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Álgebra y Geometría Analítica
Profesora: RISUEÑO, María Antonela
MATRICES
Los tableros de datos comúnmente utilizados para almacenar información son arreglos
organizados en filas y columnas. Estos arreglos pueden expresarse de forma sintética a
través de matrices, permitiendo “operar” la información que contienen.
La teoría de matrices es una herramienta muy útil en diversas áreas del conocimiento, ya
que permite trabajar con grandes conjuntos de información de una forma cómoda y
operativa. Las tablas se transforman en matrices cuando sus datos son utilizados para
realizar cálculos. La información almacenada en este tipo de estructura es, por ejemplo, la
cantidad de existencias de mercadería en un depósito, una imagen en la pantalla de un
monitor, las presiones y temperaturas de un conjunto de gases.
Definición: Dados dos números naturales m y n, se llama matriz real de dimensión m x n
a un cuadro o arreglo de m filas y n columnas compuesto por m x n números reales.
En general, una matriz m x n tiene la forma:
11 12 1n
21 22 2n i j
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... a A a R, 1 i m, 1 j n .... .... .... ....
a a ... a
Notación:
Las matrices se suelen denotar por letras mayúsculas, utilizando corchetes o
paréntesis para encerrar sus elementos. En forma abreviada se expresa:
i j
A a , 1 i m, 1 j n.
Las entradas que las componen, denominadas elementos o coeficientes, son
representadas por letras minúsculas con subíndices que indican el lugar que ocupan
en la matriz. El primer subíndice específica la posición en las filas y el segundo
subíndice su posición en las columnas. Así ai jdenota el elemento en la fila i y
columna j de la matriz A.
Al conjunto de todas las matrices reales de dimensión m x n lo notamos Mm n (^) ( R)o
m n R^.
Con F i ( A)y C j ( A)indicamos la fila i y la columna j de A, respectivamente.
Observaciones:
Una matriz es rectangular sí m n.
Si m =n, la matriz se dice cuadrada de orden n. Escribimos: M n ( R)y diremos que
los elementos a 11 ,a 22 ,...,ann forman la diagonal principal de A, siendo
i j
A a , 1 i n, 1 j n.
EJEMPLOS:
= ^ −
−^ −
A 0 2
B
A M3 2 ( R)y es una matriz rectangular.
El elemento a 12 es el elemento que está ubicado en la fila 1, columna 2, es decir: a 12 (^) = 5
El elemento a 31 (^) = − 5
La segunda fila de A se escribe como: ( ) = −
F 2 A 0 2
La primera columna de A es: ( )
1
C A 0
B es una matriz cuadrada porque tiene igual cantidad de filas que de columnas. Se
nota:B M 2 ( R)
El elemento b 11 = − 1 y b 21 = 0.
Su diagonal principal contiene los elementos: b 11 = − 1 y b 22 = − 3.
2) Escribir explícitamente las matrices definidas por:
a) A M3 2 ( R) tal que a i j= i −j
Nos piden escribir una matriz A que tenga 3 filas y 2 columnas, por lo que la describimos
de forma general:
2
1
3
2
3
11
21 2
1 2
A a a
a
a
a
a =
Tenemos que ver qué número escribimos en cada una de las posiciones, siguiendo la
regla: aij = i −j. Es decir, debemos reemplazar cada elemento por el número que resulta
i j
1 si hay comunicación de i a j
a (^0) si no hay comunicación de i a j
0 si i j
1 2 3 4
1
2
3
4
E E E E
E no no no si 0 0 0 1
E si no si no 1 0 1 0 A E si si no si 1 1 0 1
E no si no no 0 1 0 0
describiendo así las posibles comunicaciones directas entre estaciones.
d) Una tienda contiene dos almacenes como proveedores de electrodomésticos; el
primer almacén tiene dos lavarropas, dos cocinas y tres heladeras en stock; el segundo
tiene cuatro cocinas, tres lavarropas y una heladera.
