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Tarea. Investigar los siguientes conceptos:
Introducción (Teoría de conjuntos).
- Conjunto.
- Subconjunto.
- Operaciones con conjuntos (Unión, Intersección, Complemento).
- Leyes de Morgan.
Terminología.
- Experimento (Estocásticos).
- Espacio muestral.
- Evento.
- Operaciones entre eventos.
- Probabilidad de un evento.
30 de septiembre de 2020
Introducción. Conjuntos y terminología
Definición (Conjunto). Es una colección de objetos.
Notación:
Se denotará a un conjunto con llaves. { }
Se puede dentar con una letra latina mayúscula. 𝑨
Definición (Subconjunto). Diremos que el conjunto 𝐵 es un subconjunto de 𝐴 si todo elemento de
𝐵 es también un elemento de 𝐴. Lo anterior se denotará como: 𝑩 ⊂ 𝑨.
Operaciones entre conjuntos.
- Unión.
- Intersección.
- El complemento.
Unión entre dos conjuntos.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ó 𝑥 ∈ 𝐵}
Intersección entre dos conjuntos.
Complemento relativo.
𝑐
𝑐
Terminología.
Experimento.
- Determinístico.
- Estocástico.
Experimento. Es todo aquel proceso que produce información o datos.
Espacio muestral. El conjunto de todos los posibles resultados del experimento. ( 𝜴 )
Evento. Es cualquier subconjunto del espacio muestral. (𝑬 ⊂ 𝜴).
Operaciones entre eventos.
- Unión.
- Intersección.
- Complemento.
Definición (Probabilidad de un evento 𝑬 )
La probabilidad de un vento 𝐸, es la suma de los pesos asociados a cada punto muestral que
conforma al evento 𝐸, de tal manera que se cumple:
a) 𝑃(𝛺) = 1
b) 𝑃(∅) = 0
c) Si 𝐸
1
2
, … es una colección de eventos mutuamente excluyentes, entonces:
1
2
1
2
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado de 6 caras y anotar el resultado.
Espacio muestral: 𝛺 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Eventos:
1
∶ cae un número par.
𝑐
𝑐
2
∶ cae un número impar
3
∶ cae un cuadrado perfecto.
Calcule:
a) 𝑃(𝐸
𝑖
) para 𝑖 = 1 , 2 , 3.
b) 𝑃(𝐸
1
3
Solución.
Del axioma 1, se tiene 6𝜔 = 1 por lo que 𝜔 =
1
6
. Ahora bien.
a) 𝑃(𝐸
𝑖
) para 𝑖 = 1 , 2 , 3.
1
2
3
b) 𝑃(𝐸
1
3
1
3
= { 4 } por lo que 𝑃
1
3
1
6
02 de octubre de 2020
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado de 6 caras y anotar el resultado. Considere que en este caso se le
asigna el doble de peso a los números impares.
Espacio muestral: 𝛺 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Eventos:
1
∶ cae un número par.
2
∶ cae un número impar
3
∶ cae un cuadrado perfecto.
Calcule:
a) 𝑃(𝐸
𝑖
) para 𝑖 = 1 , 2 , 3.
b) 𝑃(𝐸
1
3
Solución.
Principio fundamental del conteo
Si se realiza un primer experimento el cual puede ocurrir en 𝑛
1
formas distintas y posteriormente
se realiza un segundo experimento el cual puede ocurrir en un total de 𝑛
2
formas, el experimento
combinado puede ocurrir en un total de 𝑛
1
2
formas.
Ejemplo.
Se lanza un dado de 4 caras y posteriormente una moneda, describa el espacio muestral y calcule la
cardinalidad de éste.
Solución.
- Una forma, enlistando los elementos y contando.
- Otra forma, utilizando el P.F.C.
1
2
) = 4 × 2 = 8
Ordenaciones y combinaciones.
Formación de arreglos
𝑛 casillas a llenar
Extracción con remplazo
𝑟 bolas en la urna
¿Cuántos arreglos de tamaño 𝑛 distintos se pueden obtener a partir de las 𝑟 bolas en la urna?
Respuesta.
Extracción Posibilidades
El experimento combinado, es decir, formar el arreglo puede ocurrir en un total de 𝑟
𝑛
Llamaremos a esta cantidad ordenaciones con repetición y la denotaremos como:
𝒓
𝒏
𝒏
Ejemplo.
¿Cuántos arreglos de tamaño 2 se pueden formar con las letras del conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, si se
puede repetir la letra?
Respuesta.
Un total de 9 arreglos
Utilizando 𝑶𝑹
𝒓=𝟑
𝒏=𝟐
𝟐
Ahora considere el mismo esquema, pero la extracción es sin remplazo.
Formación de arreglos
𝑛 casillas a llenar
Extracción sin remplazo
𝑟 bolas en la urna
