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Lema
Sea bn
B tal^ que B
. Entonces
n (^) Ni ,
entonces bn^0. Más (^) aún, ,
bn
B
Demostración
Tomamos E =
B.
Existe NiEIN tal
que si^ nN ,
entonces bn-BlB
Como
B-bn
= bn-B (^) , entonces B
bn
L B =^ B bn
: bn 0 sin) N
Teorema
Sea (An)^ una sucesión tal^ que
(an) C . Si AnO UneIN ,
entonces 20
Corolario
Si (^) (an) C y
(bn) (^) B , y
AnEbn UneIN ,
entonces
21
B.
Teorema de estrucción (Ley del sandwich)
Sean (an) ,
(bn) (^) , (Cn) (^) sucesiones tales que AntbnCn UnEIN .
Si (An) al (^) mismo valor Y Y
(Cn) convergen
entonces (bn)
converge y converge
a Y.
Demostración
Sea Es^0
,
entonces :
·
Un Ni An-Y E
·
Un Nz Cn-4 E
Escogemos
N =^ máx {N , N2 3. Si^ nN , entonces :
Y
= (n
Ebn
= bn
Teorema
Si (^) (an) 2 . entonces (1an1)
(^191)
Teorema
Sea Xn40 UneIN talque
(Xn) (^) <X
. Entonces
(Xn ( > X
Demostración
Sabemos que X.
· Caso :^ X = 0
Sea (^) E" .
SI n >^ N ,
entonces Xn-0 E
Entonces Xn
· Caso Z^ ! X
0
Xn
Xn +^ X
Xn
=Xn-X
xx
X
=>
- Xn-X1Xn - X1Xn- X => 0 = Xn -
X
X X
Por (^) estricción ,
Xn-X O
Por
lo tanto, Xn^ X
Sucesión (^) creciente
Una (^) sucesión (an)^ es creciente si An^ Ant UneIN
Sucesión decreciente
Una (^) sucesión (bn)^ es decreciente si Ant bn^ UnEIN
Sucesión (^) monótona
Una sucesión (Cn)^ es monótona^ si^ :
· (Cn) (^) es creciente
· (Cn) es decreciente
infinidad (^) de veces.^ Deben^ existir^ números naturales^ Ni^ n2^ na^ ... tales
que
anm = l^ p
. a (^). lEA.
. Arm es constante
y
converge ·
Caso Z^ :^
Suponemos (^) que A es infinito
Como An es (^) acotada ,
7 un intervalo (^) CB talque
AC
,B^
= In.
Clongitud
de 2 ,B es^ B-C
Uno de los intervalos 2 , LtB^
ó
CtB
, B
contiene una
Z Z
infinidad de elementos de A^. Elegimos
uno (^) que contenga
una infinidad
de (^) elementos de A^ y
lo llamamos^ [
Inductivamente
,
escogemos
intervalos cerrados
y
acotados [ 17 [c^
= --
tales que cada Ik contiene (^) una infinidad^ de^ elementos^ de A^ y la longitud
de Ik (^) es B-
2x
Por (^) teorema de
intervalos anidados
Int (^). Sea Xe In
Elegimos cualquier
elemento de An In y
le llamo Am
Consideramos A^ Iz^. Como este conjunto
es infinito ,
-Anz EAnE
tal
que
R2 (^) ne
Sucesivamente , elegimos
AnmEAn Im (^) tal que NK
-1KEN
Esto produce una^ subsucesión An#
Observemos
que
ANK-X =^ B-C
porque
Ank
,
XE In
y
la
2k
longitud
de IK^ es (^) B-C.
2k
Como
21
convergea
,
entonces ankX
Sucesión de Cauchy
Sea (An) una sucesión (^). Decimos que
(an) (^) es
una sucesión^ de
Cauchy si :
FEso (^) INEIN tal
que
si n , m
N
,
entonces IXn-XmE
Teorema
Si (An)^ es convergente
entonces (An)^ es (^) de Cauchy.
Demostración
Sea (^
:
lím An^
. Sea^
Es0. Como An converge
a
L
, -NEIN (^) tal
n + c
que
si KIN^ ,
entonces AN-LE
Si n ,
m4N
,
entonces an-am
= an-L +L -Aman-L + -Am
< E +^
E =E
=> (An (^) es de Cauchy
Lema
Si (^) (an) es de^ Cauchy, entonces (An) es acotada.
Demostración
Sea [
= (^1). Como An es de Cauchy
JNEIN tal
que si n , ma N ,
entonces An-Am^
.
En particular,
si >^ N ,
entonces An-AN
,
entonces
An
=> An +^ AN sInSN
=> (^) an -max Al ,
, ...,^
/N- ,
1 +^ an 3 VEIN
=> An está^ acotadas
Teorema
Sea (An)^ una sucesión en IR^. Si (an)^ es de^ Cauchy ,
entonces
(an)
converge
Demostración
Como An es de Cauchy
el lema^ anterior^ medice
que
an es acotada.
