Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
The naming of numbers in book psikologi mathematics by Richard skemp
Typology: Schemes and Mind Maps
1 / 18
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
i
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan tepat waktu. Makalah ini disusun guna memenuhi tugas mata kuliah ‘Psikologi Pembelajaran Matematika’. Selain itu, penulis juga berharap agar makalah ini dapat menambah wawasan bagi pembaca makalah ini. Penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada Bapak/Ibu selaku dosen pengampu. Tugas yang telah diberikan ini dapat menambah pengetahuan dan wawasan terkait bidang yang ditekuni. Penulis juga mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu proses penyusunan makalah ini. Penulis menyadari makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan penulis terima demi kesempurnaan makalah ini.. Jambi, 23 Februari 2024 Tim Penulis
1.1 Latar Belakang Dalam dunia penamaan angka yang berfungsi sebagai alat untuk memfasilitasi pencarian cepat dan mudah dalam himpunan objek tertentu. Analoginya seperti menggunakan nama warna untuk mengidentifikasi warna objek yang kita lihat atau nama ras anjing untuk mengklasifikasikan jenis anjing. Namun, masalah muncul ketika kita mengeksplorasi cara penamaan angka. Apakah sistem penamaan angka yang kita gunakan saat ini, yaitu sistem Hindu-Arab, merupakan sistem yang paling efisien? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memahami lebih dalam tentang operasi-operasi matematika dasar, seperti penjumlahan dan perkalian, serta sifat- sifat fundamental yang mendasarinya. Penamaan angka menjadi penting karena kita menggunakannya untuk menyampaikan informasi tentang jumlah atau kuantitas. Dalam bahasa matematika formal, istilah "angka" digunakan untuk merujuk pada nama atau simbol yang mewakili jumlah atau kuantitas apa pun. Jadi, apakah kita menggunakan simbol angka seperti "5" atau kata-kata seperti "lima", keduanya merujuk pada konsep yang sama. Namun, pertanyaannya adalah, apakah sistem penomoran yang digunakan memiliki keunggulan tertentu dibandingkan dengan sistem lainnya, dan jika ya, apa yang membuatnya demikian? Salah satu masalah utama dengan sistem penomoran, seperti yang ditemukan dalam penggunaan angka Romawi, adalah kompleksitasnya yang meningkat seiring dengan peningkatan jumlah yang harus diwakili. Misalnya, menambahkan atau mengalikan angka Romawi yang besar bisa menjadi tugas yang rumit, karena simbol-simbolnya tidak memberikan indikasi langsung tentang ukuran atau nilai absolut. Sebaliknya, sistem Hindu-Arab yang digunakan saat ini memiliki keunggulan karena menggabungkan prinsip "nilai tempat", yang memudahkan operasi matematika dasar seperti penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi matematika dasar seperti penjumlahan dan perkalian
memainkan peran penting dalam pengembangan sistem penomoran. Dalam sistem Hindu-Arab, sifat distributif, asosiatif, dan komutatif memungkinkan kita untuk menggabungkan dan memanipulasi angka dengan cara yang lebih efisien. Misalnya, sifat distributif memungkinkan kita untuk menyederhanakan operasi perkalian dengan mengurai masalah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil. Sementara itu, sifat asosiatif dan komutatif memastikan bahwa hasil operasi matematika tidak bergantung pada urutan angka yang dioperasikan atau cara kita mengelompokkannya. Pentingnya pemahaman yang mendalam tentang operasi-operasi matematika dasar ini terletak pada kemampuannya untuk mempermudah perhitungan dan manipulasi angka, yang pada gilirannya memengaruhi efisiensi dan efektivitas sistem penomoran. Dengan memahami sifat-sifat dasar ini, kita dapat mengembangkan sistem penomoran yang lebih baik yang memfasilitasi komunikasi dan perhitungan dalam berbagai konteks, mulai dari ilmu pengetahuan hingga kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, penelitian lebih lanjut tentang matematika dasar dan pengembangan sistem penomoran yang lebih efisien terus menjadi fokus penting dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. 1.2 Rumusan Masalah
