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UNIDAD

PROGRAMACIÓN LINEAL

Introducción a la programación lineal 2

Conjuntos convexos Definición Propiedades de los conjuntos convexos Vértices o puntos extremos de un conjunto convexo Intersección de conjuntos convexos

2 2 4 4 5

Conjuntos poliédricos convexos 5

Programación lineal Características de un problema de programación lineal Planteo de un problema de programación lineal Supuestos básicos de la programación lineal

10 11 12 14 Resolución gráfica de un problema de programación lineal Casos especiales Ejemplos de resolución gráfica – Casos especiales

15 16 17 Ejercicios resueltos de la guía de trabajos prácticos 20 Método simplex – Introducción - Procedimiento 22

Maximización: 23

A) Solución óptima única: Fases para la solución 23 B) Soluciones no acotadas 42 C) Soluciones óptimas múltiples 44 Método dual 47 Relaciones entre los problemas dual y primal 48 Aspectos Económicos: Análisis post-óptimo 50 Análisis de sensibilidad 51 Mapa conceptual de Programación lineal (^) 57

Antes de definir formalmente a un conjunto convexo es necesario enunciar la definición de segmento:

Para que comprendas esta definición, vamos a ejemplificarla en ^2 , determinemos el segmento que une a los puntos P  1;2 y Q  3;5 

dicho segmento está formado por todos los puntos de la forma:

       

   

Si obtenemos el punto si obtenemos el punto

y si por ejemplo

obtenemos el punto

λ= 0 , 1 1 3 1 2 7 = 1;2 3;5 ; 3 3 3

con Q P

A

   



Podemos ahora definir formalmente a un conjunto convexo

En ^2 , un conjunto convexo coincide con lo que llamamos un polígono convexo.

Un conjunto S   n es convexo si y sólo cumple que:  P , Q  S   P  ( 1   ) Q  S , con  [ 0 ,1] es decir, dados dos puntos P y Q cualesquiera del conjunto, el segmento determinado por ellos está totalmente contenido en el conjunto.

Dados dos puntos de  n , P y Q se llama segmento cerrado de extremos P y Q al conjunto:  P  ( 1   ) Q   n , con  [ 0 , 1 ]

Observación: Lo que estamos planteando no es más que una combinación lineal de vectores. Toda combinación lineal que tenga los escalares no negativos y que sumen uno, se la llama combinación lineal convexa.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS

Son conjuntos convexos "por definición"

a) El conjunto vacío ( ) es un conjunto convexo. b) Los conjuntos de un único punto { P } , también son conjuntos convexos.

c) También el conjunto  n es un conjunto convexo.

VÉRTICES O PUNTOS EXTREMOS DE UN CONJUNTO CONVEXO

En palabras, si V pertenece a algún segmento incluido en un conjunto poliédrico S , entonces V debe pertenecer a uno de sus extremos:

Vértice o Punto Extremo

Por ejemplo ^2 es un conjunto convexo

Un punto V de un conjunto convexo S es un vértice o punto extremo del conjunto, si se cumple que:  P , Q  S  si V =  P  ( 1   ) Q  S , entonces  0   1

Veamos los siguientes ejemplos en ^2

Representar el siguiente conjunto convexo en^ ^2

1 2 1 2 1 2

x x x x x x

 ^ 

y hallar las coordenadas de sus vértices, si éstos existen.

Los vértices del conjunto convexo son:

 

 

 

1

2

3

4

V

V

V

V

Ejemplo 1

Sugerencia En caso que lo necesites podés consultar como se representa una inecuación lineal en ^2.

Te presentamos aquí un segundo ejemplo, sea el siguiente conjunto convexo

1 2 1 2 1 2

x x x x x x

 ^ 

, su representación es:

Los vértices del mismo son:

 

 

 

 

1

2

3

4

V

V

V

V

Ejemplo 2

Finalmente un último ejemplo,

x y x x y x y

¿Te animas a reconocer sus vértices?

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

V

V

V

V

V

Ejemplo 4

PROGRAMACIÓN LINEAL

En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen por objeto hacer el mejor uso posible (optimización) de los recursos de la misma. Por recursos de una empresa entendemos la maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias primas que disponga.

Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos (electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.).

La Programación Lineal (PL) es un modelo matemático diseñado para ayudar a los directivos de las empresas en la planificación y toma de decisiones referentes a la asignación de los recursos.

Como ejemplos de problemas donde la Programación Lineal desarrolla un papel fundamental, podemos citar:

1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de forma que se maximice el beneficio de la empresa. 2. Elegir materias primas en procesos de alimentación, para obtener mezclas con determinadas propiedades al mínimo costo. 3. Determinar el sistema de distribución que minimice el costo total de transporte, desde diversos centros de producción a varios puntos de distribución. 4. Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de una empresa, minimice al mismo tiempo los costos totales de producción e inventario.

PLANTEO DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Una empresa fabrica dos modelos de mesas de computación: M 1 y M 2.

Para su producción se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M 1 y de 30 minutos para el modelo M 2 y un trabajo de

máquina de 20 minutos para M 1 y de 10 minutos para M 2.

Se dispone de 100 horas al mes de trabajo manual y de 80 horas al mes de trabajo de máquina.

Sabiendo que el beneficio por unidad es de $1,5 para M 1 y $1 para M 2 , planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Nos limitamos ahora a plantear formalmente el problema (ya lo resolveremos más adelante):

Llamaremos: X al “número de unidades producidas al mes de M 1 ” Y al “número de unidades producidas al mes de M 2 ”

Z x y  (^)  1 5x y 20x 30y 6000 20x 10y 4800 x 0 y 0

Datos : Función objetivo : ; ,

Restricciones

Problema : Maximizar Z

Las dos últimas restricciones, si bien no constan de forma explícita en el enunciado del problema, sí figuran de forma implícita, pues el número de mesas a producir no puede ser inferior a 0.

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El método gráfico de resolución tan sólo es aplicable a problemas con dos variables “ x ” e “ y ”. Para aquellos casos en que el número de variables del problema sea superior a dos, no será posible encontrar la solución a partir de un gráfico bidimensional y, por lo tanto, tendremos que usar métodos de resolución analíticos. Aun así, el método gráfico es de un gran valor pedagógico dado que nos permite vislumbrar de una forma intuitiva las ideas básicas de la Programación Lineal.

Volviendo al ejemplo de las mesas de computación, dado que en él tenemos sólo dos variables, podremos representar cada una de las restricciones en el plano real, la intersección de las mismas se denomina región factible (polígono ABCD):

La teoría establece que, dado un problema de Programación Lineal que tenga solución, ésta vendrá dada por uno de los vértices (o puntos extremos) del polígono que configura la región factible.

Por lo tanto, será suficiente hallar las coordenadas de dichos vértices (intersecciones de rectas) y determinar (sustituyendo en la función objetivo) cuál de ellos es la solución óptima.

En nuestro ejemplo, tenemos sólo cuatro puntos posibles a ser solución del problema (los cuatro vértices del polígono), sustituyendo sus coordenadas en la función objetivo obtenemos:

Como en este caso buscamos maximizar Z (x; y), concluimos que el punto óptimo es el

(210; 60) , dado que con él obtenemos el valor máximo de la función objetivo. Así pues, la solución a nuestro problema es fabricar 210 mesas de tipo M 1 y sólo 60 mesas de tipo M 2 , y con ello conseguimos el mayor beneficio de $ 375****.

Z (0; 0) = 0 Z (0; 200) = 200 Z (210; 60) = 375 Z (240; 0) = 360

CASOS ESPECIALES

A la hora de resolver un problema de Programación Lineal, nos podemos encontrar con cualquiera de estas cuatro situaciones especiales que conviene conocer:

 No Factibilidad : Puede ocurrir que el problema propuesto no tuviese solución. Éste sería el caso en que las restricciones fuesen incompatibles, que ningún punto del plano (o, en general, del espacio real n-dimensional) puede cumplir simultáneamente todas las limitaciones a las que estamos sometidos, es decir, la región factible es un conjunto vacío.

 No Acotación : En ocasiones, podemos encontrarnos con problemas que no tengan una solución finita; así por ejemplo, en un problema de maximización podríamos tener alguna variable que pudiese incrementarse indefinidamente sin violar ninguna de las restricciones, permitiendo a la función objetivo tomar valores tan grandes como se desee. Gráficamente, tendríamos una región factible no acotada.

 Redundancia : Algunas restricciones pueden “estar de más” por no aportar nada nuevo a la “forma” de la región factible, ya que hay otras que resultan ser más restrictivas (esto suele ocurrir en problemas extensos, donde resulta difícil reconocer restricciones redundantes).

 Soluciones Múltiples : Un problema de Programación Lineal puede tener más de una solución óptima (e incluso infinita). En el caso gráfico de dos variables, si dos vértices consecutivos de la región factible son solución óptima del problema, entonces todos los puntos del segmento comprendido entre ellos también serán óptimos.

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B : la oferta A consiste en un lote de tres camisas y un pantalón , que se vende a $ 30 ; y la oferta B consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se vende a $ 50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 lotes de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Sean: x = “nº de lotes tipo A” e y = “nº de lotes tipo B”

 

x y Maximizar Z x y x y Sujeto a x^ y x y

Representando el conjunto de restricciones y determinando los vértices de la región de soluciones factibles se obtiene la poligonal ABCD:

Evaluando en los vértices de la misma se obtiene:

Observar que, en este caso, se hace innecesario calcular Z (20; 10 ) , pues es claro que su valor será inferior al de Z (20; 80) y al de Z (190/3; 10).

En definitiva, la empresa debe vender 20 lotes de tipo A y 80 de tipo B , para una ganancia (máxima) de $ 4.

Z (20; 80) = 4.600 Z (50; 50) = 4.000 Z (190/3; 10) = 2.400 Z ( 20 ; 1 0) = 1. 100

Ejemplo 2

Sintetizamos en este esquema los pasos

a seguir para resolver un problema de

programación lineal por el método

gráfico.

A continuación resolveremos algunos

ejercicios de la práctica para afianzar

los conceptos.