Download Subruang didalam vektor and more Lecture notes Vector Analysis in PDF only on Docsity!
Bab 11. BEBAS LINIER
I. Pendahuluan
1. Sasaran Belajar : Setelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa diharapkan : mampu menerapkan prinsip-prinsip deduksi matematis dilengkapi dengan kemampuan simbolik dan abstraksi dalam proses analisis dan sintesis terhadap berbagai masalah baku ( standard problem-solvings ) yang bisa diselesaikan dengan menggunakan Aljabar Linear, khususnya konsep matriks. dapat melakukan komputasi matriks dan Aljabar Linear dengan menggunakan paket-paket komputasi dalam MAPLE, MATLAB, dsb. 2. Sasaran Pembelajaran :
Mampu menentukan himpunan vektor-vektor bebas atau tak bebas linier, mampu menentukan kebebasan linier beberapa vektor dengan menentukan tunggal atau tak tunggalnya solusi suatu SPL homogin, mampu menentukan kebebasan linier vektor- vektor dengan lebih dari satu cara
3. Deskripsi Kegiatan Belajar
Kebebasan linier vektor-vektor a 1 , a 2 , ..., a n dan kaitannya dengan SPL homogin
x 1 a 1 + x 2 a 2 +...+ xn a n = 0 ,
juga kaitannya dengan penyajian vektor b sbg komb linier b = x 1 a 1 + x 2 a 2 +...+ xn a n secara tunggal atau secara tidak tunggal, penentuan kebebasan linier fungsi-fungsi dengan determinan Wronski.
II. Uraian Materi
Pada subbab sebelumnya telah dipelajari bahwa himpunan dari vektor-vektor S = {v 1 , v 2 , … , vr } merentang pada ruang vektor V jika setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S. Secara umum, kemungkinan terdapat lebih dari satu cara untuk mengekspresikan sebuah vektor dalam V sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam himpunan perentang. Pada bagian ini dipelajari kondisi-kondisi di mana setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor perentang tepat dengan satu cara. Himpunan- himpunan perentang dengan sifatnya memainkan aturan fundamental dalam pembelajaran ruang vektor.
DEFINISI
Jika 𝑆 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟 } adalah suatu himpunan vektor tidak kosong, maka persamaan vektornya
𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝑣𝑟 = 0
memiliki paling sedikit satu solusi, yaitu
𝑘 1 = 0, 𝑘 2 = 0, …, 𝑘𝑟 = 0
Jika ini adalah satu-satunya solusi, maka 𝑆 disebut himpunan bebas linier. Jika terdapat solusi yang lain, maka 𝑆 disebut himpunan bergantung linier.
CONTOH 1 Himpunan Bergantung Linier
Jika 𝑣 1 = (2, −1, 0, 3), 𝑣 2 = (1, 2, 5, −1) dan 𝑣 3 = (7, −1,5,8), maka himpunan vektor 𝑆 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 } adalah bergantung linier karena 3 𝑣 1 + 𝑣 2 − 𝑣 3 = 0
CONTOH 2 Himpunan Bebas Linier
Polinomial
𝑝 1 = 1 − 𝑥, 𝑝 2 = 5 + 3𝑥 − 2 𝑥^2 , dan 𝑝 3 = 1 + 3𝑥 − 𝑥^2
membentuk sebuah himpunan bebas linier dalam 𝑝 2 karena 3 𝑝 1 − 𝑝 2 + 2𝑝 3 = 0
CONTOH 3 Himpunan-himpunan Bebas Linier
Pertimbangkan vektor 𝒊 = 1, 0, 0 , 𝒋 = (0, 1, 0) dan 𝒌 = (0, 0, 1) dalam R^3. Dengan substitusi nilai komponen, persamaan vektor
𝑘 1 𝒊 + 𝑘 2 𝒋 + 𝑘 3 𝒌 = 0
menjadi
𝑘 1 1, 0, 0 + 𝑘 2 0,1,0 + 𝑘 3 0,0,1 = (0,0,0)
Atau, ekuivalen dengan
𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 = (0,0,0)
Ini berarti bahwa 𝑘 1 = 0, 𝑘 2 = 0 dan 𝑘 3 = 0. Jadi, himpunan 𝑆 = {𝒊, 𝒋, 𝒌} bebas linier. Argumen yang sama dapat pula digunakan untuk menunjukkan bahwa vektor-vektor
𝑒 1 = 1,0,0, … ,0 , 𝑒 2 = 0,1,0, … ,0 , … 𝑒𝑛 = (0,0,0, … ,1)
membentuk suatu himpunan bebas linier dalam Rn.
