3.4.2 máximos y mínimos, Apuntes de Desarrollo Sostenible

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3.4.2 Maximos y

Minimos

Investigacion de operaciones: Álvarez González Isaac Noé, Estrada López José Manuel, López Dávila Miguel, Núñez Bobadilla Juan Carlos, Jiménez Guadarrama Luis Gustavo

Antecedent

Pierre de Fermat creo un método cuyo objetivo, como su nombre lo indica, busca encontrar el^ es

máximo o el mínimo de una función f cuya variable es A. Se puede enunciar el método de Fermat de la siguiente manera. Reemplacemos A por A + E en f y hagamos f ( A + E ) aproximadamente igual a f ( A ). Ordinariamente estos valores serán diferentes, pero en un máximo o un mínimo de una curva suave el cambio será casi imperceptible. Es por ello que para encontrar puntos máximos y mínimos Fermat igualaba f ( A ) y f ( A + E ), pues se dio cuenta de que los valores, aunque no eran idénticos, eran casi iguales. Dividamos cada término por E y finalmente eliminemos todos los términos que contengan E. Mientras más pequeño es el intervalo E entre dos puntos, la pseudo-igualdad tiende a volverse una verdadera ecuación; por ende Fermat, tras dividir por E , hacía E = 0. La ecuación resultante se anula para uno o varios valores de la variable A , y estos valores corresponden a máximos y mínimos.

Máximos y Mínimos

● (^) Entre los valores que puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. ● Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

MAXIMOS MINIMOS

Máximo (fuerte): Un punto extremo f’(a) de una función f’’(a) define un máximo de la función si f’(a+h) < f’(a), donde “a” es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña. Mínimo (fuerte): Un punto extremo f’(a) de una función f’’(a) define un mínimo de la función si f’(a+h) > f’(a), donde “a” es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña.

Pasos para encontrar máximos y

mínimos.

● 1. - Obtener el valor de la derivada de la función

● 2. - Igualar a cero la ecuación que resulta.

● 3. - Resolver la ecuación para hallar el valor crítico

de x.

● 4. - Sustituir el valor crítico de x en la función dada y

encontrar el valor de f(x).

● 5. - Tomar un valor ligeramente mayor y otro

ligeramente menor que el valor crítico de x y sustituir

en la derivada de la función.

● 6. - Si la pendiente resulta con un valor (+) a (-)

entonces, se trata de un máximo, y si cambia de (-) a

(+) entonces es un mínimo.

Ejemplo : Encontrar el valor máximo o mínimo de la

función y = 4x – x

2

Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos:

● Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2 ● (^) Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivo ● (^) Para x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo. ● Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.

Determine valores máximos y mínimos de la función

f (x) = 12 x

5

• 45 x 4

+ 40 x

3

Solución f'(x) = 60 (x 4

• 3 x 3 + 2 x 2 ) f'(x) = 60x 2 (x - 1 )(x - 2 ) Luego f ’(x) = 0 cuando x* = 0, x* = 1, x* = 2. La segunda derivada f ''(x) = 60 ( 4 x 3
• 9 x 2

• 4 x) f ’’(x) a x= 0 → f ’’(x) = 0 no es máximo ni mínimo, realice la siguiente derivada. f ’’(x) a x= 1 → f ’’(x) = 12 → máximo f ’’(x) a x= 2 → f ’’(x) = -11 → mínimo Ejemplo

Calculo de puntos críticos de una

función utilizando la segunda

derivada.

● (^) Indiscutiblemente este es el procedimiento a elegir normalmente. El método consiste en encontrar la primera y segunda derivada de la función, siguiendo los pasos que a continuación se enumeran: ● ● I.- Hallar la primera derivada de la función ● (^) II.- Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación para determinar los valores críticos. ● (^) III.- Obtener la segunda derivada de la función. ● (^) IV.- Sustituir en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo se tendrá un máximo y si es positivo se tendrá un mínimo. ● (^) Si la segunda derivada en un punto es 0 y la tercera derivada es desigual de 0, tendremos un punto de inflexión.

Puntos Minimax

Minimax es un método de decisión para minimizar la

pérdida máxima esperada en juegos con adversario y

con información perfecta. Minimax es un algoritmo

recursivo.

Conclusiones

● (^) Los puntos máximos y mínimos son como su nombre lo dice, los puntos mas altos y mas bajos en una función, y se obtienen realizando operaciones, o graficándolos para verlos de una manera visual. ● (^) El tema de máximos y mínimos orientados a funciones de dos o más variables utilizando los criterios mencionados en la presentación y con ello poder diferenciarlos unos con otros además de saber cuándo se obtiene un mínimo, un máximo. ● (^) Los máximos y mínimos satisfacen la necesidad de ubicar la longitud de una función, teniendo asi el valor mayor y el valor menor de la función.

Referencias Bibliográficas

● (^) https://prezi.com/okdf7l4z3aoz/tema-maximos-y-minimos/ ● (^) https://www.itescam.edu.mx/portal/asignatura.php?clave_asig= SCC-1013&carrera=ISIC-2010-224&id_d= ● (^) https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r 286.PDF ● (^) https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/f unciones/maximos-y-minimos.html ● (^) https://html.rincondelvago.com/maximos-y-minimos.html ● (^) https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r 927.PDF