Download Fluid Mechanics: Conservation of Energy and Bernoulli's Equation and more Thesis Immigration Law in PDF only on Docsity!
BAB VI
HUKUM KEKEKALAN ENERGI
DAN PERSAMAAN BERNOULLI
Tujuan Intruksional Umum (TIU) Mahasiswa diharapkan dapat merencanakan suatu bangunan air berdasarkan konsep mekanika fluida, teori hidrostatika dan hidrodinamika. Tujuan Intruksional Khusus (TIK) 1. Mahasiswa dapat menjelaskan prinsip persamaan Euler
- Mahasiswa dapat merumuskan persamaan Bernoulli untuk aliran dalam pipa
- Mahasiswa dapat menghitung besarnya energi dan kehilangan energi aliran dalam pipa
- Mahasiswa dapat membuat diagram garis energi dan garis tekanan aliran dalam pipa
6.1. Pendahuluan Pada zat cair diam ( hydrostatic ), gaya-gaya yang bekerja dapat dihitung dengan mudah, karena dalam hidrostatika hanya bekerja gaya tekanan yang sederhana. Pada zat cair mengalir ( hydrodynamic ), permasalahan menjadi lebih sulit. Faktor-faktor yang diperhitungkan tidak hanya kecepatan dan arah partikel, tetapi juga pengaruh kekentalan ( viscosity ) yang menyebabkan gaya geser antara partikel-partikel zat cair dan juga antara zat cair dan dinding batas. Gerak zat cair tidak mudah diformulasikan secara matematik, sehingga diperlukan anggapan- anggapan dan percobaan-percobaan untuk mendukung penyelesaian secara teoritis. Persamaan energi yang mengGambarkan gerak partikel diturunkan dari persamaan gerak. Persamaan energi ini merupakan salah satu persamaan dasar
untuk menyelesaikan masalah yang ada dalam hidraulika. Persamaan energi dapat ditunjukkan oleh persamaan Euler dan persamaan Bernoulli.
6.2. Persamaan Euler Gambar 6.1 menunjukkan elemen berbentuk silinder dari suatu tabung arus yang bergerak sepanjang garis arus dengan kecepatan dan percepatan di suatu titik dan waktu tertentu adalah V dan a. Panjang, tampang lintang, dan rapat massa elemen tersebut adalah ds , dA , dan ρ sehingga berat elemen satuan adalah ds. dA ρ g. Oleh karena tidak ada gesekan maka gaya-gaya yang bekerja hanya gaya tekanan pada ujung elemen dan gaya berat. Hasil kali dari massa elemen dan percepatan harus sama dengan gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut.
Gambar 6.1 Elemen zat cair bergerak sepanjang garis arus F = M a (Hukum Newton II) (6.1) Dengan memperhitungkan gaya-gaya yang bekerja pada elemen, maka hukum Newton II untuk gerak partikel disepanjang garis arus menjadi :
ds
dA
dA
γ dsdA
p^ +∂ ∂ spds ^ dA
p. dA
dz
Persamaan (6.7) dikenal dengan persamaan Euler untuk aliran steady satu dimensi untuk zat cair ideal.
6.3. Persamaan Bernoulli Apabila kedua ruas dari persamaan (6.7) di bagi dengan g dan kemudian diintegralkan maka akan di dapat hasil berikut ini:
z + γ^ p^ + V 2 g^2 = C (6.8)
dengan: z = elevasi (tinggi tempat)
p (^) = tinggi tekanan
g
V
(^2) = tinggi kecepatan
Konstanta integral C adalah tinggi energi total, yang merupakan jumlah dari tinggi tempat, tinggi tekanan, dan tinggi kecepatan, yang berbeda dari garis arus yang satu ke garis arus yang lain. Oleh karena itu persamaan tersebut hanya berlaku untuk titik-titik pada suatu garis arus. Persamaan (6.8) dikenal dengan persamaan Bernoulli pada aliran s teady satu dimensi untuk zat cair ideal dan tak mampu mampat. Persamaan tersebut merupakan bentuk matematis dari kekekalan energi di dalam zat cair. Persamaan Bernoulli dapat digunakan untuk menentukan garis tekanan dan tenaga (Gambar 6.2).
Gambar 6.2 Garis tenaga dan tekanan pada zat cair Garis tenaga dapat ditunjukkan oleh elevasi muka air pada tabung pitot yang besarnya sama dengan tinggi total dari konstanta Bernoulli. Sedang garis tekanan dapat ditunjukkan oleh elevasi muka air di dalam tabung vertikal yang disambung pada tepi pipa.