Solusi
Misalkan 𝑝 0 = 1, 𝑝 1 = 𝑥, 𝑝 2 = 𝑥^2 , … , 𝑝𝑛 = 𝑥𝑛^ dan asumsikan bahwa beberapa kombinasi linier dari polinomial tersebut bernilai nol, katakan
𝑎 0 𝑝 0 + 𝑎 1 𝑝 1 + 𝐀⚦ 2 𝑝 2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑝𝑛 = 0
Atau ekuivalen dengan
𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥𝐀 + 𝑎 2 𝑥^2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛^ = 0 untuk semua 𝑥 dalam (−∞, ∞) (1)
harus diperlihatkan bahwa
𝑎 0 = 𝑎 1 = 𝑎 2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0
Untuk melihat bahwa ini benar, ingat kembali pada aljabar bahwa polinomial berderajat n yang tidak nol paling banyak memiliki n akar yang berbeda. Tapi ini menyiratkan bahwa 𝑎 0 = 𝑎 1 = 𝑎 2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0; Sebaliknya, ini akan mengikuti dari persamaan (1) bahwa 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥^2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛^ adalah polinomial tidak nol dengan jumlah akar yang tak hingga
Istilah bebas linier menunjukkan bahwa vektor “bergantung” satu sama lain dalam beberapa cara. Teorema berikut menunjukkan bahwa ini sebenarnya terjadi
TEOREMA 11.
Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor adalah
(a) Bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit satu dari vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor yang lain dalam S (b) Bebas linier jika dan hanya jika tidak terdapat vektor dalam S yang bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor yang lain dalam S.
bagian (a) akan dibuktikan dan meninggalkan pembuktian bagian (b) sebagai latihan
Pembuktian (a) Misalkan 𝑆 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟 } adalah himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika diasumsikan bahwa 𝑆 adalah begantung linier, maka terdapat bilangan skalar 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘𝑟 tidak semua nol, sedemikian sehingga
𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝑣𝑟 = 0 (2)
Untuk lebih spesifik, nyatakan bahwa 𝑘 1 ≠ 0. Maka persamaan (2) dapat ditulis ulang sebagai
𝑣 1 = −
𝑘 1 𝑣^2 +^ ⋯^ + (−
Yang mengekspresikan 𝑣 1 sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain dalam S. Demikian pula, jika 𝑘𝑗 ≠ 0 pada persamaan (2) untuk beberapa 𝑗 = 2,3, … , 𝑟, maka 𝑣𝑗 dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor yang lain dalam S.
Sebaliknya, mari asumsikan bahwa paling sedikit satu dari vektor-vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain. Untuk lebih spesifik asumsikan bahwa
𝑣 1 = 𝑐 2 𝑣 2 + 𝑐 3 𝑣 3 + ⋯ + 𝑐𝑟𝑣𝑟
Jadi
𝑣 1 − 𝑐 2 𝑣 2 − 𝑐 3 𝑣 3 − ⋯ − 𝑐𝑟𝑣𝑟 = 0
Itu mengikuti bahwa S bergantung linier karena persamaan
𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝑣𝑟 = 0
terpenuhi oleh
𝑘 1 = 1, 𝑘 2 = −𝑐 2 , … , 𝑘𝑟 = −𝑐𝑟
di mana tidak semuanya bernilai nol. Bukti terhadap kasus di mana beberapa vektor selain dari 𝑣 1 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lain dalam S adalah serupa.
