Distribución de esfuerzos en el subsuelo: soluciones de Boussinesq y otros, Apuntes de Mecánica de Materiales

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UNIDAD 1

Reconoce la distribución de esfuerzos en el

subsuelo sometidos a diferentes

condiciones de carga para su valoración.

1 .Distribución de esfuerzos La solución de Boussinesq determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga puntual sobre la superficie de un semi-espacio infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogéneo, elástico e isotrópico. Muchas de las soluciones obtenidas para las distribuciones de esfuerzos en suelos, se derivan de los trabajos de Boussinesq (1885) desarrollo una expresión matemática para obtener el incremento del esfuerzo, esta se integró para obtener soluciones para aras cargadas Cargar puntual idealizando un modelo donde se coloca una carga puntual sobre un medio elástico semi- infinito, encontró que la solución para encontrar el valor del incremento del esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) con coordenadas cartesianas de localización (x = xa, y = ya, z = za,), debido a la carga (P) impuesta, de forma general será:

∆ σZ =

3 P

2 π z

2 cos

5

cosθ =

z

√ r 2

+ z

2 r =√ r 2

+ z

2 Utilizando las definiciones antes vistas, y realizando las simplificaciones respectivas, se puede expresar el incremento de esfuerzo vertical en el suelo (∆σz), de dos maneras:

∆ σZ =

3 P

2 π z

2 ( 1 +(

r

z ) 2 ) 5 2

∆ σZ =

3 P

∗ z

3 ( r 2

+ z

2 ) 5 2

1.1 Ecuaciones de Boussinesq.

Podemos encontrar las ecuaciones de Boussinesq en la descripción de playas, ríos y lagos. Estas ecuaciones estudian la dinámica de las aguas poco profundas como las ecuaciones “Korteweg-deVries (KdV)". Sin embargo, a pesar de ser más conocidas, las ecuaciones de KdV, no son capaces de modelar olas solitarias propagándose en distintas direcciones. Entre muchas otras aplicaciones de las ecuaciones de Boussinesq destaca la de modelar olas de tsunamis. Estos tipos de olas ya son perfectamente descritos por las ecuaciones de Navier Stokes, pero todavía no existen técnicas que permitan resolverlas en un dominio tridimensional. Para ello se usan las ecuaciones de Boussinesq, pensadas como una simplicación de las ecuaciones de Navier Stokes. Los años 1871 y 1872 fueron muy importantes para el desarrollo de las ecuaciones de Boussinesq. Fue en 1871 cuando Valentin Joseph Boussinesq recibió el premio de la Academy of Sciences por su trabajo dedicado a las aguas poco profundas. Ahí fue donde Boussinesq introdujo por primera vez los efectos dispersivos en las ecuaciones de Saint-Venant. Por ello, se puede decir que las ecuaciones de Boussinesq son más completas físicamente que las ecuaciones de Saint-Venant. Las ecuaciones de Boussinesq contienen una estructura hiperbólica (al igual que las ecuaciones no lineales de aguas poco profundas) combinada con derivadas de orden elevado para modelar la dispersión de la ola. Las ecuaciones de Boussinesq pueden aparecer de muchas formas distintas. Dependiendo de cómo hayamos escogido la variable de la velocidad podemos obtener un modelo u otro. El caso más usual es escoger la variable velocidad en un nivel del agua arbitrario. La efectividad de la ecuación de Boussinesq seleccionada variará dependiendo de la dispersión. Una buena elección de la variable velocidad puede mejorar significativamente la modelización de la propagación de ondas largas

1.2. Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum.

Newmark, Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussinesq, en medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación:

∆ σ Z

w

(

1 +(

r

z ) 2 ) 3 2 Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%. Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños (en este caso a través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia.

Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussinesq, en medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros

m =

x

z

n =

x

z

Expresándose la fórmula para una carga lineal: ∆ σZ (^) (

z

p )

∗ n

( (^) m^2 + 1 ) (^) √ m^2 + n^2 + 1 (^

n

m

2

+ n

2

m

2

• 1 ) ∆ σZ (^) (

z

p ) = Po o ∆ σZ = Po (

z

p )

Expresándose la fórmula para una carga rectangular:

∆ σ Z

w

∗ 2 mn √ m 2

+ n

2

( m 2

+ n

2

• 1 ) (^) √ m 2

+ n

2

• 1 (^

m

2

+ n

2

m

2

+ n

2

+tan

− 1 2 mn^ √ m 2

+ n

2

( m 2

+ n

2

• 1 ) − m 2

n

(^2) )

∆ σ Z

w

= w 0 ∆^ σZ = w 0 ∗ w

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2. con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

m =

= 1 n =

Como se observa el incremento de esfuerzo vertical es el siguiente

∆ σZ =( 0.20) ( 20 )=4.

