2da parcial de Calculo I, Exámenes de Cálculo

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Para encontrar la n-ésima derivada de la función f(x) =x? : sin(4x), podemos usar la diferenciación por partes o el patrón generado a partir de las primeras derivadas. 1. Primera derivada Usamos la regla del producto: F (x) = 2xsin(4x) + ?(4cos(4x)) F (x) = 2xsin(4x) + 4x?cos(4x) 2. Segunda derivada Aplicamos la regla del producto a cada término: 0) = 2sin(4x) + 8xcos(4x) + 4(2xcos(4x) — 4x?sin(4x)) FE) = 2sin(4x) + Bxcos(4x) + Bxcos(4x) — 16x?sin(4x) Fw = 2sin(4x) + 16xcos(4x) — 16x?sin(4x) 3. Generalización para la n-ésima derivada Observamos que los términos siguen un patrón con sin(4x) y cos(4x), con coeficientes relacionados con potencias decrecientes de x. En general, la derivada de orden n tiene la forma: fa () = Anxésin(4x) + Bxcos(4x) + Csin(4x) donde A,,, B,, C, siguen un patrón dependiente de n. Para una expresión cerrada más precisa, se puede recurrir a series de Leibniz o recurrencia en derivadas. Il to] ul IAN, AA y+,x y=,R 1. Definir la función Denotamos: - |]YY yA yr E) 2. Simplificar la expresión Observamos que ambas fracciones son recíprocas: +=] Sumando ambos: Multiplicamos por t en ambos lados: é-t+1=0 3. Derivar implícitamente Derivamos ambos lados respecto a x usando la regla de derivación implícita: Factorizamos: 2 Para encontrar la derivada du de la función dada: 1 : y= In (sino Ecos + 424 sin2s) ! y arcsin (23) WE] hi Procedimiento paso a paso: 1. Derivar el primer término: 1 M=-> ln (sino hcosz + v24 sin22) Aplicamos la regla de la cadena: dy: 1 1 d (s - =-2. -— (sinzx + cost + 424 sin22) dz 2 sinz+cost+y/2+sin2x de Derivamos el argumento del logaritmo: d 1 > (sinz+cosz+YV2+ sin 22) = cos 2 — sino 4 === - 2 cos 22 de | 242 + sin 27 Simplificamos: cos2z v2+sin2x = cost —sinz + Por lo tanto: cos 27 dy 1 “os sine+ aa de 2 sinx+cost + 2 + sin2x 2. Derivar el segundo término: 1 . sin — COST = 5 arcsin | ———=— e? v3 4. Simplificación final: Observamos que: cos 22 = cos? e — sin? = (cosa — sine)(cosa + sin 2) Por lo tanto: cos2x (cos —sinz)(cosz + sin x) V2+sin2r 2 + sin2x Sustituyendo en la derivada: cos e+sin e dy 1 (cos z — sin 7) fi y optan) cos z + sin a de 2 sine + cos a+ 4/24 sin2x 242 + sin 22 Notamos que: sinz + cos sinz + cosa + V2 + sin 22 = V2 + sin 2a (E ) v2+sin 2x2 Definiendo u = e la expresión se simplifica a: dy 1 (cosz—sinzw)(1 + u) uy2+sin2xz cosa—sinz u de 2 y2+sin2e(u+1) —242+sin2e 2y42+sinm2e 2 Sustituyendo 1: dy cos T —sinxr sin T + cos x sin = , = dz 242 +sin2x 242+sin2x vy2+sin2w Respuesta Final: dy sin z de 12 b sin2x% 3 1/80 180% 0 Ñ o o Vamos a graficar la función f(x) = EL utilizando su derivada para analizar su comportamiento. 1. Simplificar la función: 3314 81? — 181? 2?