Álgebra I: resúmen completo, Apuntes de Álgebra

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matem´atica

ALGEBRA I^ ´

Teresa Krick

´Indice general

• Prefacio
• 1 Conjuntos, Relaciones y Funciones.
  • 1.1 Conjuntos.
    • 1.1.1 Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusi´on.
    • 1.1.2 Operaciones entre conjuntos.
    • 1.1.3 Tablas de verdad de la l´ogica proposicional.
    • 1.1.4 Producto cartesiano.
  • 1.2 Relaciones.
    • 1.2.1 Relaciones en un conjunto.
  • 1.3 Funciones.
    • 1.3.1 Funciones biyectivas y funci´on inversa.
  • 1.4 Ejercicios.
• 2 N´umeros Naturales e Inducci´on.
  • 2.1 La suma de Gauss y la serie geom´etrica.
    • 2.1.1 La suma de Gauss.
    • 2.1.2 La serie geom´etrica.
  • 2.2 Sumatoria y Productoria.
    • 2.2.1 Sumatoria.
    • 2.2.2 Productoria.
  • 2.3 El conjunto inductivo N y el principio de inducci´on.
    • 2.3.1 Inducci´on “corrida”.
  • 2.4 Sucesiones definidas por recurrencia.
  • 2.5 Inducci´on completa. 6 ´INDICE GENERAL
    • 2.5.1 Inducci´on completa – Un caso particular.
    • 2.5.2 La sucesi´on de Fibonacci.
    • 2.5.3 Sucesiones de Lucas.
    • 2.5.4 Inducci´on completa – Formulaci´on general.
  • 2.6 Ap´endice
    • 2.6.1 Los axiomas de Peano.
      • Inducci´on. 2.6.2 El Principio de Buena Ordenaci´on y los Principios de
  • 2.7 Ejercicios.
• 3 Combinatoria
  • 3.1 Cardinal de conjuntos y cantidad de relaciones. - partes. 3.1.1 Cardinal de un producto cartesiano y del conjunto de
    • 3.1.2 Cantidad de relaciones y de funciones.
  • 3.2 El factorial.
    • 3.2.1 Cantidad de funciones inyectivas.
  • 3.3 El n´umero combinatorio.
    • 3.3.2 La expresi´on del n´umero combinatorio.
    • 3.3.3 El Binomio de Newton.
  • 3.4 Ejercicios.
• 4 Enteros – Primera parte.
  • 4.1 Hechos generales.
  • 4.2 Divisibilidad.
    • 4.2.1 Congruencia.
  • 4.3 Algoritmo de divisi´on.
  • 4.4 Sistemas de numeraci´on.
    • 4.4.1 Criterios de divisibilidad.
• ´INDICE GENERAL
  • 4.5 M´aximo com´un divisor.
    • 4.5.1 Algoritmo de Euclides.
    • 4.5.2 N´umeros coprimos.
  • 4.6 Primos y factorizaci´on.
    • 4.6.1 La propiedad fundamental de los n´umeros primos.
    • 4.6.2 El Teorema fundamental de la aritm´etica.
    • 4.6.3 M´ınimo com´un m´ultiplo.
  • 4.7 Ap´endice
  • 4.8 Ejercicios.
• 5 Enteros – Segunda parte.
  • 5.1 Ecuaciones lineales diof´anticas.
  • 5.2 Ecuaciones lineales de congruencia.
  • 5.3 Teorema chino del resto (TCR).
  • 5.4 El Peque˜no Teorema de Fermat (PTF)
    • 5.4.1 Tests probabil´ısticos de primalidad.
  • 5.5 El sistema criptogr´afico RSA.
  • 5.6 El anillo Z/mZ y el cuerpo Z/pZ
    • 5.6.1 El anillo Z/mZ
    • 5.6.2 El cuerpo Z/pZ
  • 5.7 Ejercicios.
• 6 N´umeros Complejos.
  • 6.1 Cuerpos.
  • 6.2 N´umeros complejos: generalidades.
  • 6.3 Forma trigonom´etrica (o polar) de un n´umero complejo.
  • 6.4 Ra´ıces n -´esimas de n´umeros complejos.
    • 6.4.1 El grupo Gn de ra´ıces n -´esimas de la unidad.
  • 6.5 Ejercicios.
• 7 Polinomios.
  • 7.1 El anillo de polinomios K[X] : generalidades.

