Download toán cao cấp 1,đại số tuyến tính and more Slides Mathematics in PDF only on Docsity!
MỤC LỤC
- Lời mở đầu.......................................................................................................................... Trang
- Một số ký hiệu...................................................................................................................
- Chương 1. Ma trận – Định thức……………………………………………….……………...
- 1.1. Ma trận……………………………………………………………................
- 1.1.1. Định nghĩa ma trận..............................................................................
- 1.1.2. Ma trận bằng nhau... ………………………………………………....
- 1.1.3. Các ma trận đặc biệt...........................................................................
- 1.1.4. Các phép toán trên ma trận…….
- 1.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng.
- 1.2. Định thức……………………………………….……………………….......
- 1.2.1. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n………….…………………...
- 1.2.2. Định lý khai triển định thức theo một hàng hay một cột bất kỳ
- 1.2.3. Các tính chất định thức………
- 1.2.4. Định lý sự thay đổi của định thức qua các phép biến đổi………………...
- 1.2.5. Phần bù đại số và ma trận phụ hợp…………………….………………...
- 1.3. Ma trận nghịch đảo……………….…………….……………………….......
- 1.3.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo………….………………….…………...
- 1.3.2. Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo..........................................................
- 1.3.3. Định lý sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
- 1.3.4. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo………………………………..
- 1.4. Hạng ma trận…..……………….…………….………………………….......
- 1.4.1. Định nghĩa tổng quát hạng của một ma trận….……………..…………...
- 1.4.2. Tính chất
- 1.4.3. Phương pháp tìm hạng của ma trận........................................................
- 1.4.4. Một số bất đẳng thức về hạng của ma trận............................................
- 1.5. Bài tập……..…..……………….…………….………………………….......
- Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính……………………………………………………….
- 2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính………………………………………....
- 2.1.1. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng quát………..………………
- 2.1.2. Định nghĩa nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính………….……..
- 2.1.3. Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác…………….………….……..
- 2.1.4. Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang………….………….……..
- 2.1.5. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn Gauss.……..
- 2.2. Hệ phương trình Cramer………………………………………………………….
- 2.2.1. Định nghĩa hệ phương trình Cramer……………………….………..…..
- 2.2.2. Các phương pháp giải hệ phương trình Cramer.......................................
- 2.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
- 2.3.1. Nhận xét về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát...
- 2.3.2. Định lý Kronecker – Capelli
- 2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất…………………….…………………….
- 2.4.1. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất..................................
- 2.4.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ….…….…………..
- 2.5. Một số bài toán ứng dụng trong kinh tế……….……………………………….....
- 2.5.1. Mô hình cân bằng thị trường..................................................................
- 2.5.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân …………………………..……...
- 2.5.3. Mô hình input – output của Leontief …………………………………..
- 2.6. Bài tập …………………………………………………………………………....
- Chương 3. Không gian vectơ.…………………………………………………………….......
- 3.1. Các khái niệm căn bản …………………………………………………………
- 3.1.1. Định nghĩa không gian vectơ….……………………………..………….
- 3.1.2. Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của các vectơ…………………...…………
- 3.1.3. Định nghĩa không gian vectơ con của một không gian vectơ……………
- 3.1.4. Định nghĩa không gian con sinh bởi một tổ hợp tuyến tính……………...
- 3.1.5. Định nghĩa độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính…………………...
- 3.2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ…………………………………………..
- 3.2.1. Định nghĩa cơ sở của một không gian vectơ….…………………………
- 3.2.2. Ma trận chuyển cơ sở................................................................................
- 3.2.3. Tính chất...................................................................................................
- 3.2.4. Mệnh đề....................................................................................................
Ví dụ 2. Cho hai ma trận:
1 2 1 b
A ; B
3 4 a 4
^
. Tìm a, b để hai ma trận A, B bằng
nhau.
Giải
Ta có hai ma trận A và B đều có cấp là (^) 2 (^2) . Do đó
a 3 A B. b 2
^
1.1.3. Các ma trận đặc biệt
1.1.3.1. Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều là số không.
Ví dụ 3. Cho các ma trận không
2 3
là ma trân không cấp (^) 2 3 .
3 2
là ma trận không cấp (^) 3 2 .
