Apuntes de Física #1, Ejercicios de Física

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Conservaci ´on de la Energ´ıa

F´ısica 1

U

A

Q

Angel de Jes ´us Espino Zepeda

Ingenier´ıa F´ısica

Indice^ ´

• 1. Introducci ´on
  • 1.1. Conservaci ´on de la Energ´ıa
  • 1.2. Fuerzas Conservativas
  • 1.3. Energ´ıa Potencial
  • 1.4. Sistemas Conservativos Unidimensionales
  • 1.5. Soluci ´on Completa en Sistemas Conservativos Unidimensionales
  • 1.6. Sistemas Conservativos Bidimensionales y Tridimensionales
  • 1.7. Conservaci ´on de la Energ´ıa en un Sistema de Part´ıculas
  • 1.8. Base Microsc ´opica de la Energ´ıa Interna
• 2. Metodolog´ıa
  • 2.1. Pregunta
  • 2.2. Pregunta
  • 2.3. Pregunta
  • 2.4. Problema
  • 2.5. Problema
  • 2.6. Problema
  • 2.7. Problema
• 3. Conclusi ´on
• 4. Bibliograf´ıa

Este hecho es general y se aplica a todas las fuerzas conservativas. Por ejemplo, en el caso de la gravedad, el trabajo realizado por el peso de un objeto cuando se desplaza una distancia vertical h es:

W = mgh (6)

Por lo tanto, la energ´ıa potencial gravitacional se expresa como:

U = mgh (7)

1.4. Sistemas Conservativos Unidimensionales

En un sistema conservativo unidimensional, como un cuerpo bajo la acci ´on de un resorte o la gravedad, la fuerza conservativa se expresa mediante una funci ´on de la posici ´on. Para un resorte, la Ley de Hooke nos da la relaci ´on:

F = −kx (8)

donde k es la constante del resorte y x es el desplazamiento desde la posici ´on de equilibrio. Demostraci ´on: Esta ecuaci ´on se deriva de la ley de elasticidad de Hooke, que es- tablece que la fuerza restauradora de un resorte es directamente proporcional a su desplazamiento, y el signo negativo indica que la fuerza siempre act ´ua en direcci ´on opuesta al desplazamiento. En el caso de la gravedad, la fuerza constante es:

F = mg (9)

donde m es la masa del objeto y g es la aceleraci ´on gravitatoria. Demostraci ´on: La fuerza gravitacional se obtiene de la segunda ley de Newton, F = ma, donde en este caso a = g, la aceleraci ´on debida a la gravedad.

1.5. Soluci ´on Completa en Sistemas Conservativos Unidimensio-

nales

Para estos sistemas, la soluci ´on anal´ıtica para la posici ´on final x (^) f de una part´ıcula puede encontrarse integrando la ecuaci ´on de movimiento derivada de la segunda ley de Newton:

m

d^2 x dt^2

= F(x) (10)

Demostraci ´on: La ecuaci ´on de movimiento se resuelve integrando dos veces. La pri- mera integraci ´on da la velocidad:

v =

dx dt

Z F(x) m

dt (11)

y la segunda integraci ´on proporciona la posici ´on final:

x (^) f =

Z v dt (12)

1.6. Sistemas Conservativos Bidimensionales y Tridimensionales

En estos sistemas, las fuerzas conservativas se describen utilizando potenciales esca- lares U( r ), donde r es el vector de posici ´on. La conservaci ´on de la energ´ıa tambi´en se aplica en estos sistemas. Para un sistema en el que una part´ıcula se mueve en un potencial conservativo, se conserva la energ´ıa total:

Etotal = Ecin´etica + U( r ) (13)

La energ´ıa cin´etica Ecin´etica est´a dada por:

Ecin´etica =

mv^2 (14)

La energ´ıa potencial depende de la posici ´on U( r ), y el principio de conservaci ´on de la energ´ıa asegura que la suma de ambas se mantenga constante en ausencia de fuerzas no conservativas.