Si llamamos a la matriz stock S; y disponemos los dos almacenes en las filas y los
diferentes artículos en las columnas:
11 12 13 Almacenes Electrodomésti 21 22 23
L C H
A1 e^ e^ e 2 2 3 S S S A2 e e e 3 4 1
cos
Resolver los ejercicios 1 y 2 del Trabajo Práctico.
TIPOS DE MATRICES
Ciertas matrices contienen nombres específicos de acuerdo con las particularidades que
presentan.
Definición: Dado un número natural n, se llama matriz fila ( )
F 1xn R al arreglo que contiene
1 fila y n columnas y cuyos elementos son números reales. Del mismo una matriz columna
Cnx1 ( R) es un arreglo de números reales que contiene n filas y 1 columna.
= ^
1xn (^) 11 12 1n (^) i j F a a ... a a R, 1 j n
= ^
11
21 n x1 i j
n
a
a C a R, 1 i n ...
a
EJEMPLOS:
= ^ −
A 12 0 1 3
B 5
A es una matriz que tiene una sola fila. Se nota: A M1 4 ( R).
B es una matriz que tiene una sola columna. Se nota: B M 3 1( R).
Definición: Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos
ubicados en la misma posición son iguales. Simbólicamente:
A = ^ aij ^ y B = ^ bij Mm n ( R) son iguales si, y sólo si, aij =bij para todo 1 i m, 1 j n.
EJEMPLOS:
−
1
3
A 5 0
y
B 1 5 0
En principio, A y B tienen la misma dimensión ya que ambas tienen 3 filas y 2 columnas.
Luego, hay que comparar los elementos ubicados en las mismas posiciones para ver si son
iguales. Por ejemplo:
− = =
1 21
a 5 5
y 21
b 5
, de donde resulta:a 21 =b 21
3 a 32 8 2 y b 32 2 , de donde resulta: a 32 =b 32
Queda como tarea verificar que los restantes elementos son iguales, lo que implica que
A =B.
A
y
B
^ −
Se puede ver que A y B son matrices cuadradas, A,B M 2 ( R) (ambas tienen 2 filas y 2
columnas). Pero al comparar los elementos ubicados en las mismas posiciones se puede
afirmar que no son iguales. Por ejemplo:
a 11 = 0 y b 11 = − 2 , de donde resulta: a 11 b 11.
Como estos elementos no son iguales, no es necesario ver qué pasa con los demás
elementos y ya podemos afirmar que A B.
= ^
B
es una matriz triangular inferior.
OPERACIONES CON MATRICES
Para operar con tablas numéricas de datos se procede de forma similar a como se opera
con números reales, pero con ciertos cuidados especiales. Esto se debe a que a hay
propiedades importantes de números reales que trasladadas a matrices dejan de ser válidas.
Suma de Matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión: = = ( )
ij^ ij^ m n
A a y B b M R , la suma de A
y B se define como + = + ( )
ij^ ij^ m n
A B a b M R para todo a ,bi j i j R, 1 i m, 1 j n. Es
decir,
12 1n 12 1n
21 22 21 22 i j i j
m 1 m 2 m
1
n m 1 m 2 m n
12 12 1n 1n
21 21 22 22
11 11
1
2n 2n
11
a ... a b ... b
a a ... b b ... A B a ,b R, 1 i m, 1 j n .... .... .... .... .... .... .... ....
a a ...
b
A
a
a b
a b b ... b
a b ... a b
a b a
a b
b B
m
2n 2
1 m 1 m 2 m
n
2 m n m n
a b a b.
b
.. a b
a
EJEMPLOS:
1) Dadas
A 0 3
B 7 8
y
C
A B 0 7 0 7 7
^
^
− ^ + + −
No se puede realizar A +Cy B +Cporque C no tiene la misma dimensión que A y B.
2) Dadas
A
y
B
(^1) x 2
^ −^ ^ ^ +^ + −(^ ) ^ −
+ = + = ^ =
−^ ^ ^ ^ +^ −^ + ^ −^ +
A B
3 4 1 x 3 1 4 x^74 x 2 2 2
Propiedades de la suma de matrices:
Sean A, B y C^ ^ Mm n^ ( R), la suma de matrices cumple las siguientes propiedades:
1) Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
2) Conmutativa: A+B= B+A
3) Existencia de elemento neutro: A^ + ^ = +^ A^ = A, donde es la matriz nula
de dimensión m x n.