(3x? + 82 — 18) Ha) = 48 = 48 2. Calcular la primera derivada: Ple) = d (30% +82 180%) _ 120% + 244? — 362 _ 0420? — 32 de 48 o 48 y 4 Factorizamos f'(2): x(a? +22 — 3) _ ale +3)(r 1) 1) - - 3. Encontrar puntos críticos: Resolvemos f'(7) =0: x(24+3)(2-1)=0 —> 2=0,27=-3,2=1 4. Analizar el signo de f'(2) y los intervalos de crecimiento/decrecimiento: » Intervalo (—00, —3): Tomamos x= —d: p (a) = HEENCD AA 50 Decreciente. » Intervalo (—3, 0): Tomamos x= —1: Pi) = AN _ (2) 150 Creciente. .« Enz=l: f'(x) cambia de negativa a positiva => Mínimo local. fa) =? Oi+safe* — 3+8-18 7 = (0.1458 = = .x.m 48 48 6. Calcular la segunda derivada (opcional para concavidad): ara d fañ4 2-32 3024423 PO= 4 = 4 7. Gráfica de la función: + Puntos clave: o Mínimo local en (—3, —2.8125). > Máximo local en (0, 0). o Mínimo local en (1, —0.1458). + Comportamiento en los extremos: > Cuando 2 > +o0, f(x) > +00 (dominado por 2%. + Intersecciones con los ejes: o Conelejez: f(1) =0 —= 2?(32? 4 82 — 18) =0. Soluciones: z = O (doble) y = BEY raane = 1.46, -4.13. Gráfico aproximado: 1. Decrece desde +00 hasta x= —3 (mínimo). 2. Crece desde x = —3 hasta x = () (máximo). 3. Decrece desde x = O hasta x = 1 (mínimo). 4. Crece desde z = 1 hacia +00. Forma visual: + La curva viene desde arriba, baja hasta (—3, —2.81), sube hasta (0, 0), baja ligeramente hasta (1, -0.145), y luego crece indefinidamente. Respuesta final: Respuesta final: La gráfica de f(x) tiene: » Mínimos locales en (—3, —2.8125) y (1, —0.1458). + Máximo local en (0, 0). + Intersecciones en = —4.13, 0, 1.46. Bosquejo gráfico: plaintext mín min (-3, -2.81) (1,-9.145) Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general: 244 y (24) -4-6-13 244576312 241264 2-6 12 — 12 Simplificamos 4264: 1264 = V4-66 = 2466 Por lo tanto, las soluciones son: 2442/66 12166 6 r 4. Encontrar los puntos de tangencia: Calculamos f (2) para cada valor de 2: 12+y/ Para xr = = (AY 3 2 ” 12-y661| (12-66 6 12 — v66 49 12 — v66 p9 6 o 6 6 6 Estos cálculos son complejos, pero podemos proceder con la forma general de la ecuación de la recta tangente. 5. Ecuación de la recta tangente: La ecuación de la recta tangente en un punto (wo, f(20)) con pendiente m = ; es: y— Ile) = (02) Sustituyendo f ( Parar = —2: f"(-2) = 12(-2)” - 28 =48-—28=20>0 (Mínimo local) » Parar =—l: FL = 121) -28=12- 28=-16<0 (Máximo local) » Parar =3: f"(3) = 12(3) — 28 =108 — 28=80>0 (Mínimo local) 5. Encontrar los valores de f (1) en los puntos críticos: e Parar = —2: F2)=(-2) — 14(-2)? — 24(-2) +1=16-—56 + 484 1=09 e Parax = —1: Fm) =(-D*- 141? - 24(-1) +1=1- 144244 1=12 o Parar =3: F(3) =3* — 14(3)? — 24(3) + 1= 81 — 126-724 1=-116 6. Resumen de los puntos críticos: + Máximo local: (—1, 12) + Mínimos locales: e (22,9) o (3, 116) Respuesta Final: Máximo local en (—1, 12) Mínimos locales en (—2, 9) y (3, -116) Aman