1.7. Conservaci ´on de la Energ´ıa en un Sistema de Part´ıculas

En un sistema aislado, la energ´ıa total se conserva, y cualquier transformaci ´on de energ´ıa ocurre entre diferentes formas, como energ´ıa cin´etica, potencial o interna, pero la energ´ıa total se mantiene constante:

Etotal = Ecin´etica + Epotencial + Einterna = constante (15)

Demostraci ´on: Este principio es una consecuencia directa de la primera ley de la termodin´amica y de la conservaci ´on de la energ´ıa en mec´anica cl´asica. Si no hay intercambio de energ´ıa con el entorno, el sistema mantiene su energ´ıa total constante, redistribuy´endola entre sus componentes internos.

1.8. Base Microsc ´opica de la Energ´ıa Interna

La energ´ıa interna de un sistema se debe a los movimientos y las interacciones de las part´ıculas a nivel microsc ´opico. Seg ´un la teor´ıa cin´etica, la energ´ıa interna es la suma de la energ´ıa cin´etica de las part´ıculas que componen el sistema, as´ı como de la energ´ıa potencial asociada a sus interacciones.

formas de energ´ıa debido a las fuerzas de fricci ´on y resistencia. Este proceso es un ejemplo claro de conservaci ´on de la energ´ıa, pero con disipaci ´on en el camino debido a fuerzas no conservativas.

2.2. Pregunta 5

Dejamos caer un objeto y observamos que rebota de una a una y media veces su altura original. ¿Qu´e conclusiones podemos extraer?

Cuando dejamos caer un objeto y observamos que rebota a una altura entre una y una y media veces su altura original, podemos hacer algunas conclusiones impor- tantes relacionadas con la conservaci ´on de la energ´ıa y las fuerzas no conservativas. Aqu´ı te las dejo:

Al dejar caer el objeto desde una cierta altura h 0 , su energ´ıa potencial inicial Ep es:

Ep = mgh 0

donde: m es la masa del objeto,

g es la aceleraci ´on debida a la gravedad,

h 0 es la altura desde la que se deja caer el objeto.

Al llegar al suelo, esta energ´ıa potencial se convierte en energ´ıa cin´etica.

Justo antes de impactar con el suelo, el objeto tiene una energ´ıa cin´etica Ek m´axima, que est´a dada por:

Ek =

mv^2

donde v es la velocidad del objeto justo antes del impacto. La velocidad de impacto se puede calcular usando la ecuaci ´on de conservaci ´on de la energ´ıa para la ca´ıda libre:

mgh 0 =

mv^2

de donde se obtiene: v =

p 2 gh 0

Despu´es del impacto, parte de la energ´ıa cin´etica se pierde debido a la deformaci ´on del objeto y la interacci ´on con el suelo, lo que genera fuerzas no conservativas (como la fricci ´on interna, la deformaci ´on del objeto, etc.). Esto provoca que el objeto no rebote a la misma altura desde la que cay ´o, lo que implica que parte de la energ´ıa se ha disipado. Si el objeto rebota a una altura hr que es entre h 0 y 1.5h 0 , esto indica que, durante el rebote, el sistema no ha perdido toda la energ´ıa, pero s´ı una fracci ´on de ella.

La altura m´axima alcanzada despu´es del rebote est´a relacionada con la energ´ıa que conserva el objeto durante el impacto. Si la altura de rebote hr es una fracci ´on f de la altura inicial h 0 , entonces: hr = f · h 0

donde f es el factor de conservaci ´on de la energ´ıa. Si el objeto rebota entre una y una y media veces la altura original, podemos decir que 1 ≤ f ≤ 1.5. Este factor f depende de la elasticidad del objeto, el material del suelo y otros fac- tores del sistema. Si f > 1, como en este caso, significa que el objeto tiene una ca- pacidad de rebote superior a su altura inicial, lo que sugiere que parte de la energ´ıa potencial se ha transformado en otro tipo de energ´ıa, como energ´ıa interna del objeto o energ´ıa del suelo, que luego se convierte en un rebote “amplificado” bajo ciertas condiciones.