4) Existencia de elemento opuesto: Dada la matriz = i j
(^) A a existe la matrizB = (^) −ai j
que verifica que: A^ +^ B= .
La matrizB = ^ −ai j se denomina matriz opuesta de A (sus elementos son los opuestos
de los correspondientes elementos de A) y se nota – A.
Esto nos permite definir la resta de matrices como la suma de la matriz opuesta. Es decir,
A − B = A + −( B) (sumamos a la matriz A la matriz opuesta de la matriz B).
EJEMPLO:
Dadas
A
y
B
− ^ −^ +^ + − − = + − = (^) + (^) = (^) = − − +^ −^ −^ + −
1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 A B A B 2 4 2 3 2 2 4 3 0 1
Producto de una Matriz por un Escalar (Número Real)
Dados = ^ ( )
ij^ m n
A a M R y un escalar R, llamamos producto de por A, y lo notamos
A , a la matriz = ^ ( )
ij^ m n A a M R obtenida multiplicando cada elemento de A por
0 B 0
1 B
− − − − − − − − − = + = −^ −
3 6 9 2 0 1 5 6 8 3 A B 3 12 0 1 6 0 4 6 0
2) Dadas
A
k 1
1 k B 2 0
y
C
determinar k R para que
2 A − B =C
−^ −
^ −
1 2 1 k 1 3 2 4 1 k 1 3 2 A B C 2 1 k 1 2 0 0 2 2 k 2 2 0 0 2
2 1 4 k 1 3 1
2 k 0
k
2 0 0 2 2 k 2 2
−^ − 4
=^ ^ =
^ −^ +
^ −
Luego, dos matrices son iguales
si los elementos ubicados en la misma posición son iguales, por lo que se debe cumplir
simultáneamente que:
4 3 k
2k 2 0 k
k k
−^ =
^ ^ =
Observación: Al combinar las dos operaciones anteriores se plantea 1 A + 2 Bcon
1 , 2 R , lo que se conoce como combinación lineal de dos matrices.
Resolver el ejercicio 3 a) y b) del Trabajo Práctico N°1.
Producto de Matrices
La multiplicación de matrices es la primera operación donde la intuición falla: en primer
lugar, dos matrices no se multiplican elemento a elemento; en segundo lugar, no siempre
es posible realizar el producto entre dos matrices.
Dados = ( )
ij^ m n
A a M R y = ( )
ij^ n t B b M R, llamamos producto de A por B, y lo
notamos A B , a la matriz = ( )
ij^ m t C c M R donde cij = a .bi1 1j + a .bi2 2j + ..... +a .bin nj,
1 i m, 1 j t.
Es decir, cada elemento cijse obtiene sumando los resultados provenientes de multiplicar
cada elemento de una fila i de A por cada elemento de una columna j de B:
Si
^
^
^
^
^
^
11 12 1n 11 1j 1t
21 2 j 2t i1 i2 in i j i j
n 1 n j nt m 1 m 2 m n
a a ... a b b b
b b b A a a ... a , B a ,b R
b b b a a a
1j
2 j i1 i2 in ij
1
11 12 1n^11 1j^ 1t 1 1t
21 2 t i1 i t
n 1 (^) n t m 1 m 2 m n m 1 m j m t
n j
m t m t
a a a c^ c^ c b b
b b A B C c^ c
b (^) b a a a c^ c^ c
b
b c
n
a
n
a a
b
^ = (^) = ^ (^) ^
=
Observaciones:
Para poder efectuar (^) A B se debe verificar que el número de columnas de A debe
ser igual al número de filas de B.
La matriz resultado C, tiene tantas filas como filas tenga A y tantas columnas como
columnas tenga B.
El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A B se
obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando
los resultados.
