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Balance de Momentum, Calor y Masa
Ejercicios Agosto – Diciembre 2018
EJERCICIO 0 – REPASO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (OPCIONAL)
En cada caso, resolver la ecuación diferencial. Cuando se proporcione condiciones de frontera, emplearlas para obtener la solución particular. RESPUESTAS:
- dy^ e^3 x^^2 y dx
= + − 3 e −^2 y^ = 2 e^3 x + C
2.^ d^ xdy 0 dx dx
y^ =^ C 1^ ln x^ + C 2
3. ( 4 y + yx^2 ) dy − ( 2 x + xy^2 ) dx = 0 2 + y^2^ = C ( 4 + x^2 )
- x dy 2 y 3 dx
y C x
- dy^ e^3 x 0 dx
y = e −^ x + C
- dy^ y e^3 x dx
+ = con^ y^ ( 0 )=^13
y = e x^ + e − x
2 2 2 5 0
d y dy dx dx
(^52) 1 2 y = C + C e −^ x
2 2 9 0
d y (^) y dx
+ = y = C 1 sen ( 3 x ) + C 2 cos( 3 x )
2 2 10 25 0
d y dy (^) y dx dx
− + = y = C e 1^5^ x^ + C xe 2 5 x
2 2 4 5 0
d y dy y dx dx
− + = y = C e 1 2^ x^ sen x + C e 2^2 x cos x
EJERCICIO 1
Una pecera está derramando agua por un costado (de ancho B y altura H ), formando una capa vertical descendente de espesor δ uniforme. Empleando un sistema de coordenadas rectangulares, con el origen en la esquina superior de la pecera, realizar un balance diferencial de momentum en un volumen de control de espesor ∆ x para encontrar el perfil de velocidad v (^) z en función de x. Determinar también la velocidad máxima.
RESPUESTA:
ρ δ μ δ δ
z 2
g x x v
^ ^ ^
, ρ δ μ
2 z ,max 2 v = g
EJERCICIO 2
Adaptado de Bird (2002) Se tiene un líquido newtoniano que desciende en forma laminar formando una capa de espesor uniforme (^) δ por encima de una pared inclinada de longitud (^) L y ancho W. Empleando el sistema de coordenadas que se muestra en la figura, obtener la ecuación diferencial del sistema mediante simplificación de las ecuaciones de conservación, y determinar el
perfil de velocidades vz ( x ).
RESPUESTA: ρ δ^ β μ δ
2 2 1 2
cos z v = g^ ^ −^ x (^) ^
EJERCICIO 3 Adaptado de Bird (1960) y Bird (2002)
Se desea analizar el movimiento de un fluido newtoniano en flujo laminar isotérmico en el espacio anular entre dos tuberías cilíndricas coaxiales de radios (^) R y (^) κ R y longitud (^) L. La presión del fluido en los extremos es (^) P 0 en (^) z = 0 , y P L en^ z = L (con^ P 0 (^) > PL ).^ Como las tuberías están en posición horizontal, se puede ignorar el efecto de la gravedad. Obtener el perfil de velocidad v (^) z en función de r. OPCIONAL: Determinar también el flujo volumétrico y la velocidad máxima.
RESPUESTA:
μ κ
(^2 ) 0 1 1 4
ln ln
L z
P P R (^) r r v L R R
− ^ −
^ ^ ^
π (^) ( ) (^) κ ( κ) μ κ
4 22 0 1 4 1 8 ln
V P^ P^ L^ R L
− ^ − = ^ − +
μ κ κ
0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ,max (^4) ln ln ln
vz P^ P^ L^ R L
− ^ ^ − ^ ^ ^ − = (^) − (^) − (^) (^)
EJERCICIO 7 – OPCIONAL
Adaptado de Bird (1960). Un líquido newtoniano muy viscoso fluye en el espacio (^) κ R ≤ r ≤ R ( (^0) < κ< 1 ) entre dos esferas concéntricas, como se muestra en la figura. Se desea hallar la velocidad de flujo en el sistema en función de la diferencia de presión (^) Δ P que se
le aplica. Supóngase que v θ = v θ ( r ,θ)y que vr = 0 y v φ = 0. Despreciar también
la gravedad y los efectos en los extremos.