8 ´INDICE GENERAL

7.1.1 Operaciones en K[X]................... 238 7.1.2 Divisibilidad, Algoritmo de Divisi´on y MCD en K[X]. 240 7.1.3 El Teorema Fundamental de la Aritm´etica para Poli- nomios........................... 245 7.2 Evaluaci´on y Ra´ıces........................ 246 7.2.1 Multiplicidad de las ra´ıces................ 249 7.2.2 Cantidad de ra´ıces en K................. 253 7.2.3 C´alculo de ra´ıces en Q de polinomios en Q[X]..... 253 7.3 Factorizaci´on en K[X]...................... 256 7.3.1 Polinomios cuadr´aticos en K[X]............. 256 7.3.2 Polinomios en C[X] y el Teorema Fundamental del Algebra........................... 259´ 7.3.3 Polinomios en R[X].................... 262 7.3.4 Polinomios en Q[X].................... 265 7.4 Ejercicios.............................. 270

10 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.

Se dice que cada elemento a de un conjunto A pertenece al conjunto A , y se nota a ∈ A. Si un objeto b no pertenece al conjunto A , se nota b /∈ A.

Ejemplos:

• Sea A = { 1 , 2 , 3 } : 1 ∈ A , 2 ∈ A , 4 ∈/ A , { 1 , 2 } ∈/ A , ∅ ∈/ A.
• Sea B = { 2 , { 1 }, { 2 , 3 }} : { 1 } ∈ B , { 2 , 3 } ∈ B , 1 ∈/ B , 3 ∈/ B.

Para notar los conjuntos se suele reservar letras may´usculas: A , B ,... , X , Y ,... , U , V ,...

Las definiciones comunes de un conjunto son por extensi´on (listando todos los elementos del conjunto entre las llaves { y } , cuando es posible hacerlo, o sea cuando el conjunto es finito) y por comprensi´on (a trav´es de una propiedad que describe los elementos del conjunto, pero usualmente para eso se necesita la noci´on de subconjunto porque hay que dar un conjunto referencial, de donde se eligen los elementos). Tambi´en presentamos en forma informal los conjuntos infinitos N y Z usando los puntos suspensivos

... , aunque esto no es muy riguroso: se puede dar una definici´on formal del conjunto N sin usar... , y a partir de ello definir Z y Q. El conjunto R se supone “conocido”, aunque para ´el tambi´en se puede dar una construcci´on rigurosa (que no se ver´a en esta materia), y a trav´es de R se puede definir C facilmente.

Los conjuntos se suelen representar gr´aficamente por los llama- dos diagramas de Venn (por el l´ogico y fil´osofo brit´anico John Archibald Venn, 1834–1923): simplemente se utiliza una cir- cunferencia para representar el conjunto, y eventualmente en el interior sus elementos.

Aqu´ı, est´a por ejemplo representado por medio de un diagrama de Venn un conjunto cuyos elementos son pol´ıgonos.

Definici´on 1.1.3. (Subconjuntos e Inclusi´on.)

Sea A un conjunto. Se dice que un conjunto B est´a contenido en A , y se nota B ⊆ A (o tambi´en B ⊂ A ), si todo elemento de B es un elemento

1.1. CONJUNTOS. 11

de A. En ese caso decimos tambi´en que B est´a inclu´ıdo en A , o que B es un subconjunto de A. Si B no es un subconjunto de A se nota B 6 ⊆ A (o B 6 ⊂ A ).

Ejemplos:

• Sea A = { 1 , 2 , 3 } : { 1 } ⊆ A , { 2 , 3 } ⊆ A , ∅ ⊆ A , A ⊆ A , { 3 , 4 } 6 ⊆ A.
• N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
• A ⊆ A y ∅ ⊆ A cualquiera sea el conjunto A.

O sea, B est´a inclu´ıdo en A si para todo x , se tiene que si x pertene- ce a B entonces x pertenece a A , y B no est´a inclu´ıdo en A si existe x perteneciendo a B tal que x no pertenece a A. Matem´aticamente se escribe:

B ⊆ A si ∀ x, x ∈ B ⇒ x ∈ A , B 6 ⊆ A si ∃ x ∈ B : x 6 ∈ A.

Aqu´ı el s´ımbolo “ ∀ ” significa “para todo”: la construcci´on “ ∀ x,... ” se lee “para todo x , se tiene... ”, y el s´ımbolo “ ∃ ” significa “existe”: la construcci´on “ ∃ x ∈ B :... ” se lee “existe x en B tal que... ”. El s´ımbolo “ ⇒ ” significa “implica”: la construcci´on “ x ∈ B ⇒ x ∈ A ” se lee “ x en B implica x en A ”, o tambi´en “si x en B , entonces x en A ” (significa que si ocurre lo primero, entonces obligatoriamente tiene que ocurrir lo segundo, veremos esto con m´as precisi´on por medio de las tablas de la l´ogica un poco m´as adelante).