EJEMPLOS:
1) Dadas las matrices A y B, calcular, si es posible, A B y B A.
a)
A y B 1 2 1
Primero, comprobamos que se pueda realizar el producto A B :
A M2 3 ( R) y B M 3 ( R), es decir, A tiene 3 columnas y B tiene 3 filas. Por lo tanto,
como el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, la operación es
( ) ( ) ( ) ( ) 13
21 22 23
13
21 22 23
2 1 1 1 0 3 2 0 1 2 0 5 c
c c c
3 2 c
c c c
El elemento c 13 proviene de la sumatoria del producto entre el primer elemento de la
fila 1 de A por el primer elemento de la columna 3 de B, el segundo elemento de la fila
1 de A por el segundo elemento de la columna 3 de B y el tercer elemento de la fila 1 de
A por el tercer elemento de la columna 3 de B. Simbólicamente:
c 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 = 2 2 + −( 1 ) 1 + 0 6 = 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(^) = (^) = (^) − − ^
+
−
− − + + − − + + − + =
fila 1 de A columna 3 de B
11 12
21 22 23
21 22 23
21 22 3
1
2
3
1 0 c c C 1 2 c c c 1 3 1 3 5
2 1 1
3
1 0 3 2 0 1 2 0 5
c c c
1
3 2
c c
2 c 2 1 0 1
6
2 2 6
c
1 0
Siguiendo el mismo procedimiento se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
11 12 13
21 22 23
C A B 1 2 1
c c c
c c c
Veamos si se puede realizar el producto B A :
B M 3 ( R) y A M2 3 ( R), es decir, B tiene 3 columnas y A tiene 2 filas. Por lo tanto,
como el número de columnas de B NO coincide con el número de filas de A, NO es
posible realizar el producto.
b)
^ −
^
A 2 0 y B
Primero, comprobamos que se pueda realizar el producto A B.
A M3 2 ( R) y B M2 3 ( R), es decir, A tiene 2 columnas y B tiene 2 filas. Por lo tanto,
como el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, la operación es
factible, y la matriz resultado tendrá 3 filas (la cantidad de filas que tiene A) y 3 columnas
(la cantidad de columnas que tiene B).
^ −
11 12 13
21 22 23
3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 3 1 32
1 0 c c c
A B 2 0 C c c c
0 5 c c c
( ) ( )
( ) ( )
( )
11 12 13
21 22 2
2
3
31 3 33
1 0 c c c
2 0 c c c
c c
0 5 c
^ −
Veamos si se puede realizar el producto B A :
B M2 3 ( R) y A M3 2 ( R), es decir, B tiene 3 columnas y A tiene 3 filas. Por lo tanto,
es posible realizar el producto y la matriz resultado tendrá 2 filas (la cantidad de filas que
tiene B) y 2 columnas (la cantidad de columnas que tiene A).
11 12
(^2 22 ) 2
(^3 3 2 ) 2
d d
B A D
d d
( ) ( )
( ) ( )
11 12
21 22
3 4 0 d
1 1 1 d d
D B A 0
d
−^
−^
11
Electrodomésti ecios 21
31
L p 631 000
P P C p P 709 000
H p 640 000
cos Pr
, entonces la matriz I correspondiente
al ingreso estará dada por el producto de S por P:
Almacenes Electrodomésti Electrodomésti ecios 2 3 3 1
11
21 2 1
I S P 709 000
i 2 631000 2 709000 3 640000
i 3 631000 4
^ +^
cos cos Pr
+^
Se puede concluir entonces que el ingreso proveniente del almacén 1 es de $ 4.600.000,
mientras que el correspondiente al almacén 2 es de $5.369.000.
3) Para analizar el desarrollo de un cálculo que combina las
operaciones vistas, ver el ejemplo del siguiente video:
La ley de cancelación no se aplica a la multiplicación de matrices. Es decir, en general, la
igualdad A C = B C no implica que A=B.
EJEMPLO: Sean
A , B y C
−^ −
−^ −^ −
^ =^
−^ −
−^ −
A C
A C B C
B C
pero A B
Propiedades del producto de matrices:
Sean A, B, C matrices cuyo producto está definido y R. Se verifican las siguientes
propiedades:
1) Asociativa:A^ ^ ( B C^ ) =^ ( A B^ )^ C
2) Distributiva a derecha:A ( B + C) = A B + A C
3) Distributiva a izquierda:( A^ +^ B)^ ^ C^ =^ A C^ +^ B C
4) ( A ) B = ( A B )
5) Existencia de elemento neutro: Para toda matriz A Mn ( R) se tiene que
A I (^) n = In A =A^ , donde^ Ines la matriz identidad de orden n.