( A ) De la ecuación de conservación de masa, demostrar que v θ senθ= u r ( ),
donde u r ( )es una función de r aún desconocida.
( B ) Escribir el componente θ de la ecuación de conservación de momentum, suponiendo velocidades de flujo suficientemente bajas de forma que pueda despreciarse los términos de advección (flujo reptante). Demostrar que esta ecuación se reduce a:
μ θ (^) θ
2 2
sen
P d (^) r du r (^) r dr dr
= − ∂^ + ^ ^
∂ ^ ^
( C , opcional) La ecuación diferencial parcial obtenida en el inciso anterior se puede separar en dos siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, donde B es una constante de separación:
μ θ θ
sen dP^ B d^ r^2 du B d r dr dr
= ^ =
Resolver estas ecuaciones diferenciales para llegar a los siguientes resultados:
Δ ε^ ε ε ε ε ε
Δ (^) κ θ θΔ κ μ ε μ ε
(^1) donde 1 1 1
ln cos^ ln cos cos cos
, csc
P B BE E
u R^ P^ r^ R^ v r R^ P^ r^ R E R r E R r
= ^ −^ ^ = − = − ^ −
= ^ ^ − ^ + ^ − ^ ^ = ^ ^ − ^ + ^ −
EJERCICIO 8 – OPCIONAL
Considérese un cilindro hueco de radio interior R 1 y radio exterior R 2 y longitud L. Las superficies interna y externa del cilindro se mantienen a temperaturas constantes T 1 y T 2 , respectivamente, y los extremos del cilindro se mantienen aislados. Plantear el balance de energía en un volumen de control ubicado entre r y r + ∆ r , de la misma longitud L , y resolver la ecuación diferencial resultante para obtener el perfil de temperaturas T r ( ) en estado estable, para R 1 (^) ≤ r ≤ R 2.
RESPUESTA: (^) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 1 2 1
ln / ln /
r R T r T T T R R
EJERCICIO 9
Mediante simplificación de la ecuación de conservación de la energía térmica, determínese el perfil de temperatura en un cascarón esférico de radio interno R 1 y radio externo R 2 , cuyas superficies se mantienen respectivamente a temperaturas constantes T 1 y T 2.
RESPUESTA: ( ) ( ) (^ )
2 1 1 2 1 2 1
R r R T r T T T r R R
R 2
EJERCICIO 10
Se tiene una barra metálica recta de longitud (^) L que está aislada en todos sus lados excepto en el extremo (^) z = L , que se mantiene a una temperatura constante (^) TL. Dentro de la barra hay una generación de calor no uniforme dada por:
G = az L ( − z )
donde a es una constante con unidades W/m⁵. Determinar el perfil de temperatura en estado estable así como la temperatura máxima en la barra.
RESPUESTA: ( )
4 4 3 2 1 L 12 T z T aL^ z^ z k L L
^ ^ ^
4 max L 12 T T aL k
EJERCICIO 11
Un fluido newtoniano se mueve de forma laminar en una tubería cilíndrica de radio interno R y longitud L , con un perfil de velocidad dado por:
μ
2 2 1 z 4
R (^) r v L R
∆ ^
^
P
donde ∆ P es la diferencia de presión entre los extremos de la tubería y μ es la viscosidad del fluido. Si la viscosidad y la velocidad del fluido son suficientemente altas, la disipación viscosa de energía, producida por las fuerzas de fricción entre las capas de fluido, hace que la temperatura del fluido aumente. Se puede asumir que el sistema está en estado estable, que la pared de la tubería se mantiene a una temperatura constante Tw , y que las propiedades del fluido son constantes. Determinar el perfil de temperatura en este caso, en función de la posición r.