Ejemplos de conjuntos dados por comprensi´on:

• A = {x ∈ R : x ≥ − 2 } , B = {k ∈ Z : k ≥ − 2 }.
• P = {n ∈ N : n es par} , I = {k ∈ Z : k es impar}.

Representaci´on de Venn de B ⊆ A :

Observaci´on 1.1.4. (Igualdad de conjuntos.)

A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A.

1.1. CONJUNTOS. 13

Representaci´on de Venn del complemento:

Uni´on ∪ : Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La uni´on de A y B es el conjunto A ∪ B de los elementos de U que pertenecen a A o a B. Es decir

A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}.

Notemos que este “o” involucrado en la definici´on de la uni´on es no exclu- yente, es decir si un elemento est´a en A y en B , est´a en la uni´on por estar en al menos alguno de los dos.

Ejemplos:

• Si A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 8 } y B = { 3 , 4 , 5 , 10 } ⊆ U = { 1 ,... , 10 } , entonces A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 10 }.
• Si I = {x ∈ R : x ≤ 2 } = (−∞, 2] y J = {x ∈ R : − 10 ≤ x < 10 } = [− 10 , 10) ⊆ U = R , entonces I ∪ J = {x ∈ R : x < 10 } = (−∞, 10).
• Cualesquiera sean A y B , se tiene A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad), A ∪ ∅ = A , A ∪ U = U , A ∪ Ac^ = U. Probemos por ejemplo la afirmaci´on A ∪ Ac^ = U : Hay que probar las dos inclusiones A ∪ Ac^ ⊆ U y U ⊆ A ∪ Ac^. - A ∪ Ac^ ⊆ U : Sea x ∈ A ∪ Ac^ ; si x ∈ A entonces x ∈ U pues A ⊆ U , y si x ∈ Ac^ , entonces x ∈ U pues Ac^ ⊆ U ; por lo tanto A ∪ Ac^ ⊆ U. - U ⊆ A ∪ Ac^ : Sea x ∈ U ; entonces x ∈ A o x /∈ A. Si x ∈ A , entonces x ∈ A ∪ Ac^ , y si x /∈ A , por definici´on x ∈ Ac^ y luego x ∈ A ∪ Ac^ ; por lo tanto U ⊂ A ∪ Ac^.

Representaci´on de Venn de la uni´on:

14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.

Intersecci´on ∩. Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La intersecci´on de A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos de U que pertenecen tanto a A como a B. Es decir

A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}.

Ejemplos:

• Sean A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 8 }, B = { 3 , 4 , 5 , 10 } ⊆ U = { 1 ,... , 10 }. Entonces A ∩ B = { 3 , 5 }.
• Sean I = {x ∈ R : x ≤ 2 } = (−∞, 2], J = {x ∈ R : − 10 ≤ x < 10 } = [− 10 , 10) ⊆ U = R. Entonces I ∩ J = {x ∈ R : − 10 ≤ x ≤ 2 } = [− 10 , 2].
• Cualesquiera sean A y B , se tiene A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad), A ∩ ∅ = ∅ , A ∩ U = A , A ∩ Ac^ = ∅.

Cuando A ∩ B = ∅ , se dice que A y B son conjuntos disjuntos.

Representaci´on de Venn de la intersecci´on:

Podemos notar que a diferencia del complemento, la uni´on y la intersecci´on no dependen del conjunto referencial U , siempre que A y B est´en inclu´ıdos en U.

Proposici´on 1.1.6. (Leyes de De Morgan y distributivas.)

Sean A, B, C conjuntos dentro de un conjunto referencial U. Entonces

• Leyes de De Morgan, por el matem´atico brit´anico Augustus De Morgan, 1806-1871:

(A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc^ y (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc.

• Leyes distributivas:

A ∩ (B ∪ C) = (A∩B)∪(A∩C) y A ∪ (B ∩ C) = (A∪B)∩(A∪C).

16 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.

Es decir, A − B es el conjunto de los elementos de A que no son elementos de B :

A − B = {a ∈ A : a /∈ B}.