Por (^) Bolzano
Weierstrass, An^ tiene^ una subsucesión
convergente
. Digamos,
And L
Demostremos
que
an La
Sea El ,
entonces
·
talque si K,
N ,
entonces
Ani-(E
·
mN ,
entonces An-am^ E
Z
Definimos N :^ =^ máx [Ni ,
N (^). Escogemos
pfN (^) fijo
y
arbitrario.
Demostración
Supongamos que es^
falso
queIm^
f(x)
= L , es decir , (^) que Fed O^ VS
tal que
X
, pero
f(x)-L Eo.
Sea nEI y consideremos S =
. Entonces^ -
XnE(a
,
b) (^) +a)
que
(^0) Xn-c
y
que
"Fexn-LE
D
Contradicción
, (^) pues por hipótesis,
f(xn)) L .
Por lo tanto
, lim
f(x)-
Proposición
Sean F
, g
: (g ,
b)R
con cEla
,
b) (^). Supongamos que
lim (^) f(x) =^ L
y
/img(x)
= M
,
entonces :
·
(m(f
g)(x)
= L +M
· lim kf(x)^ = kL
X (C
A
im (fog)(x)
=
LM
· lim F(x)
=
,
si M
X
&
Teorema
Seaf:^ (g ,
b)
R y g
: (c
, d). Supongamos que^
f((a ,
b))
= (c ,
d) .
Si
/im
F(x)
<
ylim^
g(x)
=
M
, entoncesmg(f(x)
Conjunto
abierto
Sea AIR. Decimos que
A
es (^) un conjunto
abierto si VaEA ,
JE30 tal^ que
Be(a)A , donde Br(a)^
:= (xeIR (^) (x-alE)
Notas
Si a b ,
entonces (^) (a ,
b) (^) es un conjunto
abierto
Propiedades
· O es abierto
· IR es abierto
·
Si Al
,
Az , ...
An son abiertos ,
entonces Ain Azn (^) ... n An es abierto.
· Si Aj FjEI
es abierto, entonces
dez Aj^
es abierto.
Conjunto
cerrado
Sea
FEIR
. Decimos^
que
f es
cerrado si fes (^) abierto .
Propiedades
·
IR
es cerrado
D es cerrado
·
Si Fi
,
Ez ..., En (^) son cerrados ,
entonces FiUEV...^ ufn^ es cerrado.
·
Si
Fj es cerrado^ FjeIN ,
entonces
jejFj
es cerrado
Punto (^) de acumulación
Sea SERun conjunto
. Decimos
que
CER es (^) un punto de acumulación de S si
S + 0
y
Be(c)nS
(c)
Conjunto
de Cantor^ (construcción
Tomar un segmento
de
recta
en IR
(^2). Dividir el segmento
en tres^ partes (^) iguales
y
eliminar la parte central
Iterar paso
Z con cada uno de^ los^ segmentos
obtenidos.
Proposición
El conjunto
de Cantor (^) es no numerable
Notas
a 0 , (^1) C tiene longitud
b C tiene longitud
O
c (^) No hay (^) ningún
intervalo dentro del
conjunto
de Cantor
d) (^) Todos los elementos del
conjunto
de Cantor son puntos de acumulación (^).
Proposicion
Sea FEIR^. Entonces Fes cerrado (^) si y
sólo si (Xn)^ talque^ XnEF
y
(Xn) (^) X setiene que
XEF
Debe (^) existir Es0 tal que Bely)nF^
=
ó Be
y
nF
= Ey 3
(lo cual (^) es imposible, (^) pues y EFE (^) Be(y) nF
=
=> Be(y)[FC
Por lo tanto ,
FC es abierto
Por lo tanto ,
F (^) es cerrado
Continuidad
Seaf :
IEIR IR
,
l
un intervalo^ abierto. Decimos^ que es continua^ en (^) a si
lim f(x)^
= f(a)
XA
Definición formal de (^) continuidad
-E30-
talque X-a( => f(x)
Continuidad uniforme
Sea F
: -EIR IR
.^ Decimos^ que es uniformemente^ continua^ en A^ si VEso
80 tal
que
si (^) X , yEA , X-y
,
entonces F(x)-f(y)E
Notas :
· Si f^ es uniformemente (^) continua en A^ , (^) y
BEA
, entonces f^ es uniformemente
continua en B.
· si (^) fes uniformemente continua en -y
CEA ,
entonces f^ es continua en c.
Teorema
Sea I
= a,
b un intervalo cerrado
y
acotado. Si^ f : [ es continua en
FCEI
,
entonces f^ es uniformemente continua (^) en I.
Demostración
Supongamos por^
contradicción (^) que no (^) es uniformemente^ continua (^) en I.