CONTOH 6 Peninjauan Kembali Contoh 1
Pada contoh 1 dapat dilihat bahwa vektor-vektor
𝑣 1 = 2, −1, 0, 3 , 𝑣 2 = (1, 2, 5, −1) dan 𝑣 3 = (7, −1, 5, 8)
membentuk suatu himpunan bergantung linier. Mengikuti dari teorema 11.1 bahwa terdapat paling sedikit satu dari vektor-vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua yang lain. Dalam contoh ini setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua yang lain karena mengikuti dari persamaan 3 𝑣 1 + 𝑣 2 − 𝑣 3 = 0 (lihat contoh 1) bahwa
𝑣 1 = − 13 𝑣 2 + 13 𝑣 3 , 𝑣 2 = − 3 𝑣 1 + 𝑣 3 , dan 𝑣 3 = 3𝑣 1 + 𝑣 2
CONTOH 7 Peninjauan Kembali Contoh 3
Dalam contoh 3 dapat dilihat bahwa vektor-vektor 𝒊 = 1, 0, 0 , 𝒋 = (0,1,0) dan 𝒌 = (0,0,1) membentuk suatu himpunan bebas linier. Jadi, ini mengikuti dari teorema 5.3. bahwa tidak ada satupun dari vektor-vektor ini dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi
Kebebasan linier memiliki banyak interpretasi geometrik yang bermanfaat dalam R^2 dan R^3
Dalam R^2 atau R^3 , himpunan dari dua vektor adalah bebas independen jika dan hanya jika vektor-vektornya tidak berada pada garis yang sama ketika mereka ditempatkan dengan titik asal pada origin (gambar 11.1)
(a) Bergantung linier
(b) Bergantung linier
(c) Bebas linier
Gambar 11. Dalam R^3 , himpunan dari tiga vektor disebut bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama ketika mereka ditempatkan dengan titik awal pada origin (Gambar 11.2)
(a) Bergantung linier
(b) Bergantung linier
(c) Bebas linier Gambar 11. Hasil yang pertama mengikuti dari fakta bahwa dua vektor dinyatakan bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan hasil perkalian skalar dari vektor yang lain. Secara geometri, pernyataan ini ekuivalen untuk menyatakan bahwa vektor yang tidak terletak pada garis yang sama ketika mereka ditempatkan dengan titik asal pada origin. Hasil kedua mengikuti dari fakta bahwa tiga vektor dinyatakan bebas linier jika dan hanya jika tidak ada satupun dari vektor tersebut yang merupakan kombinasi linier dai dua vektor yang lain. Secara geometri, pernyataan ini ekuivalen untuk menyatakan bahwa tidak ada vektor yang terletak pada bidang yang sama terhadap dua vektor yang lain. Alternatifnya, bahwa ketiga vektor tidak terletak pada bidang yang sama ketika mereka diposisikan dengan titik asal pada origin (mengapa?)
Membentuk sebuah himpunan bergantung linier pada 𝐹(−∞, ∞), karena persamaan
5 𝐟 1 + 5𝐟 2 − 𝐟𝟑 = 5𝑠𝑖𝑛^2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠^2 𝑥 − 5 = 5 𝑠𝑖𝑛^2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠^2 𝑥 − 5 = 𝟎
menyatakan 0 sebagai sebuah kombinasi linier dari 𝐟 1 , 𝐟 2 , dan 𝐟 3 dengan koefisien yang tidak semuanya nol. Bagaimanapun, ini hanya berada dalam situasi yang spesial bahwa identitas tersebut dapat diterapkan. Meskipun tidak ada metode umum yang dapat digunakan untuk memastikan apakah fungsi yang bebas linier atau bergantung linier pada 𝐹(−∞, ∞), sekarang akan dikembangkan teorema yang terkadang dapat digunakan untuk memperlihatkan himpunan fungsi yang diberikan adalah bebas linier.
Jika 𝐟𝟏 = 𝑓 1 𝑥 , 𝐟𝟐 = 𝑓 2 𝑥 , … , 𝐀 𝐀𝐀𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) dan fungsi yang dapat diturunkan 𝑛 − 1 kali
pada interval (−∞, ∞), maka determinan
𝑓 1 𝑛−^1 (𝑥) 𝑓 2 𝑛 −^1 (𝑥) ⋯ 𝑓𝑛𝑛−^1 (𝑥)
disebut Wronskian dari 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓𝑛. Seperti yang akan ditunjukkan sekarang,
determinan sangat bermanfaat untuk memastikan apakah fungsi 𝐟 1 , 𝐟 2 , … , 𝐟𝑛 membentuk
sebuah himpunan vektor-vektor bebas linier dalam ruang vektor 𝐶 𝑛−^1 (−∞, ∞).