Ejemplos:

• Sean A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 8 }, B = { 3 , 4 , 5 , 10 } ⊆ U = { 1 ,... , 10 }. Entonces A − B = { 1 , 2 , 8 } y B − A = { 4 , 10 }.
• Sean I = (−∞, 2], J = [− 10 , 10) ⊆ U = R. Entonces I − J = [−∞, −10) y J − I = (2, 10].
• Siempre A − ∅ = A , A − U = ∅ , A − A = ∅ , A − Ac^ = A. Pero A − B 6 = B − A en general.

Representaci´on de Venn de la diferencia:

Diferencia sim´etrica 4 : A 4 B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a A o a B pero no a los dos a la vez. Es decir

A 4 B = {c ∈ U : (c ∈ A y c /∈ B) o (c ∈ B y c /∈ A)}.

Vale

A 4 B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) = (A ∪ B) − (A ∩ B).

Ejemplos:

• Sean A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 8 }, B = { 3 , 4 , 5 , 10 } ⊆ U = { 1 ,... , 10 }. Entonces A 4 B = { 1 , 2 , 4 , 8 , 10 }.
• Sean I = (−∞, 2], J = [− 10 , 10) ⊆ U = R. Entonces I 4 J = [−∞, −10) ∪ (2, 10].
• Siempre A 4 B = B 4 A (simetr´ıa), A 4 ∅ = A , A 4 U = Ac^ , A 4 A = ∅ , A 4 Ac^ = U.

1.1. CONJUNTOS. 17

Representaci´on de Venn de la diferencia sim´etrica:

1.1.3 Tablas de verdad de la l´ogica proposicional.

Otra forma de visualizar esas operaciones es por medio de las tablas de verdad de la l´ogica proposicional, aplicadas a las operaciones de conjuntos.

Se vio que las operaciones b´asicas de conjuntos est´an definidas por medio del no (para el complemento), del o no excluyente para la uni´on, del y para la intersecci´on, y del o excluyente para la diferencia sim´etrica. Estos se llaman conectores l´ogicos: ¬ (“no”, o “NOT”), ∨ (“o” no excluyente, u “OR”), ∧ (“y”, o “AND”), Y (“o excluyente”, u “XOR”), y se les puede agregar ⇒ (implica, o si... entonces) y ⇔ (si y solo si).

Tablas de verdad de los conectores l´ogicos:

Sean p, q proposiciones, es decir afirmaciones que son o bien verdaderas o bien falsas, como por ejemplo “hoy es domingo”, o “ ∀ n ∈ N, n ≥ 3 ”, o “los perros son mam´ıferos”. Las tablas de verdad de los conectores l´ogicos son las siguientes:

p ¬p V F F V

p q p ∨ q V V V F V V V F V F F F

p q p ∧ q V V V F V F V F F F F F

p q p Y q V V F F V V V F V F F F p q p ⇒ q V V V F V V V F F F F V

p q p ⇔ q V V V F V F V F F F F V

.

(La definici´on formal de p ⇒ q es ¬p ∨ q .)

Las tablas de los conectores l´ogicos se relacionan con las tablas de las ope- raciones de conjuntos: Dados A , B conjuntos inclu´ıdos en un un conjunto referencial U , y dado un elemento x ∈ U , se puede pensar en las proposi- ciones p y q asociadas a A , B (y x ) definidas por

p : “x ∈ A” y q : “x ∈ B”.

1.1. CONJUNTOS. 19

• Retomemos la primer ley de de Morgan, que demostramos m´as arriba, (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc^ :

A B A ∪ B (A ∪ B)c^ Ac^ Bc^ Ac^ ∩ Bc V V V F F F F F V V F V F F V F V F F V F F F F V V V V

.

Se observa que las columas correspondientes a (A ∪ B)c^ y a Ac^ ∩ Bc son exactamente las mismas, o sea los elementos pertenecen a (A∪B)c si y solo si pertenecen a Ac^ ∩ Bc^. Luego los dos conjuntos son iguales.

• A ∩ B ⊆ (B − C) ∪ (A ∩ C) :

A B C A ∩ B B − C A ∩ C (B − C) ∪ (A ∩ C) A ∩ B ⊆ (B − C) ∪ (A ∩ C) V V V V F V V V F V V F F F F V V F V F F V V V F F V F F F F V V V F V V V V V F V F F V F V V V F F F F V V V F F F F F F F V

.

Vemos que la columna correspondiente a la inclusi´on es Verdadera siempre, lo que implica que es verdad que A ∩ B ⊆ (B − C) ∪ (A ∩ C).

• Ac^ ∩ B = B ⇒ A ∩ B = ∅ :

A B Ac^ Ac^ ∩ B A ∩ B V V F F F V V V F V F F F F F F V F F

.