matematika. Dibandingkan dengan sistem Hindu-Arab yang digunakan secara luas saat ini, sistem Romawi tidak memberikan representasi yang jelas dan efisien terhadap angka. Hal ini terutama terlihat dalam operasi matematika dasar seperti penjumlahan dan perkalian, di mana sistem Romawi sering kali memerlukan penanganan yang rumit dan memakan waktu, sementara sistem Hindu-Arab menawarkan notasi yang lebih ringkas dan mudah dimengerti. Pentingnya sistem Hindu-Arab dalam matematika terutama terletak pada kemampuannya untuk menyederhanakan operasi matematika dasar, seperti penjumlahan dan perkalian, dengan menggunakan notasi yang efisien. Sistem Hindu- Arab memungkinkan representasi yang jelas tentang angka dan operasi matematika, serta memfasilitasi penghematan waktu dan upaya dalam perhitungan matematika sehari-hari. Dengan demikian, keunggulan sistem Hindu-Arab dalam hal efisiensi dan kemudahan penggunaan menjadi alasan utama mengapa sistem ini telah mendominasi bidang matematika modern. Pemahaman tentang nilai tempat dan penggunaan notasi yang efisien dalam sistem Hindu-Arab juga memberikan kesempatan bagi siswa untuk memahami konsep matematika yang lebih kompleks dengan lebih baik. Melalui pemahaman yang lebih dalam tentang representasi angka dan operasi matematika, siswa dapat mengembangkan keterampilan dalam pemecahan masalah dan berpikir kritis secara lebih efektif. Dengan demikian, penggunaan sistem Hindu-Arab dalam pengajaran matematika di sekolah dapat membantu siswa memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang konsep-konsep matematika dasar serta mempersiapkan mereka untuk belajar konsep yang lebih kompleks di masa depan. 2.3 Penambahan Konsep penambahan dalam matematika melibatkan dua aspek utama: penggabungan himpunan dan penjumlahan bilangan. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menggunakan istilah "tambah" untuk menggambarkan aksi penggabungan, misalnya ketika kita menambahkan bahan makanan saat memasak. Namun, secara matematis, penambahan melibatkan menyatukan dua himpunan atau menggabungkan dua bilangan untuk mencari hasilnya. Notasi matematika, seperti
yang digunakan dalam sistem Hindu-Arab, membantu menyederhanakan proses penambahan dengan mengatur angka-angka dalam kolom-kolom yang sesuai dengan nilai tempatnya. Penggunaan notasi Hindu-Arab dalam penambahan membantu kita memahami bahwa jumlah suatu himpunan tidak tergantung pada elemen-elemennya. Dengan cara ini, penjumlahan menjadi lebih efisien dan mudah dipahami. Notasi ini juga membantu dalam pengorganisasian angka-angka dan memudahkan proses penjumlahan dari puluhan hingga ratusan dengan menggunakan aturan pembawa. Dibandingkan dengan notasi Romawi, yang sering kali membingungkan dan kurang konsisten, notasi Hindu-Arab menawarkan pendekatan yang lebih jelas dan sistematis dalam melakukan penambahan. Hal ini memperlihatkan pentingnya notasi matematika yang efektif dalam memahami dan menerapkan konsep-konsep matematika secara lebih baik. Oleh karena itu, pemahaman dan penerapan notasi Hindu-Arab menjadi kunci dalam memperkuat konsep penambahan dan operasi matematika lainnya pada tingkat yang lebih tinggi. 2.4 Perkalian Dalam perkalian, notasi Hindu-Arab menunjukkan keunggulannya dalam mempermudah proses perkalian bilangan. Misalnya, ketika kita mengalikan 6 dengan 3, secara matematis kita sedang menggabungkan atau mengumpulkan sejumlah himpunan benda. Jika kita memulai dengan 6 set dan menggabungkan 3 set lainnya, hasilnya adalah 18 set, yang dapat disusun ulang menjadi 1 set puluhan dan 8 set satuan. Hal ini mirip dengan menyusun titik-titik ke dalam kelompok sepuluh, di mana setiap kesatuan bergabung menjadi sepuluh set, dan setiap sepuluh set menjadi seratus set. Proses perkalian pada angka yang lebih besar juga dapat dipahami dengan cara yang sama seperti penjumlahan. Kita dapat mengalikan bilangan besar dengan satu digit pada satu waktu, dimulai dari kolom paling kanan dan bergerak ke kiri, seperti cara membaca tulisan Arab. Sebagai contoh, ketika mengalikan 586 dengan 3, kita melihat setiap digit secara terpisah dan mengalikannya dengan angka yang diberikan.