RESPUESTA:
μ
(^2 ) w 64 2 1
R (^) r T T L k R
∆ ^
^
P
EJERCICIO 12 Adaptado de Bird (2002) – OPCIONAL
Considerar un cascarón esférico de radios interno y externo R 1 y R 2 respectivamente. Una perforación se efectúa en el “polo norte” del cascarón al cortar el segmento cónico en la región 0 ≤ θ ≤ θ 1. Una perforación similar se hace en
el “polo sur” removiendo la porción comprendida en ( π − θ 1 )≤ θ ≤ π. Las superficies interna y externa del cascarón
se mantienen aisladas. La superficie expuesta en el agujero superior ( θ = θ 1 ) se mantiene a una temperatura T = T 1 , y la superficie expuesta en el agujero inferior ( θ = π − θ 1 ) se mantiene a una temperatura T = T 2. Encontrar la distribución de temperatura en estado estable en el cascarón.
vista del cascarón esférico en perspectiva
vista en sección transversal sobre el eje z
RESPUESTA: ( )
θ θ θ θ θ θ
1 1 1 2 1 1 1
sen cos ln sen cos
ln cos cos
T T T T
= + − ^
agujero en el “polo norte”
agujero idéntico en el “polo sur”
aislado por dentro y por fuera
cascarón sólido
por convección? El bronce empleado tiene una densidad de 8.8 g/cm³, un calor específico de 0.1 cal/g·°C y una conductividad térmica de 52 W/m·K. RESPUESTA: 1040 W/m²·K
EJERCICIO 17
Se disipa calor de una placa por medio de una serie de aletas rectas. Todas las aletas son idénticas, están hechas de cobre ( k = 400 W/m·K) y tienen una longitud de 25 mm y una sección transversal cuadrada (constante) de 5 mm de lado. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 347 W/m²·K (también constante). La temperatura de la placa es 80 °C y la temperatura del aire circundante es 25 °C. Considerando una sola de las aletas, calcular el número de Biot para la aleta y la rapidez de transferencia de calor (en watts). RESPUESTA: Bi = 0.434, Q = 8.43 W
EJERCICIO 18
Se desea utilizar aletas circulares de espesor uniforme para promover la transferencia de calor desde un tubo de 1 plg de diámetro. Las aletas deben tener 2 plg de diámetro y estarán fabricadas de acero inoxidable (15.1 W/m·K). La temperatura del tubo y del aire circundante son 90 °C y 20 °C, respectivamente. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 80 W/m²·K. Determinar qué espesor (en milímetros) deben tener las aletas, si cada una debe disipar calor con una rapidez de 11 W. RESPUESTA: 1.2 mm
EJERCICIO 19 – OPCIONAL
Se desea utilizar aletas de enfriamiento circulares de espesor constante para disipar calor de un tubo de 2 plg de diámetro externo cuya superficie se encuentra a 125 °C. Las aletas están hechas de bronce ( k = 109 W/m·K), tienen un diámetro externo de 3.5 plg y un espesor de 1/16 plg. El aire circundante se encuentra a 20 °C. Asumir h = 560 W/m²·K constante. Determinar cuántas aletas de enfriamiento se requieren para disipar 20 kW de calor por cada metro de longitud del tubo. RESPUESTA: Se requieren 79 aletas por cada metro de longitud del tubo
EJERCICIO 20 – OPCIONAL
La pared de una mufla mide 30×20 cm y está formada, de adentro hacia fuera, por una capa de 3.5 cm de ladrillo refractario de caolín ( k = 0.26 W/m·K), 4 cm de fibra de vidrio ( k = 0.081 W/m·K) y una lámina de 2.5 mm de espesor de aluminio ( k = 273 W/m·K). Determinar la resistencia térmica total y el flujo de calor a través de la pared cuando la mufla opera a 800 °C y la superficie externa de la lámina de aluminio se encuentra a 25 °C. Las resistencias por convección se pueden asumir despreciables. RESPUESTA: 74 W
EJERCICIO 21 – OPCIONAL
Se tiene un fluido circulando por el interior de un tubo, y otro fluido diferente circulando por el exterior. El coeficiente de transferencia de calor por convección en el interior del tubo es hi = 1035 W/m²·K, y el coeficiente de transferencia de calor por convección en el exterior del tubo es he = 1209 W/m²·K. El tubo está hecho de bronce ( k = 52 W/m·K) y sus dimensiones son De = 1 plg, Di = 0.782 plg y L = 6 ft. Calcúlese la resistencia térmica total, el coeficiente global de transferencia de calor basado en el área externa, y el coeficiente global de transferencia de calor basado en el área interna. RESPUESTA: RT = 0.014546 K/W, U (^) e = 471.1 W/m²·K, U (^) i = 602.4 W/m²·K
EJERCICIO 22 – OPCIONAL
Se va a suministrar vapor a 130 °C a un equipo, empleando una tubería de 2 m de longitud y ½ plg de diámetro externo. ¿Con qué rapidez perderá calor la tubería si no se aisla? ¿Cuál es el radio crítico de aislamiento si se va a emplear un aislante con conductividad térmica de 0.065 W/m·K? ¿Cuánto calor perderá la tubería si el espesor del aislamiento es 5 mm? En todos los casos, despreciar la resistencia por conducción en la pared de la tubería, y usar un coeficiente de transferencia de calor por convección de 5 W/m²·K y temperatura ambiente de 25 °C. RESPUESTA: 41.9 W, 13 mm, 49.8 W
EJERCICIO 23
Un tubo de longitud total 2 L lleno de un gel permeable conecta dos recipientes idénticos llenos de una solución de un reactivo A, con concentración C (^) 0. El reactivo entra por difusión al gel, donde ocurre una reacción química A → B con una cinética de primer orden − r (^) A = kCA. Ubicando el origen del sistema de coordenadas en el centro del tubo, determinar el perfil de concentración de A en función de la posición en el gel.