T

m

3

ESFUERZO GEOSTÁTICO HORIZONTAL, (K y K0) La relación entre los esfuerzos horizontal h y vertical V, se expresa con el COEFICIENTE de ESFUERZO LATERAL “K” o coeficiente de presión de tierras. La relación no es exclusiva de los esfuerzos geostáticos y su valor teórico

k =

max = 0,5. En la realidad, K > 1 y empíricamente K  1  sen en arcillas NC. En arcillas NC y en arenas K < 1. En arcillas PC y arcillas compactas o arenas compactas K0 > 1.Cuando un depósito sedimentario se forma por acumulación en capas horizontales, se va incrementando V y no necesariamente h, por lo que K < 1. En depósitos de arena sedimentaria, K = 0,4 – 0,5. Si no existe deformación horizontal por presión de lateral de sepultura, el valor de K es K coeficiente de tierras en reposo. Así que, en procesos sedimentarios, es típico el valor

σ n = k 0 ∗ σv

ESFUERZOS PRODUCIDOS POR CARGAS APLICADAS

En la teoría de la elasticidad se emplea frecuentemente, para el cálculo en una casa del suelo, este tipo de esfuerzos. La teoría supone que ESFUERZO y DEFORMACIÓN son proporcionales; la mayoría de las soluciones útiles suponen el suelo homogéneo e isótropo; incluso suponen el suelo (continuo, homogéneo, isótropo y linealmente elástico).

1.4. Otras teorías.

Teoría de Westergaard

Westergaard público en 1938 una fórmula que se ajusta más a las condiciones elásticas de suelo estratificado. Se supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por laminas horizontales proponiendo lo siguiente fórmula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producidas por una carga concertada (Jason, 2021, pág. 1) Donde: es el esfuerzo a la profundidad Z debido a la carga superficial” P” es la carga puntual e Kg

z es la profundidad cm

Para la ecuación la coordenada vertical se modifica por la siguiente transformación lineal Donde; “Esta ecuación está relacionada a la capa de suelo que se encuentra entre las capas rígidas horizontales. Si se sustituyen los valores queda de la siguiente manera” (ACOSTA, 2013) Cuando se tiene que el coeficiente de influencia de la solución de Westergaard es:

Teoría de Burmister Burmister estudió el problema de la distribución de esfuerzos y desplazamientos en un sistema de dos capas donde cada capa tiene un comportamiento homogéneo, isótropo y linealmente elástico. La primera capa es infinita horizontalmente, pero tiene espesor finito h. La segunda capa, subyacente a la anterior es infinita. Se supone que entre las dos capas existe un contacto continuo, siendo la frontera plana

entre ellas perfectamente rugosa. E 1 y E 2 son los módulos de elasticidad de las dos

capas; se estudió el caso de interés práctico, con aplicación al diseño de

pavimentos, en el cual E 1 > E 2. (ACOSTA, 2013, pág. 109)

Esquema bicapa para las soluciones numéricas de Burmister La influencia de la carga superficial, supuesta circular y uniformemente distribuida se representa con curvas, esto es referente a los esfuerzos verticales bajo el centro del área cargada, si el radio del circulo de carga es igual al espesor de la primera capa las curvas mostradas se refieren a distancias relacionadas.

A continuación, se muestra los factores de deflexión recomendados por Burmister para sistemas de dos capas y para diferentes relaciones modulares E1/E2 y h/r. “Los factores de deflexión para pavimentos bicapa fueron utilizados en la década de los 60´s por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos (USACE) para encontrar las cargas equivalentes de tránsito.” ( Coria Gutiérrez, Hernández Domínguez, & Garnica Anguas, 2018, pág. 110) La distribución de esfuerzos normales para distintos pesos y presiones de inflado. Para las cuatro condiciones de esfuerzo, puede apreciarse una variación a nivel superficial derivado de las áreas efectivas de distribución de esfuerzos. Ejemplo, para una profundidad “z” de 10 cm, la línea roja tiene un esfuerzo normal de 160 kPa, la línea azul de 320 kPa y las líneas negra y verde que se interceptan tienen un valor de 220 kPa. A medida que se incrementa la profundidad la variación de distribución entre ellas disminuye, tendiendo todas a cero.

SUCS

Clasificación de suelos (SUCS):

“El Sistema Unificado de Clasificación del suelo (USCS o SUCS) se basa en el sistema de clasificación desarrollado por Casagrande durante la Segunda Guerra Mundial, fue aprobado conjuntamente por varias agencias de gobierno de los EE.UU. en 1952.” Los suelos granulares o finos, según se distribuye el material que pasa el tamiz de 3’’ = 75 mm; el suelo es denominado “fino” cuando más del 50% pasa el Tamiz número 200 (T200). Si es menos del 50% en peso del suelo pasa por dicho tamiz, entonces el suelo es grueso, y se sub-clasifica en arena o grava por medio del tamiz #4. Caso contrario, el suelo es fino, y se sub-clasifica en limo o arcilla según los valores de los límites líquido y plástico. La importancia del tamiz #200 se hace evidente cuando se analizan las fuerzas que actúan entre las partículas, incluyendo las de peso propio, las fuerzas debidas a esfuerzos efectivos, fuerzas eléctricas, y fuerzas capilares. Clasificación USCS (separación en componente fina y gruesa.)

