INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE SAN MARTIN
TEXMELUCAN
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Roberto Juárez Casique
Cálculo diferencial.
Axiomas de los números reales.
Pedro Texquis Flores
San Martín Texmelucan, Puebla 17/09/2023
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Axiomas de los numeros, Esquemas y mapas conceptuales de Cálculo diferencial y integral
Este documento cuenta con los axiomas de los numeros
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
2022/2023
1 / 5
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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE SAN MARTIN
TEXMELUCAN
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Roberto Juárez Casique
Cálculo diferencial.
Axiomas de los números reales.
Pedro Texquis Flores
San Martín Texmelucan, Puebla 17 /09/
Axiomas de la suma Axiomas de la multiplicación Axiomas de distribución Definición 1. Un campo es un conjunto F que junto con dos operaciones binarias denotadas + llamada suma, y ∗ llamada multiplicación que se comportan de acuerdo con los siguientes axiomas (A0) ∀ x, y ∈ F ∃! x + y ∈ F llamado suma de x, y (A1)∀ x, y ∈ F x+y=y+x Ley conmutativa para la suma (A2) ∀ x, y, z ∈ F x+(y+z)=(x+y)+z Ley asociativa para la suma (A3) ∃ 0 ∈ F tal que x + 0 = x ∀ x ∈ F Existencia de una identidad para la suma (A4) ∀ x ∈ F ∃ u ∈ F tal que x + u = 0 Existencia de inversos para la suma (M0) ∀ x, y ∈ F ∃! x ∗ y ∈ F llamado producto de x, y (M1)∀ x, y ∈ F xy=yx Ley conmutativa para la suma (M2) ∀ x, y, z ∈ F x(yz)=(xy)z Ley asociativa para la multiplicación (M3) ∃ 1 ∈ F tal que x ∗ 1 = x ∀ x ∈ F Existencia de una identidad para la multiplicación (M4) ∀ x ∈ F ∃ u ∈ F tal que x ∗ u = 1 Existencia de inversos para la multiplicación (D) ∀ x, y, z ∈ F x(y+z)=(xy)+(x*z) Ley distributiva Ejemplo Dado el conjunto F = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. Definimos la suma y la multiplicación En este caso se satisfacen todos los axiomas y por tanto F es un campo Ejemplo Dado el conjunto y dos operaciones definidas como F = R^2 = {( x, y ) | x, y ∈ R} Suma : ( x, y ) + ( u, v ) = ( x + u, y + v ) Producto : ( x, y ) · ( u, v ) = x · u + y · v
Propiedades de los Neutros e Inversos x (d) Sea x ∈ F. Suponga que u y u' son elementos de F que satisfacen la propiedad (M4) entonces x · u = 1 y x · u′^ = 1 ⇒ u = u · 1 = u ( x · u′ ) = ( ux ) · u′^ = 1 · u′^ = u′ En los teoremas anteriores vimos que los elementos neutros e inversos son únicos, usualmente para la suma denotamos al inverso aditivo de un elemento x ∈ F como u = − x ∈ F tal que x + (− x ) = 0. 1 En el caso de la multiplicación se tiene x 0 ⇒ u = = x−^1 ∈ F tal que x · x−^1 = 1 Teorema 3. Para algún campo F se cumplen las siguientes propiedades (a) 0 = − 0 (b) ∀ x ∈ F, − (− x ) = x (c) 1 −^1 = 1 y (−1) −^1 = − 1 (d) ∀ x ∈ F, x · 0 = 0 (e) xy = 0 ⇔ x = 0 o y = 0 (f) Si x 0 , entonces x−^1 /= 0 y ( x−^1 ) −^1 = x (g) Si x, y /= 0 , entonces x · y /= 0 y ( x · y ) −^1 = x−^1 y^1 (h) ∀ x ∈ F , (−1) x = − x (i) ∀ x, y ∈ F , (− x ) y = −( xy ) = x (− y ) (j) (−1)(−1) = 1 (k) ∀ x, y ∈ F , (− x )(− y ) = xy