APLICACIONES: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
En este capítulo consideraremos problemas que dan lugar a algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
que se estudiaron en el capítulo anterior. En primer lugar, se formulará el problema en forma matemática, y a partir de este se
obtendrá la ecuación diferencial correspondiente; después se resolverá la ecuación y se interpretará la solución en términos de
las cantidades que intervienen en el problema original.
RAZÓN DE CRECIMIENTO Y DE DECRECIMIENTO.
Fechado con radiocarbono alrededor de 1950, el químico Willard Libby invento un método que emplea al carbono radioactivo
para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría del fechado con radiocarbono se basa en que el isotopo del carbono
14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón dice la cantidad de C-14 al carbono
ordinario en la atmosfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isotopo presente en todo
organismo vivo es igual a la de la atmosfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-14, sea por respiración o alimentación,
cesa, Así, si se compara la cantidad proporcional del C-14 presente por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe
en la atmosfera. Es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que la vida
media del C-14 radioactivo es, aproximadamente, 5600 años. Se analizo un hueso fosilizado y se encontró que contenía la
milésima parte de la cantidad original de C-14, calcule la edad del fósil
EJERCICIOS 1.
1. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas que
haya en dicho instante. Si
x
representa la cantidad de bacterias después de
t
horas, determine:
a. La ecuación diferencial que representa dicha situación.
b. Si se sabe que después de tres horas se observa que se tiene 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 200. ¿Cuál
es el número inicial de bacterias?
2. La rapidez con la que se desintegran núcleos radiactivos es proporcional al número de núcleos que están presentes en una
muestra dada. La mitad del número original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un periodo de
1500 años.
Si
x
representa la cantidad de núcleos radiactivos presentes después de
t
años, determine:
c. La ecuación diferencial que representa dicha situación.
d. ¿Qué cantidad de núcleos radiactivos originales estarán presentes después de 450 años?
e. ¿En cuánto tiempo quedará solamente la décima parte del número inicial?
3. El isótopo radiactivo de plomo, Pb 209, se desintegra, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad
presente en dicho instante y tiene una semivida (o periodo medial) de 3.3 horas. Si inicialmente hay un gramo de plomo,
¿cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento?
4. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de seis horas, esa cantidad disminuye 3%. Si la rapidez
de desintegración, en cualquier tiempo t, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente.
a) Calcule la cantidad que queda después de 24 horas.
b) Calcule la vida media de dicha sustancia.
5. Una reacción convierte una cierta sustancia química en otra, y la velocidad con la que la primera se convierte es proporcional
a la cantidad de esa sustancia presente en cualquier tiempo. Después de una hora, quedarán 50 gramos de la primera
sustancia química, mientras que después de tres horas quedarán 25 gramos.
a) ¿Cuántos gramos de la primera sustancia química había inicialmente?
b) ¿Cuántos gramos de la primera sustancia quedarán después de cinco horas?
c) ¿En cuántas horas quedarán solamente2 gramos de la primera sustancia química?
6. En un cultivo de bacterias la rapidez de crecimiento en el número de bacterias es proporcional al número presente.
a) Si el número de bacterias se triplica en 5 horas, ¿cuántas habrá en 10 horas?
b) ¿Cuándo el número de bacterias será 10 veces el número inicial?
CRECIMEITO DE POBLACIONES.
En biología, se ha observado que en cortos periodos la rapidez de crecimiento de algunas poblaciones (como la de las
bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si conocemos una población en
cierto tiempo inicial arbitrario, la solución de la ecuación propuesta nos sirve para predecir la población en el futuro – claro
está que es para. En física y en química, la ecuación anterior se usa en reacciones de primer orden, esto es, en reacciones
cuya rapidez o velocidad, es directamente proporcional a la cantidad x de una sustancia que no se ha convertido, o que queda
cuando el tiempo es t. la desintegración o decaimiento del U 238 (uranio) por radioactividad, para convertirlo en Th 234
(Torio) es una reacción de primer orden.
Vamos a considerar ahora el crecimiento de una población (por ejemplo, humana, de especies animales, o bien, de una colonia
de bacterias) como función del tiempo. Se observará que una población en realidad aumenta de manera discontinua en un
número entero de unidades; sin embargo, si la población es muy grande, el crecimiento individual es esencialmente
