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Demostración
· &
es lineal
& T
=
TitTe
=
Tr
Te =
Ti
+ Te
XT
=
X
T
B
= X Ti
=
X
To
es lineal
·
t es invertible
T)
=
Omyn
=>
T
= Omyn
Pero sabemos que
To B
=
Omyn
=To . Es decir ,
tes
inyectiva .
Sea AEMmxn
IF ..
Si A
=
Gij
,
existe T : tal que
T
Vj
=
i Gij
Wi
2
Además
,
T
p
= A
,
entonces
T
= A
=>
& es
suprayectiva
· E
es un isomorfismo .
Corolario
sidim
= m y
dim =n
,
entonces dim L ,
=
mn
Diagrama
conmutativo
Si b
es una base ordenada de ,
dim
=
n ,
entonces Y :
Y
,
YB v
=
v
Además ,
YB es
un isomorfismo ,
Sea T :
,
Des
una base ordenada de ,
dim
= m
A
=
T
Ya
: #e ,
00w
=
wy
Sea VE
T
La YB
v
= La v
=
A v
=
Tvp
= Tvv
=
4Tv
Y
j
Yz
Es decir ,
LAYB
Yo T
IF2 Ifm
LA
Cambios de base
Sea un espacio
vectorial y seanB
y
B dos bases ordenadas
de. Si
VE vB
= I vB
=
IB-vB
Sea Q I .
Esta matriz es invertible cuadrada y
cambia
los
vectores coordenados en la
base
'a vectores
coordenados en la basep .
Teorema
Sea
T
: lineal , de dimensión finita y
sean B y
B'
bases ordenadas
de . Sea Q
=
I
la matriz de cambio de base
des'a B
. Entonces
Q
T
B
=
T
Q . Qes invertible
Demostración
QTp
=
IT
= T
TBQ
= TI
= T B
=>
Q
TB
=
TBQ
Corolario
Sea AEMmyn
#F
y
Y
es una base ordenada de
# Entonces La v
= Q"AQ ,
donde
Q
es la matriz nun
cuyas
columnas son los vectores de
Demostración
Claramente , si b es
la base canónica
entonces Imn
=
Q
.
Además
La 2
=
Ifn
La
B Im
=
Q-AQ
Matrices similares
Sean A ,
BEMmn If .
Decimos
que
A
es similar a
B
si existe QEMmxn(IF)
invertible tal
que
B
= Q
"
AQ
Reflexiva
A
= In
"A
In
Simétrica
SIB
=
Q"AQ7A
=
QBQ"
= Q" "BQ
=> A
= Z "BZ con -invertible Z
= Q
Transitiva
61 B
= Q
" AQ ,
(
=
p -1 BP
= (
= p
BP
= p
Q
AQP
=
p-Q"AQP
Teorema
Sea AEMmxn If
y
sean PEMmxm IF y
DEMmxn IF ,
P
y
Q
invertibles
.
Entonces
a ran AQ
=
ran A
b . ran PA = ran A
c) ran PAQ
= ran
A
Demostración
a ran AQ
= dim Im LAQ
= dim Laq
n
dim
La LaF
=
dim La /F = dim Im La
= ran A
b ran PA
= dim Im (pa
= dim La in = dim Lp La iF
=
dim La /F
= dim Im La
= ran A
c
ran PAQ
= ran PA
= ran A
Corolario
Las operaciones
elementales
, por renglones
o por
columnas
,
preservan
el
rango
.
Proposición
Sea AEMmyn IF) .
El
rango
de A es igual
a
la dimensión del subespacio
generado por
las columnas de A
Demostración
ran A-ran La
= dim
Im
La
Segß-Sei ,
ez ,...,
en
Y la base canónica de
FF
La B
= (Ae
,
Aez
, ...,
Aen
=
Ecolumnas de
11
Im La
span La p
=
span[columnas de
al
ran A-dim Im La
= dim Span columnas de Al
Proposición
Sea AEMmxn # .
Entonces existen matrices invertibles PEMmxm IF
QEMuxn IF
tales
que
PAQ
= Is
O
,
donde S
= ran A
0 O
Corolario
Sea AEMmxn IF . Entonces
9 ran
AT
=
ran
A
b El
rango
de A es la dimensión del espacio
generado
por
los
renglones
.
C Las columnas y
los
venglones generan
un espacio
de la misma dimensión.
Demostración
Sabemos que
existen
matrices
P
y
Q
invertibles tales
que
PAQ
=
Is
Os x(n
Ocm-s(xs0(m-s(X(n
ran
A
=
ran Es
= S
0
O
QTATPT
=
Is OsX(m- s)
O(n-s)xsO(n-s)x(m
ran
Is
Osx(m- s) = S
= ran
AT
O(n-s)xsO(n-s)x(m- s)
b ran
A-ran
AT
= dim
espacio generado
por
las columnas de AT
=
dim espacio generado por
los renglones
Transformación
diagonalizable
Sea lineal ,
con dedimensión finita .
Decimos
que
Tes
diagonalizable
si existe una base ordenadas de
tal
que B es
diagonal
Matriz
diagonalizable
Sea AEMnxn(f) . Decimos que
A
es diagonalizable
si
La
es
diagonalizable
.
