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Espacio
vectorial
Un
espacio
vectorial o lineal sobre un
campo
IF
,
es un
conjunto
dotado de dos
operaciones
:
suma
de vectores
y
multiplicación
por
escalar
X
, y E
X +
yE
XeH
,
XE = XXE
que
satisfacen
:
·
(x
, y
,
x
y
=
y
x
2 .
Xx
, y
,
z
,
x +
y
=
X
y
z
3. JOE
talque
-XE
x
=
X
·
XXEJ -XE tal
que
X +
X
= 0
VXE
·
X
=
X
. XX
,
ElF
,
XxE
xxx
=
xxx
. XXEFF
,
Yx
, ye
X
x +
y
=
xx +
xy
8
VX
, MElF
,
XXE
x
xx
=
xx +
xx
Teorema
de cancelación
Sean
x ,
y
,
zE
.
S
. X
z
=
y
,
entonces X
=
Y
Demostración
Dado zE ,
(-z
E
tal
que
z
-z
=
0
Además
,
dado XE X
=
X
Entonces
,
X
=
x
=
X
z
z
=
y
z+
z
=
y
z
z
=
y
0 =
y
Corolario
O
es
único
Demostración
Sean O
y
dos
vectores
que
satisfacen
x
=
x
,
X +
x
XXE
x
=
x
0
=
X
=
x +
0FX
Por
teorema de cancelación
,
0
=
0
Corolario
Sea ve .
-un único-vle tal
que
v + -v
=
0
Teorema
aOx
=
0
VXE
b
xx
=
xx
= x -
XXXEF
VxE
cx
=
0
EXEIF
Demostración
a0x
0x
=
0
0X
=
0x
=
0x
0
Por cancelación
,
Ox
=
0
b(xx
xx
=
x
xx
=
0x
=
0
Por
unicidad
,
xx
=
xx
cx0 +
=
x
=
x(5 +
=
x8 +
x
Cancelando
,
obtenemos
=
XÖ
Corolario
1)v
=
v
Subespacios
vectoriales
Sea un espacio
vectorial sobre un
campo
IF
.
Sea
E
S
=
. Si
,
con
las
operaciones
de
,
es un
espacio
sobre el mismo campo
I
,
decimos
que
es un
subespacio
vectorial
de
Para checar que
=
es un
subespacio
vectorial
,
debemos checar
que
a Si x
, yE
=>
x +
y
=
XxE
b Si xe
,
XEIF
Teorema
Sea un
espacio
vectorial
, y
sean 1
...,
n
subespacios
vectoriales.
Entonces 1
n es un
subespacio
vectorial.
Demostración
Como E 1
,
0 z , ...,
OE
n
= OE 1
& a a n
Sean u
,
NE
i 200 n avejEj
u +
VEj
j
u + ut
1 2 & a a n
Sea XEIF
,
we i 2 & a a n
vej j
XEj
Vj
XoE
1 2 & a a n
Como
es un
subespacio
vectorial
,
XiV
,
12Nzt--
-+
InUnE
.
Es dear
,
XE
<
span
S
Conjunto
generador
Un
conjunto
S
genera
a
si
span
S
=
Dependencia
lineal
Sea
Se
un
conjunto
.
Decimos
que
S es linealmente dependiente
siU
,
Uz
...,
Un
ES
y
, ...,
XnElf no
todos cero
tales que
XiUi
XzUzt + XnUn
= 0
Independencia lineal
S
es
linealmente
independiente
si
Vui
,
Uz
, ...,
UnES
,
si Xiui + XzUzt--
XnUn
=
0
,
entonces X .
= 0
,
X
= 0
, ...,
Xn
=
Notas
:
·
Si S
=,
entonces
S es linealmente
independiente
.
·
si S
=
203
,
entonces
S
es
linealmente dependiente
.
·
si DES
entonces S es linealmente
dependiente
.
·
si S =
u]
y
u
=
403
,
entonces S es
linealmente
independiente
.
Proposición
Sea un
espacio
vectorial. Sean
Si-Se =.
Si
Si es linealmente
dependiente
,
entonces Sz es
linealmente
dependiente
.
Corolario
Sea un espacio
vectorial. Sean
Si-Se =.
Si
Se es linealmente
independiente
,
entonces
S
es
linealmente
independiente
.
Teorema
Sea un
espacio
vectorial. Sea
Sun
subconjunto
linealmente
independiente
, y
VES
.
