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En este documento se estudia el concepto de espacio vectorial y la forma de encontrar una base para un espacio vectorial dado. Se presentan ejemplos de cálculo de bases, espacios nulos, imágenes y rangos de matrices. Se explica cómo escribir un vector en términos de una base dada y cómo calcular las coordenadas de un vector respecto a una base. El documento abarca temas fundamentales del álgebra lineal, como la dependencia e independencia lineal, combinaciones lineales y generación de espacios vectoriales. Es un material de gran utilidad para estudiantes que deseen comprender a fondo los conceptos básicos del álgebra lineal y su aplicación en la resolución de problemas matemáticos.
Tipo: Ejercicios
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Al inalizar la unidad, el alumno:
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn^ es una base de Rn.
Ahora veremos en el siguiente apartado ejemplos de bases para espacios vectoriales distintos de Rn.
En este apartado consideraremos ejemplos de espacios vectoriales distintos a Rn. Para manejar más fácilmente al espacio vectorial en su conjunto, encontraremos también algunas de las llamadas bases canónicas.
1. Consideremos el espacio vectorial formado por
H = {( x , y, z ) en R^3 tales que 2 x – y + 3 z = 0}
Vamos a encontrar una base para H.
Tomemos un vector ( x, y, z ) en H , entonces satisface el hecho de que
2 x – y + 3z = 0;
podemos reescribir esta condición como y = 2 x + 3 z , de donde tenemos que los vectores de H los podemos escribir de la siguiente manera:
x x z z
x x z z
2 3 2 x z 0
de donde podemos decir que los
vectores
y generan^ H.
Vamos ahora a probar que
y son linealmente independientes.
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero:
a b
, entonces tenemos que a = 0; 2 a + 3 b = 0 y b = 0, por
lo tanto
y son linealmente independientes.
Podemos concluir que, como son linealmente independientes y generan H,
entonces
y son una base para H.
2. Consideremos el espacio vectorial formado por todas las matrices de 2 ×2 de la forma
a b 2 2 a^ b
/ y R '
Vamos a encontrar una base para este espacio vectorial.
Tomemos una matriz de este espacio 0 0
a b
, entonces podemos
reescribirla como 0 0
a b
a b
de donde podemos afirmar que 0 1 0 0
y (^) generan todo el espacio vectorial. Claramente observamos
que también son linealmente independientes, por lo que podemos afirmar que son base del espacio D 2 × 2.
3. Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales
x y z x y z
Vamos a encontrar el conjunto solución S del sistema.
Para encontrar el conjunto solución consideremos la matriz aumentada asociada al sistema y llevémosla a la forma escalonada reducida por renglones.
Sea p un polinomio de P 3 , entonces p = a 1 x^3 + a 2 x^2 + a 3 x + a 4.
Si B es una base, entonces genera a P 3 y, por lo tanto, p es una combinación lineal de B.
Sea la combinación lineal p = b 11 + b 2 (1+ x ) + b 3 (1+ x^2 ) + b 4 (1 + x^3 ), entonces
p = b 1 + b 2 + b 2 x + b 3 + b 3 x^2 + b 4 + b 4 x^3 = ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 ) + b 2 x + b 3 x^2 + b 4 x^3
de donde igualando ambas expresiones tenemos que:
a 1 = b 4 ; a 2 = b 3 ; a 3 = b 2 ; a 4 = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 = b 1 + a 3 + a 2 + a 1
por lo tanto B sí genera a P 3.
Veamos ahora si B es linealmente independiente.
Consideremos una combinación lineal igual a cero,
b 11 + b 2 (1+ x ) + b 3 (1+ x^2 ) + b 4 (1 + x^3 ) = 0
entonces b 1 + b 2 + b 2 x + b 3 + b 3 x^2 + b 4 + b 4 x^3 = ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 ) + b 2 x
de tal manera, b 1 + b 2 + b 3 + b 4 = 0; b 2 = 0; b 3 = 0; b 4 = 0 de donde
b 1 = 0.
Por lo tanto, B es linealmente independiente y B es base de P 3.
6. Vamos a probar que {(1, 0), (0, 1)} es base para R^2.
Sea ( x, y ) en R^2 , entonces ( x, y ) = x (1, 0) + y (0, 1) por lo tanto genera a R^2. Si a (1, 0) + b (0, 1) = (0, 0) entonces a = 0 y b = 0, y es linealmente independiente, por tanto {(1, 0), (0, 1)} es una base para R^2 y recibe el nombre de base canónica.