Realizar los ejercicios 3 del c) al g), 4 y 5 del Trabajo Práctico Nº1.
Potencias de una Matriz
La potencia de una matriz se define en términos de la multiplicación de la matriz consigo
misma un número finito de veces.
Si A es una matriz cuadrada, es posible realizar el producto ^ ^
n veces
A^ A ... A. Para simbolizar esta
matriz se usa la misma notación exponencial que para los números, esto es: =
n
n veces
A A A ... A
EJEMPLO:
Dadas
A
y
B
calcular
3 A y
4 B
Debemos calcular:
3 A A A A. Como el producto de matrices es una operación binaria, es decir, que
se aplica sobre dos matrices, en la práctica resolvemos:
−^ −^ −
−^ −
2
3 2
A A A
A A A
4 B B B B B
−^ −
B B B
−^ −
3 2
4 3
B B B
B B B
¿Qué se puede observar al calcular
4 B? ¿Por qué sucede?
Realizar el ejercicio 6 del Trabajo Práctico Nº
EJEMPLO:
La matriz
A 2
es una matriz simétrica, ya que a 12 = a 21 = 3 , a 13 = a 31 = 2 y
a 23 = a 32 = 5 , por lo que =
T A A.
Terminar el ejercicio 3 y realizar el ejercicio 7 del Trabajo Práctico Nº
DETERMINANTE
Toda matriz cuadrada tiene asociado un escalar, llamado su determinante.
Definición: Se llama determinante a la función d : Mn ( R ) →Rcuyo dominio es el conjunto
de todas las matrices cuadradas reales y cuya imagen es el conjunto de los números reales.
El determinante de una matriz cuadrada de orden n se llama determinante de orden n.
Es decir, si A Mn ( R),
= ^
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a A .... .... .... ....
a a ... a
entonces notaremos:
( ) =^ =
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a det A A .... .... .... ....
a a ... a
Observación: El número real asignado a cada matriz cuadrada real se obtiene al sumar
todos los productos posibles de los elementos de la matriz, de modo que en cada producto
haya un elemento, y sólo uno, de cada fila y cada columna (producto elemental). El signo
de cada producto es alternativamente positivo y negativo, siguiendo un orden relacionado
con la posición de los elementos.
Definición: El menor complementario del elemento aij de una matriz A de orden n es el
determinante de una submatriz de orden (n – 1), que resulta al eliminar en la matriz A la fila
i con la columna j. Lo representamos: Mi j.
EJEMPLO: Dada
A 3 2 5
El menor complementario del elemento a 11 es
M
El menor complementario del elemento a 22 es 22 =
M
El menor complementario del elemento 32
a es 32 =
M
Definición: El adjunto, cofactor o complemento algebraico del elemento aij de una
matriz cuadrada de orden n, es el producto entre( )
−
i j 1 y el menor complementario Mi j. Es
decir: ( )
i j A (^) i j 1 Mi j
= −
EJEMPLO: Dada
A 3 2 5
, escribir los adjuntos correspondientes a los elementos
a 11 , a 22 y a 32.
El adjunto del elemento 11 a es ( ) ( )
+ −^ −
1 1 2 11 11
A 1 M 1
El adjunto del elemento a 22 es ( ) ( )
2 2 4 22 22
A 1 M 1
El adjunto del elemento a 32 es ( ) ( ) ( )
3 2 5 32 32
A 1 M 1 1
Cálculo de determinante: Método de desarrollo por los elementos
de una línea (Regla de Laplace)
Para calcular el determinante por el desarrollo de los elementos de una línea se debe:
Elegir cualquier fila o columna de la matriz;
Calcular el adjunto de cada elemento de la línea elegida;
Multiplicar cada elemento de la fila o columna elegida por su adjunto y sumar los
resultados.