yang benar. Misalnya, dalam perhitungan ( 6 + 80 + 500 ) × 3 , kita harus menyelesaikan penjumlahan dalam tanda kurung terlebih dahulu sebelum mengalikannya dengan 3. Ketika kita mengevaluasi ekspresi matematika seperti di atas, kita perlu yakin bahwa hasilnya benar. Dalam kasus ini, kita yakin bahwa perkalian hasil penjumlahan tersebut dengan 3 memberikan hasil yang sama dengan melakukan perkalian masing-masing angka dengan 3 terlebih dahulu, lalu menjumlahkannya. Kita dapat mengonfirmasi kebenaran ini dengan memeriksa hasilnya pada kasus- kasus tertentu, seperti 586 × 3. Dalam perhitungan 586 × 3 , kita dapat memahami hasilnya dengan memvisualisasikan itu sebagai jumlah himpunan yang disatukan. Misalnya, jika kita membayangkan 586 titik di setiap himpunan yang akan disatukan, kita dapat dengan jelas melihat bahwa hasilnya adalah jumlah total titik dari himpunan- himpunan tersebut. Meskipun metode ini memberikan jawaban yang tepat dalam kasus spesifik seperti 586 × 3 , kita perlu memastikan bahwa metode tersebut konsisten dan berlaku untuk semua kasus. Dalam matematika, penting untuk menunjukkan bahwa suatu metode akan selalu memberikan hasil yang benar, bukan hanya pada kasus- kasus individu. Untuk membuktikan kebenaran suatu metode, kita dapat memulai dengan memeriksa beberapa kasus tertentu. Misalnya, kita dapat memeriksa apakah metode tersebut berlaku untuk perkalian 3 × 4 dan 2 × 4. Dengan memvisualisasikan perkalian ini sebagai penggabungan himpunan, kita dapat memahami bahwa hasilnya adalah sama dengan hasil operasi (3 + 2) × 4. Sifat distributif dalam matematika adalah konsep penting yang membantu kita memahami bagaimana operasi perkalian berinteraksi dengan operasi penjumlahan. Sifat ini menyatakan bahwa perkalian bersifat distributif atas penjumlahan, yang
memungkinkan kita untuk menyelesaikan perhitungan seperti 586 × 3 dengan mudah tanpa harus mengetahui hasil perkalian angka yang lebih besar. Dengan memahami sifat distributif dan prinsip-prinsip dasar matematika lainnya, kita dapat dengan percaya diri menyelesaikan perhitungan matematika yang melibatkan operasi kompleks. Ini membantu kita membangun pemahaman yang kuat tentang konsep matematika yang mendasar, yang penting untuk memecahkan masalah dan mengeksplorasi konsep-konsep yang lebih lanjut dalam matematika. 2.6 Dua Sifat Penjumlahan Dua sifat penting dalam operasi penjumlahan bilangan asli yang sering dianggap remeh namun sangat berpengaruh adalah sifat asosiatif dan komutatif. Sifat asosiatif menyatakan bahwa hasil penjumlahan tiga bilangan tidak dipengaruhi oleh urutan penjumlahan mereka. Misalnya, apakah kita menjumlahkan dua bilangan terlebih dahulu atau bilangan yang lain terlebih dahulu, hasilnya akan tetap sama. Ini berarti bahwa penjumlahan dapat dilakukan dalam urutan apa pun dan tetap menghasilkan hasil yang konsisten. Sifat komutatif, di sisi lain, menyatakan bahwa urutan bilangan yang dijumlahkan tidak memengaruhi hasil akhir. Misalnya, jika kita menukar posisi dua bilangan yang akan dijumlahkan, hasilnya akan tetap sama. Ini berlaku untuk penjumlahan dua bilangan atau lebih. Sifat ini menjelaskan mengapa kita dapat menukar posisi angka dalam penjumlahan tanpa mengubah hasilnya, yang merupakan prinsip yang seringkali diterapkan dalam perhitungan sehari-hari. Kedua sifat ini berperan penting dalam matematika dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Mereka memungkinkan kita untuk dengan bebas memanipulasi ekspresi matematika dengan mengubah urutan atau kelompok bilangan, tanpa khawatir mengubah hasilnya. Misalnya, ketika menambahkan serangkaian bilangan yang lebih besar dari 10, kita dapat dengan mudah mengelompokkan angka-angka tersebut sesuai kebutuhan, karena hasilnya tidak akan berubah. Dalam konteks himpunan, sifat asosiatif dan komutatif juga mudah dipahami. Sifat asosiatif menyatakan bahwa hasil penggabungan tiga himpunan akan tetap