7. De igual manera se puede probar que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base canónica para R^3. 8. Sea p en P 3 donde p = a 1 + a 2 x + a 3 x^2 + a 4 x^3 , entonces {1, x , x^2 , x^3 } generan a P 3.
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, entonces a 1 + a 2 x + a 3 x^2 + a 4 x^3 = 0, esto implica que a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = 0 por lo cual también son linealmente independientes.
Esto nos lleva a asegurar que {1, x , x^2 , x^3 } es una base para P 3 , llamada base canónica de P 3.
Ejercicio 1
a) En P 2 , { x^2 –1, x^2 –2, x^2 – 3}
b) En M 2 × 2
a) {( x , y, z ) en R^3 tales que 2 x – y – z = 0} b) {( x, y ) en R^2 tales que x + y = 0}
a) (^) x y x y
b) x^ y^ z x y z x y z
Como vimos anteriormente, si un espacio vectorial V tiene al menos una base que genera a todo el espacio vectorial, entonces cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base; sin embargo, surge
x = c 1 (^) − c 2 (^) , y = 3 c 1 (^) + 2 c 2 ; al resolver el sistema para c 1 y c 2 obtenemos que
c
x y c
x y 1 2
, (^) que son las coordenadas de ( x , y ) con respecto a la
base {(1, 3), (–1, 2)}.
c) Usando el ejemplo anterior vamos a encontrar las coordenadas del vector (1, 2) con respecto a la base {(1, 3), (–1, 2)}.
Sean c 1 y c 2 las coordenadas, entonces c 1
y
c 2
, de tal manera que, para ( x , y ) = (1, 2) obtenemos
(1, 2) = 4/5 (1, 3) – 1/5 (–1, 2).
Ejercicio 2
a) x = (3, 2); {(1, 3), (–1, 2)} b) x = (2, –4); {(2,5), (0, –3)} c) x = (3, 5, –1); {(1, 0, 3), (0, –2, 0), (0, 0, 1)}
Si hablamos de que un espacio vectorial puede tener muchas bases surge la pregunta: ¿contienen todas las bases el mismo número de vectores? La respuesta para Rn^ es sí, ya que el teorema 3.9. nos indica que “cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn^ lo generan”, y el corolario 3.1. nos dice que “un conjunto linealmente independiente contiene a lo más n vectores”. Al unir ambos resultados obtenemos que todas las bases de Rn contienen n vectores.
El siguiente teorema nos da la respuesta para todos los espacios vectoriales.
Teorema 4.2. Si { u 1 , u 2 ,.. ., u m } y { v 1 , v 2 , ..., v n } son bases de un espacio vectorial V , entonces m = n ; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores.
Y debido a él podemos definir el siguiente concepto que es uno de los más importantes del álgebra lineal.
Definición 4.2. Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores de todas sus bases y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión finita. A la dimensión de V se le denota por dim V.
En los siguientes ejemplos encontraremos la dimensión de varios espacios vectoriales.
Ejemplo 3
a) Si V = {0} entonces se dice que V tiene dimensión cero y dim V = 0. Éste es el único espacio con esta dimensión.
b) Consideremos el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 3, P 3.
Probaremos que el conjunto {1, x , x^2 , x^3 } es una base para P 3.
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, entonces a (1) + b ( x ) + c ( x^2 ) + d ( x^3 ) = 0, entonces a = b = c = d = 0, por lo tanto es linealmente independiente. Es obvio que el conjunto genera P 3 ; por lo tanto podemos afirmar que {1, x , x^2 , x^3 } es una base para P 3 y por lo tanto dim P 3 = 4.
c) Como las bases de Rn^ contienen n vectores podemos afirmar que dim Rn^ = n.
d) Consideremos el espacio vectorial de las matrices de orden 3×2, ( M 3 × 2 ) y el conjunto formado por las matrices
1 0 0 0 0 0
, comprobaremos que
son una base para M 3 × 2.
Tomemos una combinación lineal igual a cero.
Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensión 1.
Sea H un subespacio de R^3 de dimensión 1, por lo tanto tiene una base formada por un solo vector v = ( a , b , c ). Sea x = ( x , y, z ) en H , entonces existe t escalar tal que x = t ( a , b , c ), por lo tanto ( x , y , z) = t ( a , b , c ) = ( ta , tb , tc ) de donde x = ta , y = tb , z = tc. Pero esta es la ecuación de una recta en R^3 que pasa por el origen.
Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensión 2.
Sea H un subespacio de R^3 de dimensión 2, por lo tanto tiene una base formada por dos vectores v 1 = ( a 1 , b 1 , c 1 ) y v 2 = ( a 2 , b 2 , c 2 ). Sea x = ( x , y , z ) en H , entonces existen escalares s y t tales que x = s ( a 1 , b 1 , c 1 ) + t ( a 2 , b 2 , c 2 ), por lo tanto ( x , y , z) = s ( a 1 , b 1 , c 1 ) + t ( a 2 , b 2 , c 2 ) de donde x =sa 1 + ta 2 , y = sb 1 + tb 2 , z = sc 1 + tc 2.
Esta es la ecuación de un plano en R^3 que pasa por el origen.
Por lo tanto los únicos subespacios de R^3 son los vectores que están en una recta o en un plano que pasa por el origen.
¿Será necesario probar que un conjunto de vectores linealmente independientes genera a un espacio vectorial para asegurar que es una base? El siguiente teorema nos da una condición para asegurarnos que tenemos una base.
Teorema 4.4. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n forman una base para V.
Veamos algunos ejemplos donde usaremos este resultado para encontrar bases de espacios vectoriales.
Ejemplo 5
Consideremos a R^3 , ¿el conjunto {(2, 3, 5), (1,0,0), (2, –1, 0)} es una base de R^3?
Por el teorema anterior basta probar que es linealmente independiente ya que dim R^3 = 3.
Tomemos una combinación lineal igual a cero, a (2, 3, 5) + b (1, 0, 0) + c (2, –1, 0) = (0, 0, 0) entonces 2 a + b + 2 c = 0, 3 a – c = 0, 5 a = 0; de donde a = b = c = 0 ; el conjunto es linealmente independiente y por tanto una base para R^3.
Ejercicio 3
a) Cualesquiera tres vectores en R^3 forman una base para R^3. b) Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en R^3 forman una base para R^3. c) Una base para un espacio vectorial es única. d) Un espacio vectorial de dimensión 4 puede tener una base con 3 vectores. e) Si H es un subespacio de V , entonces dim H > dim V.
a) H = {( x , y , z ) en R^3 tales que 3 x – y +6 z = 0}
b) El espacio solución del sistema homogéneo
x y z x y z x y z
En la sección anterior vimos que es un poco difícil y tedioso encontrar una base para cualquier espacio vectorial; ahora veremos cómo se puede obtener una base para el espacio generado por un conjunto de vectores mediante la reducción por renglones de una matriz. Recordemos que para que un conjunto genere un espacio no es necesario que sea una base. También estudiaremos algunos conceptos muy importantes que se refieren a las matrices y por consiguiente a los sistemas de ecuaciones.
Definición 4.3. Sea A una matriz de m × n , consideremos el conjunto
NA = { x en Rn^ tales que A x = 0}
espacio nulo (kernel). Y por lo tanto: ν( A ) = 2, es decir, la nulidad de A es 2.
El siguiente resultado une los conceptos de matriz invertible con el kernel y nulidad.
Teorema 4.5. Sea A una matriz de n × n , entonces A es invertible, si y sólo si, ν( A ) = 0.
Recordemos que si A es invertible, el sistema A x = b tiene sólo una solución única x = A –1 b, esto nos lleva a que el sistema homogéneo A x = 0 sólo tiene la solución trivial x = 0, de donde el kernel de A , NA = { x en Rn^ tales que A x = 0}= {0} y por tanto ν( A ) = 0.
Definiremos otros conceptos que nos son necesarios para encontrar una base en el espacio generado por un conjunto de vectores.
Definición 4.4. Sea A una matriz de m × n. Entonces la imagen de A es el conjunto imagen A = { y en Rm^ tales que A x = y para alguna x en Rn }.
Encontraremos la imagen de una matriz.
Ejemplo 7
Sea A = 1 2 0 1
vamos a encontrar su imagen. Por la definición anterior tenemos que:
Imagen A = { y en R^2 tales que A x = y para alguna x en R^2 }, estamos buscando entonces todos los productos de la forma A x = y.
Sea x = ( x , y ) en R^2 , entonces A x =
x y x^ y y ,^ , de donde tenemos que los vectores de la imagen de A tienen la forma ( x + 2 y , y ), es decir,
imagen A = {( x +2 y , y )}.
