suma de

dos o más variables aleatorias independientes.

• Caso Discreto:

Si X e Y son variables discretas con funciones de probabilidad fX(x) y fY(y), la

función de probabilidad de Z=X+Y es:

Esta herramienta facilita el cálculo de momentos (media, varianza, etc.) y en algunos casos la

reconstrucción de la distribución.

2.4. Métodos Recursivos: La Fórmula de Panjer

Cuando la variable N (la frecuencia de reclamos) pertenece a la familia (a,b,0) —que

incluye distribuciones como la Poisson, Binomial y Binomial Negativa— se puede usar

la fórmula de Panjer para calcular recursivamente la función de probabilidad de S.

2.4.1. Fórmula de Panjer

Sea fS(k) la probabilidad de que S tome el valor k. Si fN(n) satisface la relación de

Panjer, la recursión se formula como:

1. Condición inicial:

𝑠

2. Recurrencia para k≥1:

𝑠

𝑥

𝑥

𝑠

𝑘

𝑗= 1

Donde fX(j) es la función de probabilidad de la severidad de un reclamo, y los

parámetros a y b dependen de la distribución de N.

2.4.2. Ejemplo con Distribución de Poisson

Supongamos que:

• N∼Poisson(λ) (para la cual a=0 y b=λ).
• La severidad X es discreta con fX(1)=0.6 y fX(2)=0.4 (y asumimos fX(0)=0).

Entonces:

• fS(0)=e−λ.
• Para k≥1:

𝑠

2 ∗ 1

1

− 2

− 2

(suponiendo λ = 2).

Esta relación se utiliza recursivamente para obtener fS(k) para valores mayores de k.

2.5. Aproximaciones: Normal y Gamma

Cuando el cálculo exacto de la distribución de S resulta complejo o cuando el número

de reclamos es grande, se utilizan aproximaciones.

2.5.1. Aproximación Normal

Por el Teorema Central del Límite, para un gran número de reclamos, la distribución de

S se aproxima a una normal:

[

]

donde:

𝐸[𝑆] = 𝐸[𝑁]𝐸[𝑋] y 𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 𝐸[𝑁] 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑁)(𝐸[𝑋])

2

2.5.2. Aproximación Gamma

Cuando la distribución de S presenta asimetría (cola pesada), la aproximación Gamma

puede ser más adecuada. La densidad de una variable Gamma con parámetros α y β

es:

(𝑠)

𝛼

𝛼− 1

−𝛽𝑠

Los parámetros se obtienen igualando:

𝐸[𝑆] =

2

3. Ejemplo Integrado

Consideremos un portafolio de seguros con los siguientes supuestos:

• Frecuencia: N∼Poisson(λ=2).
• Severidad: Los montos individuales X tienen la siguiente distribución discreta:

o P(X=1)=0.6,

o P(X=2)=0.4.

3.1. Uso de la Convolución y Funciones Generatrices

• Convolución Directa:

La distribución de S se obtiene mediante la convolución sucesiva de la función

de probabilidad de X. En el caso discreto, se usarían sumas:

3.3. Aproximaciones

Calculamos los momentos:

• 𝐸[𝑋] = 1 ∗ 0. 6 + 2 ∗ 0. 4 = 1. 4

• 𝐸[𝑁] = 2 (𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛)

• 𝐴𝑠í, 𝐸

[

]

Para la varianza:

• Calcular Var(X) a partir de 𝐸

[

2

]

2

2

• Entonces 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 2. 2 − ( 1. 4 )

2

• Y Var(N) = 2 para una Poisson.
• Así, 𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 2 ∗ 0. 24 + 2 ∗ ( 1. 4 )

2

La aproximación normal es:

S ∼ N( 2.8 , 4.4 ).

Si se observa que la distribución de S es asimétrica, se puede ajustar una

aproximación Gamma igualando E[S] y Var(S).