Entonces
S
[u] es
linealmente
dependiente
si
y
solo si
vespan
S
Demostración
Suponemos que
S
[vY
es linealmente
dependiente
S
,
Sz
, ...,
SES
y
X
,
X
, ...,
Xn
El
tales
que
M1Sit
Xeset
-+
XnSn +
Xn
1V
= 0
y
no todos
los
Xj
=
0
Si
XS
1
= 0
,
entonces
X1S
X
=
0
y
no
todos
los
Xj
=
0
=
S
es
linealmente independiente.
Sin
embargo
,
esto
no
es
posible
Entonces
Ante
0
.
Pero entonces
,
v
=
X1x
X
S +...
Xn S
Xn
Xn
1 Xn
. ve
span
S
Suponemos
ahora
que
vespan
5.. Entonces
-Si
,
S ,
53
,...,
SES
y
M
,
Mr
, ...,
Mneif
tales
que
v
=
MisitheSet----Ansn
MisitMese
-+Mnsn
v
= 0
·: Su
{u ? es linealmente
dependiente
.
Base
Sea un espacio
vectorial. Una base de es un
conjunto
B
que
es
linealmente
independiente
y
es
generador
.
Teorema
Sea un
espacio
vectorial
y
sea
B
un
subconjunto
. Entonces
es una
base
de si y
solo si VVE
,
v se
puede
escribir de manera única como combinación
lineal
de elementos
de B
.
Demostración
Suponemos que
es una
base
y
sea VE
. Como span
B
=
,
entonces
Wi ,
Wa , ....
Whe
B
y
X
,
X
,
...,
Xn EFF tales
que
v
=
Xiwit
.. -
Supongamos
que
Mi An
EF
tales
que vA
n
Igualando
,
obtenemos
que
XIW. t
...
Incunliwit--- enlun
Entonces X1-
Wit
...
Xnyn
wn
=
0
Como B
es base ,
Twi
, ...,
wn]
es
linealmente
independiente.
=>
x-Mn
= 0
Xz-Mn
=
0
, ...,
Xn
=
Un
=
solo se puede
escribir de manera
única .
Por
la
hipótesis ,
ya
sabemos
que
Vue
,
vespan
Suponemos
que
Xiwit---
nwn
=
0 con wi
,
Wa
,
..
..
wn
EB
Sabemos
que
O-witO
.
wet---
. n
=
0
.
Por unicidad
,
X
= 0
...
,
Xn
= 0
=> B es linealmente
independiente
.
Supongamos
que
B
=
&Vi
,
Vz
, ...,
Vm
,
Una
Y
El
conjunto
&Vi
,
V
,
. -- ,
um
es
linealmente
independiente
y
por
la
hipótesis
de
inducción
,
men
y
existe [U
,
Uz
, ...,
Un-m4A
tal
que
V
,
Va
,
--
,
Um
,
Un
,
. ...,
Un-m
genera
a
,
X
, ..,
XmE
,
Mu
,M
,
,Mn-mEIF
tales
que
Um
=
X 1
vi
72Vzt ---
XmVm
yz0z
An
mUn-m
Si fuera
el caso
men,
,
entonces Umi sería combinación lineal solamente de
[V
,
Vz
...,
Um
4
pero
esto contradice el hecho de
que
B es linealmente
independiente
.
Por lo tanto
,
man
. Como m
y
n son enteros
,
me In
Como Bes
linealmente independiente ,
en
la
expresión
Um+ 1
=
X 1 Vi
X2Uzt---
XMVmtU
Hzzt---
An
mUn-m es
imposible que
Mi
= 0
,
Mz
= 0
,
.
--
, Mn-m
= 0
Sin
pérdida
de
generalidad
suponemos Mn-m#
.
Despejando
,
tenemos
que
Un -m
=
Um + -
X
1 v
X
Vz-
-.. -
Im
Um-Mi
U
Mn-m Mn-m
Mn-m
Mn-m
Mn-m
M
Uz
Mn-m- Un-m-
Mn-m
Mn-m
Sea
H
=
Su
,
Uz
,
..
.,
Un-m-
. Entonces
Un-mespan
Huß
También
,
{Ui
,
Uz
,
..