1.1.3.2. Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp n n
được gọi tắt là ma trận vuông cấp n.^ Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký
hiệu là M .n^ Với ma trận vuông A^ ^ M ,n các phần tử a 11 , a^22 ,...,a^ nn được gọi là thuộc
đường chéo ( chính ) của ma trận A. Các phần tử a (^) n1 ,a (^) n 1,2 ,...,a1n được gọi là thuộc đường
chéo phụ của ma trận (^) A.
Ví dụ 4. Cho ma trận vuông cấp 3:
có các phần tử a 11 1, a 22 5, a 33 9
thuộc đường chéo chính còn các phần tử a 31 ^ 7, a^22 ^ 5, a 13 ^3 thuộc đường chéo phụ.
1.1.3.3. Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử không thuộc đường chéo chính đều
là bằng 0.
Ví dụ 5. Cho ma trận chéo cấp 3 :
1.1.3.4. Ma trận đơn vị cấp
Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng
1. Ký hiệu In là ma trận đơn vị cấp n.
Ví dụ 6. Cho các ma trận đơn vị
2 3 n
I ; I 0 1 0 ;...;I
^
1.1.3.5. Ma trận tam giác trên (dưới)
Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới (hoặc ở
phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ 7. Cho các ma trận cấp 3
là ma trận tam giác trên.
là ma trận tam giác dưới.
1.1.3.6. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang)
Ma trận bậc thang là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số hạng khác không đầu
tiên của hàng dưới phải nằm bên phải số hạng khác không đầu tiên của hàng trên.
11 12 1r 1n
22 2r 2n
rr rn
a a a a
0 a a a
0 0 a a
với r n và a 11 , a 22 ,...,a rrgọi là các phần tử chéo.
Ví dụ 8. Cho ma trận bậc thang như sau:
ij ij
m n
A B a b
Ví dụ 10. Cho hai ma trận:
A
B.
^
Tính 2A, 4B, A B, 2A 4B.
Giải
Ta có
2A
4B
và
A B
2A 4B.
1.1.4.3. Các tính chất
Cho ba ma trận A, B, C cùng cấp và , .
a) A B B A
b) (A B) C A (B C)
c) A 0 A
d) A ( A) 0
e) 1 A A
f) ( )A A A
g) (A B) A B
h) ( )A ( A) ( A).
1.1.4.4. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A a ij M m n , B b ij M n p.Ta định nghĩa ma trận tích của
hai ma trận A, B là ma trận cấp m p, ký hiệu AB cij M m p , xác định bởi
n
ij i1 1j i2 2 j in nj ik kj k 1
c a b a b a b a b , i 1, m, j 1, p
Tính chất
(i) Tính kết hợp : Cho A M (^) m n , B Mn p và C M (^) p q , ta có
A BC (^) AB C.
(ii) Tính phân phối : Với mọi ma trận A,B Mm n và C M n p , ta có
A^ ^ B C^ ^ AC^ ^ BC ,
và với mọi ma trận C Mm n và A, B M n p , ta có
C A B (^) CA CB_._
(iii) Với mọi ma trận A Mm n (^) , B Mn p và với mọi k , ta có
k AB (^) kA B A kB .
Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta có
n A A A A (nhân n lần).
Ví dụ 11. Cho hai ma trận:
3x 2 2x
A 1 1 M , B M.
^
^
Tính AB và (^)
2 AB.
Giải
Ta có
AB 1 1 1 8 4.
^
^
2
AB AB AB 1 8 4 1 8 4
Ví dụ 12. Cho hai ma trận vuông cấp 4:
A , B.
^ ^ ^
Tính AB và BA.
1.1.5.2. Liên hệ giữa phép biến đổi sơ cấp trên hàng và phép nhân ma trận
Cho ma trận (^) (^) ij m n
A a
và ma trận đơn vị cấp m: (^) m
I
^ ^
Định nghĩa:
0 1 i
I(i, j)
1 0 j
doøng
doøng
I(i, ) i
doøng
^
1 i
I(i, j, )
0 1 j
doøng
doøng
Lưu ý:
+) Phép hoán vị hai hàng của ma trận A được coi là thực hiện phép nhân ma trận
I(i, j) A.
+) Phép nhân một hàng của ma trận A với số thực 0 được coi là phép nhân
ma trận I(i, ) A.
+) Phép cộng vào hàng i hàng j đã nhân với ( i j) được coi là phép nhân ma
trận I(i, j, ) A.
1.2. Định thức
Xét ma trận vuông cấp n :
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a A
a a a
^ ^
Với mỗi số hạng ij
a (số hạng nằm ở hàng i và cột j), ma trận nhận được từ A bằng
cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận bù của A đối với số hạng ij
a , ký
hiệu là ij
A.