lebih efisien. Pemahaman atas sifat asosiatif dan komutatif perkalian memberikan dasar yang kuat dalam pembelajaran matematika yang lebih lanjut. Mereka juga memberikan kemampuan untuk memahami dan mengaplikasikan konsep matematika dalam konteks sehari-hari, memberikan keterampilan yang diperlukan dalam pemecahan masalah dan pengambilan keputusan. 2.8 Lima Sifat Sistem Bilangan Asli Sistem bilangan asli, yang terdiri dari himpunan bilangan asli (0, 1, 2, 3, ...) bersama dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x), memiliki lima sifat penting yang sangat memengaruhi cara kita melakukan perhitungan matematika. Sifat-sifat ini adalah asosiatif dan komutatif untuk kedua operasi, serta distributif untuk perkalian terhadap penjumlahan. Meskipun terkadang dianggap remeh, sifat- sifat ini memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan dengan bilangan apa pun, tidak hanya pada angka kecil tetapi juga pada angka yang jauh lebih besar dan kompleks. Sifat asosiatif dalam penjumlahan dan perkalian memungkinkan kita untuk menggabungkan beberapa bilangan dalam urutan apa pun tanpa mengubah hasil akhirnya. Ini sangat bermanfaat dalam perhitungan yang melibatkan banyak angka, karena kita dapat mengelompokkan bilangan-bilangan tersebut sesuai dengan kenyamanan kita. Misalnya, ketika menjumlahkan tiga bilangan, tidak masalah kita melakukan penjumlahan dari kiri ke kanan atau sebaliknya. Selain itu, sifat komutatif penjumlahan dan perkalian memungkinkan kita untuk menukar posisi bilangan yang akan dijumlahkan atau dikalikan tanpa mengubah hasil akhirnya. Misalnya, 2 + 5 akan menghasilkan hasil yang sama dengan 5 + 2, dan 3 x 4 akan menghasilkan hasil yang sama dengan 4 x 3. Ini memberikan fleksibilitas dalam cara kita menyusun ekspresi matematika dan memudahkan dalam manipulasi angka. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi matematika yang melibatkan kedua operasi. Ini memungkinkan kita untuk mengalikan bilangan dengan jumlah atau perbedaan yang lebih besar tanpa harus melakukan perkalian dengan masing-masing bilangan secara terpisah. Misalnya, (3 x 5) + (3 x 7) dapat disederhanakan menjadi 3 x (5 +
7), yang mengurangi jumlah operasi yang harus dilakukan. Kemampuan kita untuk memanfaatkan sifat-sifat sistem bilangan asli dengan baik memberikan dasar yang kuat dalam pemahaman dan penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Dengan menggunakan notasi Hindu-Arab, kita dapat dengan cepat dan efisien melakukan perhitungan matematika yang kompleks, yang merupakan kunci untuk kemajuan dalam berbagai bidang, termasuk perdagangan, industri, dan teknologi. Dengan memahami dan memanfaatkan sifat-sifat dasar ini, kita dapat mengembangkan keterampilan dalam pemecahan masalah dan pengambilan keputusan secara efektif. 2.9 Hubungan Penamaan bilangan dengan Psikologi pendidikan pembelajaran matematika Konsep-konsep yang telah dibahas seperti penamaan angka, penghitungan, penjumlahan, perkalian, serta sifat-sifat matematika seperti distributif, asosiatif, dan komutatif, merupakan bagian penting dari kurikulum matematika.
3.1 Kesimpulan Bab ini membahas tentang penamaan angka dan penghitungan, dengan fokus pada perbandingan antara sistem penomoran Romawi dan sistem Hindu-Arab. Dalam pembahasan tentang penghitungan, penekanan diberikan pada penggunaan angka untuk merepresentasikan himpunan objek tertentu, sehingga memudahkan dalam proses perhitungan. Sistem Hindu-Arab dianggap lebih unggul dalam hal ini karena memberikan kemudahan dalam pengorganisasian angka dan himpunan, terutama dalam operasi penjumlahan dan perkalian. Penggunaan notasi Hindu-Arab memungkinkan penghitungan yang lebih efisien, terutama dalam operasi penjumlahan dan perkalian. Sistem ini memanfaatkan sifat distributif, asosiatif, dan komutatif, yang memudahkan dalam proses perhitungan dan memungkinkan penggunaannya dalam berbagai konteks. Notasi ini juga memungkinkan representasi yang lebih jelas dan ringkas dalam operasi matematika, sehingga memfasilitasi pemahaman yang lebih baik. Penekanan juga diberikan pada konsep pengelompokan objek menjadi himpunan, dan penggunaan himpunan untuk menggambarkan operasi matematika seperti penjumlahan dan perkalian. Konsep ini membantu dalam memahami hubungan antara himpunan objek dan operasi matematika yang dilakukan terhadap himpunan tersebut. Sifat-sifat dasar operasi matematika, seperti asosiatif dan komutatif, ditekankan dalam konteks penjumlahan dan perkalian. Sifat-sifat ini memungkinkan penggunaan notasi yang lebih efisien dalam operasi matematika, serta memfasilitasi proses penghitungan yang lebih cepat dan akurat. Dengan demikian, melalui pembahasan mengenai penamaan angka, penghitungan, dan sifat-sifat dasar operasi matematika, bab ini mengilustrasikan
pentingnya penggunaan notasi Hindu-Arab dalam menyederhanakan proses perhitungan matematika dan meningkatkan pemahaman konsep matematika secara keseluruhan. 3.2 Saran Diharapkan pembaca dapat memahami terkait paparan yang diberikan didalam makalah ini, sehingga dapat berguna sebagai literatur untuk gambaran dalam psikologi pembelajaran matematika.