Posibles implicaciones del rebote mayor a 1

Elasticidad del objeto : Si el objeto rebota a una altura mayor que la original, podr´ıa indicar que el objeto tiene una elasticidad significativa, lo que significa que parte de la energ´ıa se almacena como energ´ıa potencial el´astica en el objeto durante el impacto y se libera en el rebote.

Interacci ´on con el suelo : La superficie del suelo tambi´en podr´ıa estar contri- buyendo al aumento de la altura de rebote, si el suelo es el´astico o el objeto est´a siendo impulsado de alguna manera durante el rebote.

2.3. Pregunta 13

Un autom ´ovil se mueve a lo largo de una carretera. El conductor frena brus- camente y el autom ´ovil patina hasta detenerse. ¿En qu´e forma aparece la energ´ıa cin´etica perdida por el autom ´ovil?

Cuando un autom ´ovil se mueve a lo largo de una carretera y el conductor frena brus- camente, el autom ´ovil pierde energ´ıa cin´etica a medida que disminuye su velocidad hasta detenerse. La energ´ıa cin´etica perdida por el autom ´ovil se convierte en otras formas de energ´ıa, principalmente en energ´ıa t´ermica (calor), pero tambi´en puede transformarse en sonido y deformaciones. A continuaci ´on te explico c ´omo ocurre esto en detalle:

Cuando el autom ´ovil est´a en movimiento, tiene una energ´ıa cin´etica dada por la f ´ormula:

Ek =

mv^2

donde: m es la masa del autom ´ovil,

(a) Energ´ıa cin´etica inicial ( Ki ):

Ki =

mv^2 =

(2.40 kg)(150 m/s)^2 = 27,000 J

Depende de la masa.

(b) Energ´ıa potencial inicial ( Ui ):

Ui = mgh = (2.40 kg)(9.81 m/s^2 )(125 m) = 2,943 J

Depende de la masa.

(c) Velocidad antes del impacto: Usamos conservaci ´on de energ´ıa mec´anica (Ki + Ui = K (^) f + Uf ). Como Uf = 0 (suelo): 1 2

mv^2 i + mgh =

mv^2 f

Simplificando la masa (m):

v (^) f =

q v^2 i + 2 gh =

q (150 m/s)^2 + 2 (9.81 m/s^2 )(125 m) ≈ 153.7 m/s

No depende de la masa (se cancela en el c´alculo).

(d) Las respuestas (a) y (b) dependen de la masa; (c) no.

2.5. Problema 17

Un objeto cae desde una altura h , donde estaba en reposo. Determine la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial del objeto en funci ´on (a) del tiem- po, y (b) de la altura. Trace una gr´afica de las expresiones y demuestre que su suma (la energ´ıa total) es constante en cada caso.

Energ´ıa en funci ´on del tiempo

La energ´ıa potencial Ep(t) y la energ´ıa cin´etica Ek(t) en funci ´on del tiempo son:

Ep(t) = mgh(t) = mg

h −

gt^2

Ek(t) =

m(gt)^2 =

mg^2 t^2

La energ´ıa total es la suma de ambas:

Etotal(t) = Ep(t) + Ek(t) = mgh

Tiempo (s)

Energ´

ıa (J)

Energ´ıa en funci ´on del tiempo

Ep(t) Ek(t) Etotal(t)

2.6. Problema 27

Un peque ˜no bloque de masa m se desliza sin fricci ´on a lo largo de una pista en rizo. (a) El bloque se suelta desde el reposo en el punto P. ¿Cu´al es la fuerza neta que act ´ua sobre ´el en el punto Q? (b) ¿Desde qu´e altura sobre el fondo del rizo deber´ıa soltarse el bloque para que llegue al punto de perder contacto en la parte superior del rizo?

(a) Fuerza neta en el punto Q

Conservaci ´on de energ´ıa entre P y Q :

mgh =

mv^2 Q + mgR ⇒ v^2 Q = 2 g(h − R)

donde h es la altura inicial desde el fondo del rizo y R el radio del rizo.

Fuerzas en Q :

• Fuerza normal (N) hacia arriba (provista por la pista).
• Peso (mg) hacia abajo.