.,
Un-m-
Span
Huß
También
,
[VI
,
Vz
,...,
Um
Espan
Hub
Pero entonces
,
[V
,
Vz
, ...,
Um
,
Un
,
Uz
,
--
,
Un-m4Espan
Huß
Span
&V
,
Va
, ...,
Um
,
U
,
Uz
,
,
Un-m3Espan
Huß
=
Espan
Butt
=
span
BrH
=
Como
a
tiene
n-m-
=
n-im
,
esto demuestra
que
el teorema
es cierto
para
m+
Corolario
Sea
un
espacio
vectorial con una base
finita
. Entonces
,
cualquier
base
de
tiene el
mismo número
de elementos .
Demostración
Sea Buna base finita de
y
sea
Rotra base de
.
Sea
LER
,
L
finito
,
Les linealmente
independiente
. Como B
es
generador
,
L tiene menor
o
Igual
cantidad de elementos
que
B
.
De
aquí
se
sigue
que
R
es
finito también
.
Además
,
la cantidad de
elementos de R es menor o
igual
que
la
cantidad de elementos de B .
Haciendo
lo
mismo
: R
es
generador
y
B es
linealmente
independiente
.
Por el teorema
,
la cantidad
de elementos de B es menor
o
igual
que
la
cantidad de elementos
de
R
.
Por lo tanto
,
B
y
R
tienen la
misma
cantidad de elementos .
Dimensión
Un
espacio
vectorial se
dice de dimensión finita
si
tiene
una
base finita .
Al
número de elementos
de esta base
le
llamamos la dimensión de
, y
la
denotamos como dim
Corolario
Sea un
espacio
vectorial con
dim
=
n .
Entonces :
a
Cualquier
conjunto generador
de tiene al menos n
elementos
b
Un
conjunto generador
de n elementos
es una base
c
Cualquier
conjunto
linealmente
independiente
en
tiene a
lo más n elementos.
d
Un
conjunto
linealmente independiente
de n elementos es una
base .
e
Cualquier conjunto
linealmente independiente
puede
extenderse a una
base .
Demostración
a Si
Gesgenerador
y
Besonabase dim
=
n .
El
teorema de
reemplazo
dice
que
n tamaño de
G
b Si G es
generador y
B es una base dim
n
y
G tienen
elementos .
Como
cualquier conjunto
generador
contiene una
base
,
digamos
B-G
y
B
es de tamaño n
, y
como G tiene elementos
y
BEG
,
entonces
B
=
G
Por lo tanto
,
G
es una
base
.
C Sea Lun
conjunto
linealmente
independiente
y
sea
Buna
base.
Como Bes
generador
,
el teorema de
reemplazo
dice que L
tiene
a
lo más
n elementos .
a
Sea (linealmente
independiente
con n
elementos. Sea B una
base
.
Por el
teorema de
reemplazo
,
-HB
,
H de tamaño n-n
=
0 H
=
tal
que
LH
=
L es
generador
.
=
Les base
·
Notas
:
La transformación Identidad I
:
,
es dada
por
I
u =
La transformación cero
To
:
,
es dada por
Tou
=
0
Núcleo
Sea
T
:
lineal. El
espacio
nulo
,
o
núcleo o Kernel de T es
el
conjunto
NocT
=
NT
=
Ker T
=
Eve Tv
=
Imagen
Sea
T
:
lineal
. La
imagen
de T es
Im
T
=
T v ve
=
(WE IVE
con
T v = w
]
Teorema
Sea
T : lineal .
Entonces Ker T es un subespacio
vectorial de e ImT
es un subespacio
vectorial de
Demostracionse
"
Si v
,
vEKerT
,
entonces Tutu
=
Tr
T v
= 0 + 0
= 0
=
otueker
T
"
Si reKerT
y
XEF
,
entonces
T
Xu
=
XTu .
=
X
= 0
b
·
KerT
es
un
subespacio
vectorial de
T 0
=
=
OEImT
"
Siu
,
veImT Ex
, ye
. Entonces
Tx +
y
TX
Ty
=
U
=
"
Si UtImT
,
XEF
,
IXE
talque
T(x)
=
v .
Entonces
T(x0)
=
XT(u)
= 7x
=
XuE Im
T
. Im T es un
subespacio
vectorial de
P
roposición
Sea
T
:
lineal.
Sig
= [Vi
, Vi ...,
Un]
es una
base de
,
entonces
Im T
=
span
T
B
,
donde T
p
=
[T(vi)
,
TCV2)
, ...,
TCUn)Y
