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Aplicaciones del Cálculo Integral en Ingeniería, Apuntes de Cálculo

Una introducción al cálculo integral y sus aplicaciones en diversas ramas de la ingeniería, como la ingeniería civil, mecánica, aeroespacial, eléctrica y de control. Se explica el concepto de inercia y su importancia en la mecánica clásica, con ejemplos de cálculo del momento de inercia de objetos como ruedas de bicicleta y cilindros huecos. El documento también incluye referencias bibliográficas relevantes sobre cálculo integral. Este material podría ser útil para estudiantes de ingeniería que buscan comprender la aplicación práctica de los conceptos del cálculo integral en problemas de diseño, análisis y modelado de sistemas y estructuras.

Tipo: Apuntes

2022/2023

A la venta desde 01/08/2024

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Aplicaciones del Cálculo

Integral en ingenierías

I. Introducción

El cálculo integral es una herramienta matemática fundamental en diversas ramas

de la ingeniería. El libro "Cálculo Integral: Matemáticas II" de Larson, Hostetler y

Edwards proporciona los conceptos y técnicas necesarios para comprender y

aplicar la integración en problemas de ingeniería. A continuación, se describen

algunas de las ramas de la ingeniería en las que este libro tiene aplicaciones

relevantes.

II. Ramas de la Ingeniería

Ingeniería Civil:

Cálculo de áreas y volúmenes para el diseño de componentes y estructuras.

Cálculo de centros de masa y momentos de inercia para el análisis de estructuras.

Ingeniería Mecánica:

Cálculo de trabajos y energías en sistemas dinámicos.

Cálculo de centros de masa y momentos de inercia para el análisis de sistemas

mecánicos.

Ingeniería Aeroespacial:

Cálculo de áreas y volúmenes en el diseño de aeronaves y vehículos espaciales.

Cálculo de momentos de inercia para el análisis de estabilidad.

Ingeniería Eléctrica y Electrónica:

  • Análisis de señales y sistemas mediante integrales.

Page

3

sistemas de transporte y la comprensión del movimiento de los cuerpos celestes,

entre otros.

  1. Ingeniería de Calidad, Confiabilidad y Control de Procesos:
  • Cálculo de estadísticas y probabilidades mediante integrales.

Problema: Tienes una rueda de bicicleta de montaña con un rin homogéneo de

radio 30 cm y masa de 1.5 kg. Calcular el momento de inercia de esta rueda

respecto a su eje de rotación para determinar la facilidad con la que puede

girar.

Resolución:

  1. Identificar los datos conocidos:
  • Radio de la rueda (R) = 30 cm = 0.3 m
  • Masa de la rueda (M) = 1.5 kg
  1. Aplicar la fórmula del momento de inercia para un disco circular homogéneo: I =

( M ∗ R ¿ ¿ 2 )/ 2 ¿

( M ∗ R ¿ ¿ 2 )/ 2 ¿

Page

4

3. Sustituir los valores conocidos en la fórmula:

I =¿ ¿/

I =

0.0675 kgm

2

4. Interpretación del resultado: El momento de inercia de la rueda de bicicleta

de montaña respecto a su eje de rotación es 0.0675 kg * m^2. Este valor

determina la resistencia de la rueda a cambiar su estado de rotación. Un valor más

bajo de momento de inercia significa que la rueda gira con mayor facilidad, lo que

es deseable para una bicicleta de montaña que requiere una buena

maniobrabilidad en terrenos accidentados.

IV. Conclusión

El cálculo integral es una herramienta esencial en diversas ramas de la ingeniería,

y el libro "Cálculo Integral: Matemáticas II" de Larson, Hostetler y Edwards

proporciona una sólida base teórica y práctica para su aplicación. Conceptos como

el cálculo de momentos de inercia, ilustrados en el problema resuelto, tienen

aplicaciones prácticas en el diseño y análisis de sistemas mecánicos, estructuras y

vehículos.

Problema sobre cálculo de momentos

A. Enunciado del problema: Calcular el momento de inercia de un disco

circular homogéneo de radio R y masa M, respecto a un eje perpendicular al plano

del disco y que pasa por su centro.

B. Desarrollos matemáticos: El momento de inercia de un cuerpo rígido

respecto a un eje de rotación se define como: I = ∫

r

2

dm

Page

6

  1. Aplicar la fórmula del momento de inercia para un disco circular

homogéneo: I =

πMR

2

  1. Sustituir los valores conocidos en la fórmula: I=¿)/2I=0.7069kg* m

2

  1. Interpretación del resultado: El momento de inercia de la rueda de bicicleta

de montaña respecto a su eje de rotación es0.7069kg* m

2

. Este valor

determina la resistencia de la rueda a cambiar su estado de rotación. Un

valor más bajo de momento de inercia significa que la rueda gira con mayor

facilidad, lo que es deseable para una bicicleta de montaña que requiere

una buena maniobrabilidad en terrenos accidentados.

  1. Un cilindro hueco de aluminio con un radio exterior de 20 cm, un radio

interior de 15 cm y una longitud de 1 m tiene una densidad de 2700 kg/m³.

Determine el momento de inercia del cilindro hueco respecto a su eje

longitudinal.

  1. Un tanque de almacenamiento cilíndrico de pared delgada está compuesto

por dos secciones. La sección inferior es un cilindro sólido de radio 2 m y

altura 5 m. La sección superior es un casquete esférico con un radio de 2 m

y una altura de 1 m. El tanque está construido con acero de densidad 7850

kg/m³. Determine el momento de inercia total del tanque respecto a su eje

vertical central.

Page

7

  1. Referencias bibliográficas:
  2. Larson, R. E., Hostetler, P. R., y Edwards, H. B. (2009). Cálculo Integral:

Matemáticas II. México: McGraw-Hill.

  1. Granville, W. A. (2006). Cálculo Diferencial e Integral. México: Editorial

Limusa.