Misalkan, untuk saat ini bahwa 𝐟 1 , 𝐟 2 , … , 𝐟𝑛 adalah vektor-vektor bergantung linier dalam
𝐶 𝑛−^1 −∞, ∞. Maka terdapat skalar yang tersedia 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘𝑛 tidak semua nol, sedemikian sehingga
𝑘 1 𝑓 1 𝑥 + 𝑘 2 𝑓 2 𝑥 + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0
Untuk semua 𝑥 dalam interval −∞, ∞. Menggabungkan persamaan ini dengan persamaan yang diperoleh dengan 𝑛 − 1 , hasil diferensiasi berturut-turut
𝑘 1 𝑓 1 𝑥 + 𝑘 2 𝑓 2 𝑥 + ⋯ + 𝑘𝐀 獲𝑓𝑛 𝑥 = 0
𝑘 1 𝑓 1 ′^ 𝑥 + 𝑘 2 𝑓 2 ′′^ 𝑥 + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0
𝑘 1 𝑓 1 𝑛−^1 𝑥 + 𝑘 2 𝑓 2 𝑛−^1 𝑥 + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛^ 𝑛−^1 = 0
Maka, ketergantungan linier 𝐟 1 , 𝐟 2 , … , 𝐟𝑛menyiratkan bahwa sistem linier
𝑓 1 𝑛−^1 (𝑥) 𝑓 2 𝑛−^1 (𝑥) ⋯ 𝑓𝑛^ 𝑛−^1 (𝑥)
Memiliki sebuah solusi nontrivial untuk semua 𝑥 dalam interval (−∞, ∞). Ini meyiratkan pada gilirannya bahwa semua 𝑥 dalam (−∞, ∞) koefisien matriksnya tidak invertible, atau, ekuivalennya bahwa determinannya (wronskian) adalah nol untuk semua 𝑥 dalam (−∞, ∞). Sehingga, apabila Wronskiannya tidak identik dengan nol pada (−∞, ∞), maka
fungsi 𝐟 1 , 𝐟 2 , … , 𝐟𝑛 haruslah berbentuk vektor-vektor bebas linier dalam 𝐶 𝑛−^1 −∞, ∞. Ini adalah isi dari teorema berikut.
TEOREMA 11.
Jika fungsi-fungsi 𝒇 1 , 𝒇 2 , … 𝒇𝑛 memiliki 𝑛 − 1 turunan yang kontinu pada interval
(−∞, ∞) , dan jika Wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak identik nol pada (−∞, ∞) , maka fungsi-fungsi ini membentuk sebuah himpunan vektor-vektor yang bebas linier pada
𝐀? 𝑛−^1 (−∞, ∞).
Tunjukkan bahwa fungsi 𝐟𝟏 = 𝑥 dan 𝐟𝟐 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 membentuk sebuah himpunan vektor-
vektor bebas linier dalam 𝐶^1 (−∞, ∞).
Solusi
Dalam contoh 8, telah ditunjukkan bahwa vektor-vektor ini membentuk sebuah himpunan bebas linier dengan mencatat bahwa tidak ada vektor yang merupakan hasil perkalian skalar dari vektor lain.