Entonces J20/0 tal^
que
(^80) 7x
, y EIcon X-y
<S , pero
f(x)
f(yE
En particular, para cada^ nEIN ,
tomamos
S
= h
. 7 Xn
, ynEI^
tales
que Xn-yn^
, pero f(xn)-flyn)^
E
Observamos
que Xn (^) es acotada. Por Bolzano Weierstrass ,
una subsucesión convergente , digamos
XNW
k >^ co
7 Z
Como (^) I es cerrado ,
zEI. (^) Consideramos la subsucesión (^) Ynk
Afirmación :^ YN n
,
Z
ynx
- z = ynx-Xnk + Xnk-zynx-XN
Xnk
MK
Como
Un
coSO
y XR-Z casO^
= Yak
ce
Por
hipótesis (^) ,
fes (^) continua en z
=> (^) f(XMN >^ f(z)
=> f(ynk)
< f(z)
Pero (^) F(XN-Flyn .Co
= f(z)
Teorema
Sea I=
a,
b un intervalo cerrado
y
acotado. Si f:^ [ es continua^ en
Entonces
,
fes acotada en^ I , es decir^
7MC O tal
que f(x)
=
M XXEI
Demostración
Supongamos
que no es acotada^ en^ I. Entonces UnEIN^7 XneI^
ta
que
f(xn)
< n
Como XnEI FeIN ,
la (^) sucesión Xn está acotada .
Por Bolzano-Weierstras
,
7 (XnK) (^) una subsucesión convergente
, digamos
Xnkk (^) ,
(^) [
Como les cerrado
,
aEI. Como fes (^) continua en 2 ,
entonces
f(Xnk
< f(d
Entonces f(Xnk))^ es una sucesión convergente y^
acotada. Pero
f(Xnk) RK, K^ =^ f(Xn) no (^) está acotada. Contradicción.
=> f
está acotada en
I .
Teorema
Sea I
a, b
un intervalo^ cerrado^
y
acotado. Sea F^
:
I <R tal
que
fes
continua en^
. Entonces^ -X ,
x
EI (^) tales que
f(x")
= f(x) =^ f(x) EXEI .
Es (^) decir , falcanza^ su valor máximo y su valor^ mínimo.
Demostración
Seaf(I) : = (f(x) xel). Por^ el teorema anterior ,
f(I) (^) es acotada .
Por el axoma del
supremo,
-s
:= sup (f(I)
P
. D^. 7x^
EI tal que
f(x
) (^) =
Observemos (^) que LBr
Y KEIN
Entonces ,
OFBK-CEBK-2n
B-C
2k
Entonces , BK^
C
Análogamente,
(2 (^) ,
Como fes^ continua en c ,
(f(BK) (f(c) ,pero f(BN)
,
podemos concluir^ que
f(c)^0.
Como fes^
continua en^
c ,
(f(CK) (f(c).^ Pero^ F(CN).
40 , (^) podemos
concluirquef(c) 30-^ f() =^0
Sucesión de funciones
Una sucesión^ de^ funciones, denotada como
fn X
es una asignación , para^ cada natural
neIN , de una Función^
fn :^ AEIR IR
Convergencia
de (^) sucesiones de funciones
Sea
En x (^) una sucesión de funciones y
sea CEA (A^ es el dominio).
Decimos
que
fn(c)
converge
si
En c
,
es decir
, lim
fn(c existe (^) e
Convergencia puntual
Sea En^ X^ una sucesión de^ funciones^ en^ un dominio
converge
puntualmente si^ En^ c converge
VCE-
Si En x
converge
puntualmente, (^) podemos definimos F(x)^ : = (^) lim En x
n
Convergencia
uniforme
Sea En^ x^ una sucesión^ de^ funciones. Decimos^ que
fn X
converge
uniformemente (^) a FX^ si VELO^ JNEIN tal que
si n >^ N , entonces
fn(X
eorema
Sea En^ X (^) una sucesión de funciones. Si^ fn^ (X)^
converge
uniformemente (^) a
fx y
En (^) X escontinua en CEA UnEIN^ , entonces f(X^ es continua
en C.
Demostración
Sea Eso.^ Como^ fn(X))^
/ f(x) uniformemente ,
n > N ,
entonces (^) fn(x)-f(x) XXEA.
Como fu ,
es continua en c
,
-810 (^) tal que si X-c^
S
,
entonces fr(x)^
3
Entonces
,
si X-c S
,
entonces f(x)-f(c
=
.^ f(x) - fw(x) +fw(x) - fr(c) + (^) fw(c) - f(c)
= f(x)- fN(x) + (^) fw(x) - fN( +^ fr()
Teorema
Si fn X
convergeuniformemente
af X y
En X es
integrable
en
a,
b UnEIN
, entonces
imxdx
xx
=m x