H = z + γ^ p^ + V 2 g^2 (6.9)
Pada aliran zat cair ideal, garis tenaga mempunyai tinggi tetap yang menunjukkan jumlah dari tinggi elevasi, tinggi tekanan, dan tinggi kecepatan. Garis tekanan menunjukkan jumlah dari tinggi elevasi dan tinggi tekanan (z + p/γ) yang bisa naik atau turun pada arah aliran dan tergantung pada luas tampang aliran. Pada titik A dimana tampang aliran lebih kecil dari titik B akan menyebabkan tinggi kecepatan di A lebih besar daripada di B , mengingat VA lebih besar dari VB. Akibatnya tinggi tekanan di titik A lebih kecil dari B , karena
VA^2 /2g
A B
zB
Garis tenaga
pA/γ
VB^2 /2g pB/γ
zA
Garis tekanan
Pada pipa yang sangat panjang kehilangan energi primer jauh lebih besar dari pada kehilangan energi sekunder, sehingga kehilangan energi sekunder diabaikan. Jadi persamaan Bernoulli untuk fluida nyata dapat dituliskan sebagai berikut:
z 1 + γ p^1^ + 2 v^1 g^2 = z 2 + γ p^2^ + 2 vg^22 + ∑ h f + ∑ he (6.11)
Besarnya kehilangan energi primer akibat gesekan pada pipa dapat ditentukan sebagai berikut:
g hf kv 2 = 2 dimana D k = f^ L (6.12)
f (^) D = 0 , 02 +^0 ,^0005 (6.13)
Dimana: D = diameter pipa (m) L = panjang pipa (m) v = kecepatan aliran (m/det) g = gravitasi (m/det^2 ) f = koefesien kehilangan energi gesekan pipa Kehilangan energi sekunder dapat diakibatkan karena adanya perubahan penampang pipa, belokan pipa, katup, dan lain-lain. Besarnya kehilangan energi sekunder dirumuskan sebagai berikut:
g he kv 2 22 = (6.14)
dimana : v = kecepatan aliran (m/det)
g = percepatan grafitasi (m/det^2 ) k = koefesien kehilangan energi sekunder Besarnya nilai k untuk kehilangan energi sekunder tergantung oleh jenis penyebab kehilangan energinya. Tabel 6.1. Koefesien kehilangan energi akibat perubahan penampang ( k 1 ) (D 1 /D 2 )^2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, k 1 0,5 0,48 0,45 0,41 0,36 0,29 0,21 0,13 0,07 0,01 0,
Tabel 6.2. Koefesien kehilangan energi akibat belokan ( k 2 ) Sudut (..o) 5 10 15 22,5 30 45 60 90 k 2^ Halus^ 0,016^ 0,034^ 0,042^ 0,066^ 0,130^ 0,236^ 0,471^ 1, Kasar 0,024 0,044 0,062 0,154 0,165 0,320 0,684 1,
6.5. Perlatihan 1). Suatu pipa mempunyai luas tampang yang mengecil dari diameter 0,3 m ( tampang 1 ) menjadi 0,1 m ( tampang 2 ). Selisih tampang 1 dan 2 adalah z dengan posisi seperti Gambar.
1 2
z
v 12 /2g
E.L
p 1 /γ
v 22 /2g
p 2 /γ
g z 2 g
10 6 ,^366
0 + 20 +^0 ,^7072 = + +^2
z = 7 , 96 m
Jadi nilai z nya adalah 7, 96 meter.
2.) Air mengalir melalui pipa sepanjang 100 m dan berdiameter 10 cm dari titik A menuju ke titik B. koefesien gesekan f = 0,015. Perbedaan tekanan di A dan B adalah 1 kg/cm^2. Hitung debit aliranya.
g
v 2
2
p A
p B
Penyelesaian Koefesien gesekan f = 0, Perbedaan tekanan antara A dan B ∆p = 1 kg/cm^2 = 10.000 kg/m^2 Persamaan bernoulli antara titik A(1) dan B(2) adalah
A B
L = 100 m
D = 10 cm v
hf
g
v 2
2
z 1 + γ p^1^ + 2 vg
12
= z 2 + γ p^2^ + 2 vg
(^22)
Karena pipa horisontal maka (z 1 = z 2 ) dan kecepatan aliran sepanjang pipa aliran adalah sama, v 1 = v 2. Maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi :
hf = p^1 − p^2 =^ ∆^ p
Sehingga
p g
V
D
f L =∆ 2
2
x x x v v = 3,617 m/det Debit aliran adalah : Q = A.v = ¼ x π x 0,1^2 x 3, = 0,0284 m^3 /det 3.) Air mengalir dari kolam A menuju kolam B melalui pipa sepanjang 100 meter dan berdiameter 10 cm. Perbedaan elevasi muka air kedua kolam adalah 5 meter. Koefesien gesekan pipa f = 0,015, sedangkan koefesien kehilangan energi akibat perubahan penampang pada sambungan kolam A dan kolam B adalah kA = 0,5 dan kB = 1. Hitunglah debit aliran yang terjadi.