Ví dụ 14. Cho ma trận vuông cấp 3 :
A 2 5 8
Ta có thể thành lập các ma trận bù cấp 2, chẳng hạn
11 23 33
A ; A ; A.
1.2.1. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n
Định thức của ma trận vuông A^ ^ M ,n ký hiệu det(A) hay A , là số thực được định
nghĩa bằng quy nạp theo n như sau :
Với n 1 , nghĩa là A (^) a 11 , thì det A a 11.
Với n^ ^ 2, A (a )ij n n , thì :
1 1 1 2 1 n det A ( 1) a 11 det A 11 ( 1) a 12 det A 12 ( 1) a1n det A1n
(^)
n 1 j 1j 1j j 1
det A 1 a det A
(^) (1.6)
Xét một số trường hợp đặc biệt:
Với n 2 ,
11 12
21 22
a a A a a
. Ta có
det(A) a 11 det (A 11 ) a 12 det (A 12 ) a 11 a 22 a 21 12a
Với n 3 , ta có:
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3
a a a b b b b b b b b b a a a c c c c c c c c c
0 0 0
n i j ij ij i 1
det A ( 1) a det A.
Công thức (1.7) gọi là công thức khai triển theo hàng i 0 và công thức (1.8) là công thức
khai triển theo cột j 0.
Ví dụ 16. Tính các định thức
a)
A
^ ^
Tính định thức của ma trận A. Chúng ta khai triển định thức này theo hàng 1 :
1 1 1 2
1 3 1 4
A ( 1) 1 4 1 2 ( 1) 2 3 1 2
b)
1 3 0 a
2 b 0 0 B 3 4 c 5
d 0 0 0
^ ^
Tính định thức của ma trận B. Chúng ta khai triển định thức này theo hàng 4 :
4 1 3 2
3 0 a 3 a B ( 1) d b 0 0 d( 1) c abcd. b 0 4 c 5
c)
2 m 0 2 C 3 0 4 3
^
^ ^
Tính định thức của ma trận C. Chúng ta khai triển định thức này theo cột 4 :
2 4 3 4
C ( 1) 2 3 0 4 ( 1) 3 2 m 0 48 9m.
4 2 1 4 2 1
1.2.3. Các tính chất định thức
i) Tính chất 1. Cho ma trận vuông A. Ta có
T det A det A.
Ví dụ 17. Cho ma trận:
A 2 5 1
Ta có: (^)
T det A det A 46.
ii) Tính chất 2. Cho A, B là hai ma trận vuông. Ta có
det AB det BA det A det B .
Ví dụ 18. Cho hai ma trận:
A ; B
a) Tính AB và BA.
b) Tính det A , det B , det AB , det BA
Giải
a) Ta có:
AB ; BA
b) Ta có: det A 2; det B 2; det AB det BA 4.
iii) Tính chất 3. Cho I là ma trận đơn vị cấp n. Ta có det I 1.
iv) Tính chất 4. Cho ba ma trận A, B, C Mn thỏa mãn:
C^ 1j ^ A^ 1j ^ B1jvà^ C^ ij ^ A^ ij ^ B^ ij,^ i^ ^ 2,3,..., n; j^ 1, 2,..., n.
Ta có: det C det A det B .
Ví dụ 19. Cho ba ma trận
a b c b c a a b b c c a
A 1 2 3 , B 1 2 3 , C 1 2 3
^ ^
Chứng minh rằng: det C det A det B .
Giải
Ta có: det A a 2b c; det B a b 2c; det C 2a b c
Vậy det C det A det B .
1.2.5. Phần bù đại số và ma trận phụ hợp
Cho ma trận vuông cấp n : (^) (^) ij n
A a
+) Định thức cấp (n 1) thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j , lấy dấu
^ nếu^ i^ ^ jchẵn, lấy dấu^ ^ nếu^ i^ ^ jlẻ, được gọi là^ phần bù đại số của phần
tử aij (^) i, j 1, 2,..., n, ký hiệu là
.
+) Ma trận ký hiệu
A , được định nghĩa như sau :
11 21 n
1n 2n nn
A A A
A A A
A
A A A
Trong đó : (^)
Aij i, j 1, 2,..., n là phần bù đại số của phần tử a (^) ij, được gọi là ma
trận phụ hợp của ma trận A.