El siguiente resultado nos dice que la imagen de una matriz es también un espacio vectorial y esto nos va a simplificar el método para encontrar una base para un espacio generado por un grupo de vectores.
Teorema 4.6. Sea A una matriz de m × n , entonces la imagen de A es un subespacio de Rm.
Usaremos el ejemplo anterior para checar que la imagen es en verdad un subespacio vectorial.
Ejemplo 8
Dada la imagen A = {( x +2 y , y )} mostrar que es un subespacio vectorial de R^2.
Tomemos dos elementos de la imagen A : u = ( u 1 +2 u 2 , u 2 ) v = ( v 1 +2 v 2 , v 2 ),
entonces u + v = ( u 1 +2 u 2 , u 2 ) + ( v 1 +2 v 2 , v 2 ) = ( u 1 +2 u 2 + v 1 +2 v 2 , u 2 + v 2 ) =
( u 1 + v 1 + 2 u 2 +2 v 2 , u 2 + v 2 ) = ( u 1 + v 1 + 2( u 2 + v 2 ), u 2 + v 2 ) está en imagen A.
α u = α( u 1 +2 u 2 , u 2 ) = ( α( u 1 +2 u 2 ), α u 2 ) = ( α u 1 +2 α u 2 , α u 2 ) está en la imagen de A, por lo anterior podemos decir que imagen A es un subespacio vectorial de R^2.
Como vimos, la imagen de A es un subespacio de Rm , y como dim Rm^ = m , entonces la imagen de A tiene dimensión finita. La siguiente definición nos dirá cuál es esa dimensión y cómo se llama.
Definición 4.5. Sea A una matriz de m × n. Entonces el rango de A , denotado por ρ( A ), está dado por ρ( A ) = dim imagen A.
Vamos a encontrar la dimensión de la imagen A del ejemplo anterior.
Ejemplo 9
Imagen A = {( x +2 y , y )}, entonces los vectores de la imagen se
pueden reescribir como x^ y y
x y y
^ + x y ^
de donde 1 0
, (^) generan la imagen A y como son linealmente independientes,
podemos asegurar que son una base para imagen A , por lo tanto el rango de la matriz A ρ( A ) = 2.
x y z
z z z
z
de esto se obtiene que
es una base para el
kernel, es decir NA = gen {(–1, 1, 1)}
ii ) Cálculo de la nulidad de A La nulidad de A = ν( A ) = dim NA = 1
iii ) Imagen de A
La imagen de A = CA = gen
, = R^2 ya que son 2 vectores linealmente independientes.
iv ) Rango de A ρ( A ) = dim imagen A = dim CA = 2
v ) Espacio de renglones RA. RA = gen {(1, 2, –1), (2, –1, 3)}
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero a (1, 2, –1)
Observemos que dim RA = dim CA = 2. ¿Será sólo una coincidencia? El siguiente resultado nos muestra que no.
Teorema 4.8 Si A es una matriz de m × n , entonces:
dim RA = dim CA = dim imagen A = ρ( A )
Este teorema nos indica que los espacios vectoriales formados por las columnas y por los renglones de una matriz tienen la misma dimensión, y que podemos usar cualquiera de ellos para encontrar el rango de una matriz. El siguiente ejemplo nos muestra un método usando los renglones de la matriz.
Ejemplo 11
Calcula la imagen y el rango de la matriz A =
Observemos que los renglones 2 y 3 se obtienen de multiplicar el primer renglón por 2 y –3, respectivamente, por lo que podemos asegurar que dim RA = 1 y por el teorema anterior afirmar que cualquier columna de A es base para la imagen de A y el rango de A es ρ( A ) = 1.
El siguiente teorema nos simplifica el cálculo de la imagen, el rango y la nulidad.
Teorema 4.9 Si la matriz A es equivalente por renglones a la matriz B , entonces RA = RB ; ρ( A ) = ρ( B ); ν( A ) = ν( B )
Este teorema es muy importante pues nos dice que para encontrar el rango y la imagen de una matriz basta llevarla a la forma escalonada por renglones para obtener el rango y la imagen.
También nos brinda un método para encontrar una base para el espacio generado por un conjunto de vectores.
Ejemplo 12
a) Calcular el rango y la imagen de la matriz A =
Vamos a reducirla por renglones.
De aquí podemos observar que dim RA = 2 = ρ( A ) y por tanto Imagen de A = gen {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
b) Encontrar una base para el espacio generado por el conjunto de vectores de R^3