Teorema
T es
diagonalizable
si y
solo si existe B-(v, Nz ...,
un Y
base ordenada
tal
que TVj
=
XjVj para algunos
1j
Demostración
Supongamos
que Tesdiagonalizable y
sea
D
=
T
& diagonal
, sea
B
= [V
,
Vz , . ..,
Un 3
Observamos
que TVj
p
=
TBVj
B
=
D
vj p
=
Dej
=
xjej
=
4jjB
=>
T(uj) B
=
XjVj
B
=>
TVj
=
XjVj
Viceversa : si existe B
=
[VI
,
V , ...,
Un Y una base ordenada
O
tal que T(uj)
=
XjVj para algunos Xj ,
entonces
TB
Corolario
Sea un espacio
vectorial de dimensión n. Sea T : · Si T
tiene
neigenvalores
distintos
,
entonces
T es diagonalizable
Polinomio
que escinde
Un
polinomio
p(X)
E
X escinde si existen X ,
X
, ...,
XnEF
y
C +O
CelF tales
que
p(X)
=
ct-x
-42--t
... In
Notas
:
Si p(t)EK X
,
entonces
p
(t) siempre
escinde
Teorema
Sea un
espacio
vectorial
sobretf
de dimensión finita . Si T es
diagonalizable
, entonces su polinomio
característico escinde .
Demostración
sea B una base
ordenada tales que
A
= T
BF
0
X
... Xn
p(t)
= det A
=
XIn
=
X1-
72-t
... Xn-t
=>
p(t)
escinde en
Multiplicidad algebraica
Sea : dedimensión finita . Seap
t el
polinomio
característico de T .
S , X es un
elgenvalor
de T ,
definimos
su multiplicidad
algebraica
como el mayor
KEIN tal
que
es un
factor
dep
t
Elgenespacio
Sea T : y sea y un elgenvalor
de T .
Definimos el
elgenespacio
de y como
Ex
= Eve
Tv
= xr
= Ker
T-XI
El
elgenespacio
Ex es el conjunto
de todos los eigenvalores
de X unión con
Multiplicidad
geométrica
Si es de dimensión finita
,
en este caso ,
a la dim Ex
,
le
llamamos
la multiplicidad geométrica
de X
.
Teorema
Sea
de dimensión
finita y sea
T
:
·
Si X es un
elgenvalor
de
T
,
entonces
E
multiplicidad geométrica
multiplicidad algebraica
Demostración
ComoX es un elgenualor
,
1 dim Ex
=
multiplicidad geométrica
Sea
pedim
Ex y
sea Evi ,
Vz ..., uph
una base de Ex. Extendemos esta base a una
baseB
=
[Vi
,
V , ..., up, Upt , +z ...,
Un
del espacio
Sea
A
T B
. Entonces
x 0 ... O
O
X
0
...
J
O
O
A
↑ B
000 ... X
C
O O 0 ... O
p(t)
= det (A- +[n)
=
det
XIp-tIp
B
G C-tIn-p
= det x-tIp
det
C-tInp
=
X-t
P det C-tImp
·: t-X
P
es un
factor
dept
.
Por
la definición
de multiplicidad algebraica
, p multiplicidad algebraica
Teorema
Sea
Ti
lineal con de dimensión
finita , Supongamos que
el
polinomio
característico de Tescinde
y
sean
X
,
Xz
...,
Xk los
elgenvalores
distintos de
T . Entonces
T
es diagonalizable
si y
solo si j
= 1 , 2 ,...,
la multiplicidad geométrica
= multiplicidad
algebraica de
Xj
En
este
caso ,
si bj
es una base ordenada de Exj,
entonces = Bi
es una
base de
elgenvectores
de .
Además
,
en este caso , si Bj
es una base
ordenada de
[Xj,
entonces la unión de todas las bases
B
,
Br
... Bi es una base de
elgenvectores
de
a
=
Suponemos
que
Tes
diagonalizable
. Sea
Buna
base de
elgenvectores
de
T
.
Sea Bj
= B Exj y
sea nj
=
elementos en
Bj
· Notas
:
Mjdj
porquej
es linealmente independiente y
es subconjunto
de Exj
dj
mj porque
multiplicidad
geométrica
multiplicidad algebraica
Mira +--+ hk = n porque
tiene
neigenvectores y
cada uno de ellos
está en
algún
Exj
MitMett MK
= n
porque
el
polinomio
característico
escinde
Juntando todo
n
= nitn
nk
+ dk
= m
mz
+ mx
= n
=> di
+ m
=> m -di + me -dz
+.
--
mk
= 0
Como
mj -dj
Vj
=
mj -dj
= 0 =
mj
=
dj Vj
=
Suponemos
que
mj
=
dj Vj
Sea
Bj
una base de Exj
.
Sea
B
=
B
, UBzu--- UBK por
el lema anterior ,
B es un conjunto
linealmente
independiente
.
Cada
Bj
tiene
dj
elementos EB tiene n
elementos
porque
el
polinomio
característico escinde
=> B
tiene n elementos
=>
B es una base de
=> T es
diagonalizable
b
Esta demostración
se
sigue
de arriba.
Producto interno
Sea V
un espacio
vectorial sobrelRo C . Un producto
interno en
es una
función que a cada pareja
de vectores U ,
veV les
asigna
un número
u ,
v (real o complejo y
tal
que
satisface
las
siguientes propiedades
:
· u +v, w
= u ,
w
v ,
w
Xu ,
w
= Xu ,
w linealidad
Si F
=
IR
,
pedimos
0 ,
r
= v ,,
Si
= C
,
pedimos
u ,
u
= v ,
0 simetría
3
. u ,
si
positividad
Equivalencias
uu
=
u -v
=
uT.