Suelos gruesos se clasifican:

Gravas (G): en estos suelos, más del 50% de la fracción gruesa es mayor que el tamaño del tamiz de 4.75 mm (malla N° 4). Esta subdivisión incluye gravas y suelo de grava, y se designa con el símbolo G. Arenas (S ): en estos suelos, más del 50% de la fracción gruesa es menor que el tamiz IS de 4.75 mm. Esta subdivisión incluye arenas y suelos arenosos.

Cada una de las subdivisiones anteriores se divide en cuatro grupos según la

clasificación y la inclusión de otros materiales.

W: bien calificado C: carpeta de arcilla P: mal calificado M: Contiene materiales finos no cubiertos en otros grupos.

La grava se identifica como el símbolo G y la arena como el símbolo S:

1) Grava o arena bien granulada (GW o SW)

El material contiene hasta 5% de finos cuando se trate de grava cuyo coeficiente de uniformidad es mayor de 4 y su coeficiente de curvatura este entre 1 y 3. Se clasifica como grava bien graduada (GW), cuando se trate de una arena cuyo coeficiente sea mayor de 6 y su coeficiente de curvatura sea entre 1 y 3 se clasifica como área bien granulada(SW).

2) Grava o arena mal graduada (GP o SP

Si el material contiene hasta 5% de finos y coeficiente de uniformidad y curvatura no cumplen con lo indicado se clasifica como grava mal graduado o arena mal graduada.

3) Grava o arena limosa (GM o SM)

Si el material contiene más de 12% de finos y si son limo se clasifican como grava limosa o arena limosa.

4) Grava o arena arcillosa (GC o SC)

Si el material contiene más de 12% finos y estos son de arcilla, se clasifican como grava arcillosa o arena arcillosa.

5) Grava o arena bien granulada limosa (GW-GM o SW.SM)

Si el material contiene entre 5% y 12% finos y estos son limo, cuando se trate de grava bien graduada se clasifican como grava bien graduada limosa (GW-GM) y cuando sea arena bien graduada limosa (SW-SM)

6) Grava o arena mal graduada limosa (GP-GM o SP-SM)

Si la grava o arena el mal graduada contiene entre 5% y 12% de finos u estos son limos se clasifican como mal graduada limosa o arena mal graduada limosa.

7) Grava o arena bien granulada arcillosa (GW-GC o SW.SC)

Si la grava o la arena es bien graduada contiene entre 5% y 12% de finos y estos son arcilla se clasifican como grava bien graduada arcillosa o arena bien graduada arcillosa

8) Grava o arena arcillosa (GC o SC)

Si la grava o la arena son mal graduadas contiene entre 5% y 12% de finos y estos son arcilla se clasifican como grava mal graduada arcillosa o arena mal graduada arcillosa.

Los suelos de grano fino se dividen en tres subdivisiones:  Lodos inorgánicos y arenas muy finas: M Se clasifica con limo cuando su límite líquido y su incide plástico, son determinados y se definen como limo de jaba comprensibilidad (ML) y los limos de alta comprensibilidad (MH)  Arcillas inorgánicas: C El suelo fino se clasifica cuando su límite líquido y su índice plástico se determinan y se clasifican como arcilla de baja comprensibilidad (CL) O arcilla de alta comprensibilidad (CH)  Limos y arcillas orgánicas y materia orgánica: O. Los suelos de grano fino se dividen en los siguientes grupos sobre la base de los siguientes valores de límite de líquido seleccionados arbitrariamente, que es un buen índice de compresibilidad:  Limos y arcillas de baja compresibilidad: Tener un límite de líquido inferior a 35 y representado por el símbolo L.  Lodos y arcillas de compresibilidad media: Tener un límite de líquido mayor que 35 y menor que 50 y representado por el símbolo I.

 Limos y arcillas de alta compresibilidad: Tener un límite de líquido superior a 50 y

representado por un símbolo H.

Angulo de fricción

“Es una propiedad de los materiales granulares, al estar relacionado con el ángulo de reposo o máximo ángulo posible para la pendiente de dicho material granular. El ángulo de reposo está determinado por la ficción, la cohesión y la forma de las partículas, pero en un material sin cohesión y donde las partículas son muy pequeñas en relación al tamaño.” (garcia, 20) Problema Ángulo de fricción Depende de Resistencia interna de la arena de pequeñas deformaciones Ángulo de fricción máximo Composición de suelo: relación de vacíos, esfuerzo de confronta miento inicial Resistencia interna de las arenas para grandes deformaciones Ángulo de fricción residual Composición del suelo: relación de vacíos en el estado residual. Deslizamiento de la arena sobre una superficie rugosa. Ángulo de fricción entre partículas Naturaleza de los minerales del suelo y de su estado superficial. Deslizamiento de la arena sobre una superficie rugosa. Ángulo de fricción residual Composición del suelo relación de vacíos en el estado residual