Segunda ley de Newton (componente radial):

N − mg =

mv^2 Q R

⇒ N = mg +

m( 2 g(h − R)) R

Fuerza neta: Como todas las fuerzas son verticales:

Fneta = N − mg =

2 mg(h − R) R

(b) Altura cr´ıtica para perder contacto en la parte superior

Condici ´on para perder contacto: La fuerza normal N se anula en el punto m´as alto.

mg =

mv^2 top R

⇒ v^2 top = gR

Conservaci ´on de energ´ıa (de h al punto m´as alto):

mgh =

mv^2 top + mg( 2 R) =

m(gR) + 2 mgR

gh =

gR 2

• 2 gR ⇒ h =

5 R

Altura desde el fondo del rizo: Si h se mide desde el punto P al fondo:

hmin = h + R =

5 R

+ R =

7 R

2.7. Problema 33

En la figura demuestre que, si la pesa del p´endulo ha de oscilar completa- mente alrededor de la clavija fija, entonces d > 3 L/5. (Sugerencia: La pesa debe moverse en la parte superior de su oscilaci ´on; de otro modo, el cord ´on se vendr´a abajo.)

1. Energ´ıa en la posici ´on m´as alta: Cuando la pesa del p´endulo se suelta desde una altura m´axima L, su energ´ıa potencial inicial es:

Einicial = mgL

2. Energ´ıa en la parte superior del movimiento: Al llegar a la parte superior de su trayectoria, la energ´ıa potencial del p´endulo es:

Esuperior = mg( 2 d)

Aqu´ı, 2d es la altura desde el punto m´as bajo hasta el punto m´as alto (considerando que la pesa sube una distancia igual a d hasta la clavija y luego otra d por encima de la clavija).

Sumando 4d a ambos lados:

5 d ≤ 2 L

Dividiendo por 5:

d ≤

2 L

6. L´ımite inferior para d : Para que el p´endulo complete su oscilaci ´on sin que la ten- si ´on en el hilo se vuelva negativa, debemos considerar que d no puede ser menor que 35 L. En otras palabras, la tensi ´on debe ser siempre positiva.

3. Conclusi ´on

En esta tarea hemos explorado el principio de conservaci ´on de la energ´ıa, un concep- to central en la f´ısica cl´asica que se aplica a una amplia variedad de sistemas f´ısicos. A trav´es del an´alisis de fuerzas conservativas y no conservativas, se ha demostrado c ´omo el trabajo realizado por una fuerza conservativa no depende de la trayecto- ria seguida, y c ´omo esto se relaciona directamente con la energ´ıa potencial de un sistema.

En sistemas unidimensionales y multidimensionales, las ecuaciones de movimiento, la energ´ıa potencial y la energ´ıa cin´etica se combinan para mostrar que la energ´ıa total de un sistema cerrado permanece constante. Adem´as, hemos extendido este an´alisis a sistemas complejos de part´ıculas, en los que la energ´ıa interna, la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial juegan un papel crucial.

La conservaci ´on de la energ´ıa no solo se aplica en sistemas macrosc ´opicos, sino que tambi´en se refleja a nivel microsc ´opico, donde la energ´ıa interna surge de los mo- vimientos y las interacciones de las part´ıculas. Asimismo, la relaci ´on entre masa y energ´ıa, expresada en la famosa ecuaci ´on de Einstein E = mc^2 , subraya la equiva- lencia entre estas dos magnitudes.

Finalmente, la cuantizaci ´on de la energ´ıa en el contexto de la mec´anica cu´antica nos muestra que la energ´ıa no es continua, sino que est´a restringida a ciertos valores discretos. Este aspecto refleja la naturaleza fundamental de la energ´ıa en el mun- do cu´antico, donde fen ´omenos como el oscilador arm ´onico cu´antico demuestran la estructura discreta de los niveles de energ´ıa.

En conjunto, los conceptos discutidos a lo largo de esta tarea destacan la universali- dad del principio de conservaci ´on de la energ´ıa, reafirmando su importancia tanto en la mec´anica cl´asica como en la f´ısica moderna.

4. Bibliograf´ıa

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