RESPUESTA:
0
cosh / cosh /
AB A AB
x k C C L k
D
D
EJERCICIO 24 – OPCIONAL
Se emplea una tubo de membrana permeable (radio interno R 1 y radio externo R 2 ) para remover el dióxido de carbono de una corriente de aire cuya presión parcial de CO₂ es PA (^) 0 , que se puede asumir constante. El CO₂ se difunde radialmente a través de la pared del tubo desde el interior hacia el exterior, donde existe aire esencialmente libre de CO₂. El aire del exterior se difunde en dirección opuesta al CO₂, de tal forma que e n todo el sistema se mantiene la misma presión total de 1 atm. Determinar ( A ) el perfil de presión parcial de CO₂ en la pared del tubo, y ( B ) la densidad de flujo molar del CO₂ ( nA r (^) ,).
RESPUESTA: (^ )
2 0 1 2
ln / A A ln /
r R P P R R
0 ln 2 / 1
AB A A n P rRT R R
= D
EJERCICIO 25 Adaptado de Incropera (2006)
Usted ha experimentado el enfriamiento por convección si alguna vez sacó la mano por la ventana de un vehículo en movimiento o si la sumergió en una corriente de agua. Si la superficie de la mano se asume a una temperatura constante de 30 °C, estimar la rapidez con que se pierde calor por convección para ( A ) una velocidad del vehículo de 35 km/h en aire a −5 °C, y ( B ) una velocidad de 20 cm/s en una corriente de agua a 10 °C. ¿En cuál condición se sentirá más frío? RESPUESTA: (A) 1345.7 W/m² (B) 21575 W/m²
EJERCICIO 26 – OPCIONAL
Se desea estimar la rapidez con la que pierde calor un foco incandescente hacia el aire circundante. El foco se puede aproximar como una esfera de 50 mm de diámetro con una temperatura superficial de 125 °C, y el aire lejos del foco se encuentra a 27 °C. Calcular qué porcentaje de la energía consumida por el foco se pierde como calor por convección en los siguientes casos: ( A ) Si el aire alrededor del foco se mueve a una velocidad de 0.5 m/s. ( B ) Si el aire alrededor del foco se encuentra en reposo. RESPUESTA: 26.9%, 16.6 %
EJERCICIO 27
(vaca esférica) RESPUESTA: (A) 238.2 W, (B) 441.1 W
R 2
EJERCICIO 28
Se desea realizar una reacción química en fase acuosa que requiere de la presencia de oxígeno. Para mantener una alta concentración de oxígeno disuelto, se propone burbujear oxígeno puro en el tanque. Las burbujas, producidas en el fondo del tanque, tienen un diámetro promedio de 3 mm. El líquido se mantiene sin agitación, de tal forma que las burbujas ascienden sólo por flotación. El sistema está a 25 °C y 1 atm (constantes) y el medio de reacción se puede asumir con las mismas propiedades que el agua pura. Estimar el valor del coeficiente de transferencia de masa. DATO ADICIONAL: DO₂-H₂O = 2.4×10−^5 cm²/s. RESPUESTA: 1.23×10−^4 m/s