Chú ý : Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
A cũng là ma trận vuông cấp n.
Ví dụ 22. Cho ma trận vuông cấp 3:
A 4 5 6
Ta có ma trận phụ hợp cấp 3 như sau:
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A A A
A A A A
A A A
Với
A ( 1) 3
;^
A ( 1) 6
;^
A ( 1) 3
A ( 1) 14
;^
A ( 1) 19
;^
A ( 1) 6
A ( 1) 8
;
A ( 1) 10
;
A ( 1) 3
Vậy:
A 6 19 10.
^
^
1.3. Ma trận nghịch đảo
1.3.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Cho A, B Mn, ta nói A, B là hai ma trận nghịch đảo của nhau nếu AB BA I .n
Khi đó, ta nói A và B là các ma trận khả nghịch.
Ký hiệu
1 B A
hay
1 A B
.
Tính chất: Ma trận A Mnkhả nghịch khi và chỉ khi det( A ) 0.
Ví dụ 23. Định m để ma trận sau khả nghịch
1 2 m
A 3 m 4
2 3 m
Giải
Từ ma trận A ta biến đổi như sau
(2): (2) 3(1) (3): (3) 2(1)
1 2 m 1 2 m
A 3 m 4 0 m 6 4 3m
2 3 m 0 7 m
^
Ta có
1 1 m^6 4 3m 2 det(A) ( 1) 1 m 15m 28 7 m
^
Ma trận khả nghịch khi vào chỉ khi
det(A) 0 m m. 2 2
Ví dụ 24. Cho ma trận A Mn thỏa mãn
2 A 2A In 0. Chứng minh rằng ma trận A
khả nghịch.
Giải
Từ đẳng thức
2 A 2A In 0 , ta có^ In A 2I (^) n A(*)
Lấy định thức hai vế của (*), ta có
1 det I (^) n det A 2I (^) n A (^) det A det 2I (^) nA .
Suy ra det A 0.Vậy A khả nghịch.
1.3.2. Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo
Phương pháp 1. Tìm
1 A
bằng định thức.
+) Bước 1. Cho A Mn, det A 0.
Ví dụ 26. Tìm ma trận nghịch đảo sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên hàng
A 1 2 1
Giải
Thực hiện các phéo biến đổi sơ cấp trên dòng như sau
2 : 2 1 (^3) 3 : 3 2 1
A I 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 1 0
3 : ^3 2 1 : ^1 2
^
1 : 1 3 3 (^1) 2 : 2 2 3^3
0 1 0 1 3 2 I A
(^)
Vậy ma trận nghịch đảo của A là :
1
A 1 3 2.
^
1.3.3. Định lý sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo
1 A
tồn tại duy nhất.
1.3.4. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo
Nếu A, B là những ma trận vuông cấp n khả nghịch thì
i) (^)
1 1 A A,
ii) (^)
(^1 1 ) AB B A ,
(^)
iii) (^)
1 T T 1 A A.
iv) (^)
A A
(^)
với 0.
Ví dụ 27. Giải phương trình ma trận (^) XA Bvới
A 1 2 1
và
B 4 5 1
Giải
Theo ví dụ 26, ta có
1
A 1 3 2
Từ phương trình ma trận nhân bên phải hai vế cho
1 A
, ta được
1
X BA 4 5 1 1 3 2 8 30 21.
^ ^ ^
1.4. Hạng của ma trận
1.4.1. Định nghĩa tổng quát hạng của một ma trận
Cho ma trận A^ ^ Mm n^ , ta gọi hạng của ma trận A bằng r nếu
i) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0.
ii) Trong A tồn tại một định thức con cấp r khác 0.
Ta ký hiệu hạng của ma trận (^) A là rank A hay vắn tắt là r A . Khi (^) A là ma trận
0, ta quy ước r A 0.
Lưu ý rằng : 0 r A min m, n .
1.4.2. Tính chất
i) Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, nghĩa
là nếu B là ma trận nhận được từ A sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì r A (^) r B .
ii) Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, nghĩa là (^) r (^) A (^) r (^) AT .
iii) Nếu A là ma trận bậc thang theo hàng thì hạng của A bằng số hàng khác không
của nó.
1.4.3. Phương pháp tìm hạng của ma trận : Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng.
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận A về dạng ma trận bậc
thang theo hàng B. Khi đó, r(A) bằng số hàng khác không của ma trận B.
Ví dụ 28. Cho ma trận:
