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1.- Conceptos Básicos de matrices:
- DEFINICION DE MATRIZ:
Una matriz es una estructura rectangular compuesta por números, símbolos o expresiones, dispuestos en filas y columnas. Se representa comúnmente con letras mayúsculas como A, B, C, etc.
- NOTACIÓN MATRICIAL:
Una matriz se representa como: Donde:
**- M: Número de filas.
- N: Número de columnas.
- A(I,J): Elemento en la fila i y columna j.**
- ELEMENTOS DE UNA MATRIZ:
Son los valores individuales que componen la matriz, identificados por su posición en filas y columnas.
- TIPOS DE MATRICES:
Matriz equidimensional: m=n tiene el mismo número de filas y columnas. Matrices iguales: Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y sus elementos correspondientes son iguales. Matriz nula: Todos sus elementos son cero. Matriz fila: Tiene una sola fila.
Matriz columna: Tiene una sola columna. Matriz cuadrada: Tiene igual número de filas y columnas. Diagonal principal: Elementos aiia_{ii}aii donde i=ji = ji=j. Traza de una matriz: Suma de los elementos de la diagonal principal. Matriz triangular superior/inferior: La triangular superior tiene ceros debajo de la diagonal principal; la inferior, encima. Matriz diagonal: Solo la diagonal principal tiene valores diferentes de cero. Matriz escalar: Una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz identidad: Una matriz diagonal con elementos 111 en la diagonal principal.
- Operaciones con matrices:
Suma/resta: Se realiza elemento por elemento, solo si las matrices tienen las mismas dimensiones. Multiplicación por un escalar: Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar. Multiplicación de matrices: Solo es posible si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Transpuesta de una matriz: Los elementos de las filas pasan a las columnas y viceversa. Matriz simétrica: Es igual a su transpuesta. Matriz antisimétrica: Su transpuesta es igual a su opuesta (AT=−AA^T = -AAT=−A). Determinante: Valor escalar asociado a una matriz cuadrada. Menor de un determinante: Determinante de una submatriz eliminando una fila y columna. Adjunto: Matriz de cofactores transpuesta. Inversa: Matriz que, multiplicada por la original, da la matriz identidad.
- Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
MÉTODOS GAUSS JORDÁN:
Extiende el método de Gauss para convertir la matriz en forma escalonada reducida. Pasos del método: Escribir el sistema como una matriz aumentada. Usar operaciones elementales para obtener una matriz identidad en el lado izquierdo. Los valores del lado derecho corresponden a las soluciones. REGLA DE CRAMER: Usa determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Pasos del método: Escribir la matriz de coeficientes A. Calcular det (A) Sustituir la columna de términos independientes en cada incógnita para calcular su determinante.
Resolver : COMPARACION DE METODOS: Método Gauss Menos cálculo que Gauss-Jordán. Requiere sustitución hacia atrás. Sistemas con menos variables. Gauss – Jordan Forma escalonada reducida, da solución directa. Más operaciones elementales. Uso computacional. Regla de Cramer Fácil para sistemas pequeños. Impráctico para matrices grandes. Sistemas 2x2 o 3x3.