Comparando la 2da y la 4ta columna, se ve que Ac^ ∩ B = B cuando no se est´a en la 1er fila, o sea cuando no se est´a en el caso de alg´un x ∈ A , x ∈ B. Por lo tanto esta fila no cumple con la hip´otesis y se la olvida. Para las dem´as filas, A ∩ B da siempre Falso, es decir, no existe ning´un elemento x ∈ A ∩ B. Por lo tanto A ∩ B = ∅.

20 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.

1.1.4 Producto cartesiano.

El nombre producto cartesiano fue puesto en honor al matem´atico, f´ısi- co y fil´osofo franc´es Ren´e Descartes, 1596-1650. El plano euclideo R^2 = {(x, y); x, y ∈ R} representado mediante los ejes cartesianos es el plano donde constantemente dibujamos los gr´aficos de las funciones.

Definici´on 1.1.7. (Producto cartesiano.)

Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B , que se nota A × B , es el conjunto de pares ordenados

A × B := {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.

Ejemplos:

• Sean A = { 1 , 2 , 3 } , B = {a, b}. Entonces

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, B × B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.

• Si A = B = R , entonces R × R es el plano real R^2.
• A × ∅ = ∅ , ∅ × B = ∅.
• Si A 6 = B son ambos no vac´ıos, entonces A × B 6 = B × A.
• Sean A ⊆ U , B ⊆ V entonces A × B ⊆ U × V. Analizar si vale (A × B)c^ = Ac^ × Bc^.

De la misma forma se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos A 1 ,... , An como el conjunto de n -uplas ordenadas:

A 1 × · · · × An := {(x 1 ,... , xn) : x 1 ∈ A 1 ,... , xn ∈ An}.

22 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.

Posibles representaciones gr´aficas de las relaciones:

1.2.1 Relaciones en un conjunto.

En esta secci´on consideramos relaciones de un conjunto en s´ı mismo.

Definici´on 1.2.2. (Relaci´on en un conjunto.)

Sea A un conjunto. Se dice que R es una relaci´on en A cuando R ⊆ A×A.

Ejemplos:

• Las relaciones R 6 y R 7 arriba son relaciones en el conjunto R.
• La igualdad de elementos siempre es una relaci´on en cualquier conjunto A : R = {(x, x), x ∈ A}, es decir ∀ x, y ∈ A : x R y ⇔ x = y.
• ≤ es una relaci´on en R , y ⊆ es una relaci´on en P(A) , cualquiera sea el conjunto A.
• Sea A = {a, b, c, d} , entonces R 8 = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, d)} es una relaci´on en A , que seg´un lo que vimos arriba se puede repre- sentar de las siguientes maneras:

1.2. RELACIONES. 23

Sin embargo, cuando el conjunto A es finito (como en este caso), una rela- ci´on R en A se puede representar tambi´en por medio de un grafo dirigido, o sea un conjunto de puntos (llamados v´ertices, que son los elementos del conjunto A ) y un conjunto de flechas entre los v´ertices, que se corresponden con los elementos relacionados: se pone una flecha (que parte de x y llega a y ) para cada elemento (x, y) ∈ R , es decir cada vez que x R y.

Ejemplos:

La teor´ıa de grafos juega un rol esencial en matem´atica y computaci´on

Las relaciones en un conjunto dado son particularmente importantes, y al- gunas de las propiedades que pueden cumplir merecen un nombre.

Definici´on 1.2.3. (Relaci´on reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica y tran- sitiva.)

Sean A un conjunto y R una relaci´on en A.

• Se dice que R es reflexiva si (x, x) ∈ R, ∀ x ∈ A (dicho de otra manera, x R x, ∀ x ∈ A ). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es reflexiva si en cada v´ertice hay una flecha que es un “bucle”, es decir que parte de ´el y llega a ´el.
• Se dice que R es sim´etrica si cada vez que un par (x, y) ∈ R , en- tonces el par “sim´etrico” (y, x) ∈ R tambi´en (dicho de otra manera, ∀ x, y ∈ A, x R y ⇒ y R x ). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es sim´etrica si por cada flecha que une dos v´ertices en un sentido, hay una flecha (entre los mismos v´ertices) en el sentido opuesto.
• Se dice que R es antisim´etrica si cada vez que un par (x, y) ∈ R con x 6 = y , entonces el par (y, x) ∈ R/ (dicho de otra manera, ∀ x, y ∈ A, x R y e y R x ⇒ x = y ). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es antisim´etrica si no hay ning´un par de flechas en sentidos opuestos que unen dos v´ertices distintos.