CONTOH 9 Himpunan Bebas Linier dalam 𝑪𝟏(−∞, ∞)
Bagaimanapun, untuk ilustrasi dari tujuannya, akan diperoleh hasil yang sama dengan menggunakan teorema 11.4. Wronskiannya adalah
𝑊 𝑥 = 𝑥^ 𝑠𝑖𝑛^ 𝑥
1 cos 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 − sin 𝑥
(c) 6 − 𝑥^2 , 1 + 𝑥 + 4𝑥^2 (d) 1 + 3𝑥 + 3𝑥^2 , 𝑥 + 4𝑥^2 , 5 + 3𝑥^2 , 7 + 2𝑥 − 𝑥^2
- Asumsikan bahwa 𝑣 1 , 𝑣 2 dan 𝑣 3 adalah vektor-vektor dalam R^3 yang memiliki titik asal pada origin. Dalam setiap bagian, tentukan apakah ketiga vektor tersebut berada pada sebuah bidang (a) 𝑣 1 = (2, −2, 0), 𝑣 2 = (6, 1, 4), 𝑣 3 = (2, 0, −4) (b) 𝑣 1 = −6, 7, 2 , 𝑣 2 = (3, 2, 4), 𝑣 3 = (4, −1, 2)
- Asumsikan bahwa 𝑣 1 , 𝑣 2 dan 𝑣 3 adalah vektor-vektor dalam R^3 yang memiliki titik asal pada origin. Pada setiap bagian, tentukan apakah ketiga vektor tersebut berada pada garis yang sama (a) 𝑣 1 = (−1, 2, 3), 𝑣 2 = (2, −4, −6), 𝑣 3 = (−3, 6, 0) (b) 𝑣 1 = (2, −1, 4), 𝑣 2 = 4, 2, 3 , 𝑣 3 = (2, 7, −6) (c) 𝑣 1 = (4, 6, 8), 𝑣 2 = (2, 3, 4), 𝑣 3 = (−2, −3, −4)
- (a) Tunjukkan bahwa vektor-vektor 𝑣 1 = (0, 3, 1, −1), 𝑣 2 = (6, 0, 5, 1), dan 𝑣 3 = (4, −7, 1, 3) membentuk sebuah himpunan bergantung linier dalam R^4 (b) Nyatakan setiap vektor sebagai sebuah kombinasi linier dari dua yang lainnya
- (a) Tunjukkan bahwa vektor-vektor 𝑣 1 = 1, 2, 3, 4 , 𝑣 2 = 0, 1, 0, − 1 , dan 𝑣 3 = (1, 3, 3, 3) membentuk sebuah himpunan bergantung linier dalam R^4 (b) Nyatakan setiap vektor sebagai sebuah kombinasi linier dari dua yang lainnya
- Untuk bilang real 𝜆 berapakah vektor-vektor berikut membentuk sebuah himpunan bergantung linier pada R^3? 𝑣 1 = 𝜆, −
- Tunjukkan bahwa jika {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 } adalah himpunan vektor-vektor yang bebas linier, maka begitu juga berlaku untuk 𝑣 1 , 𝑣 2 , {𝑣 1 , 𝑣 3 }, {𝑣 2 , 𝑣 3 }, {𝑣 1 }, 𝑣 2 , dan {𝑣 3 }
- Tunjukkan bahwa jika 𝑆 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 3 } adalah sebuah himpunan vektor-vektor bebas linier, maka begitu juga pada setiap subset tidak kosong dari 𝑆
- Tunjukkan bahwa jika {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 } adalah sebuah himpunan vektor-vektor bergantung linier dari sebuah ruang vektor V , dan 𝑣 4 adalah sebarang vektor dalam V , maka {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 } juga bergantung linier
- Tunjukkan bahwa jika {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟 } adalah sebuah himpunan vektor-vektor bergantung linier pada sebuah ruang vektor V , dan jika 𝑣𝑟+1, … , 𝑣𝑛adalah sebarang vektor dalam V , maka {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟, 𝑣𝑟+1, … , 𝑣𝑛 } juga bergantung linier
- Tunjukkan bahwa setiap himpunan dengan lebih dari tiga vektor dalam P 2 adalah bergantung linier
- Tunjukkan bahwa jika {𝑣 1 , 𝑣 2 } adalah bebas linier dan 𝑣 3 tidak berada pada perentang {𝑣 1 , 𝑣 2 }, maka {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 }adalah bebas linier
- Buktikan: Untuk sebarang vektor 𝒖, 𝒗 dan 𝒘 , vektor-vektor 𝐮 − 𝐯, 𝐯 − 𝐰 dan 𝐰 − 𝐮 membentuk sebuah himpunan bergantung linier
- Apakah vektor-vektor 𝑣 1 , 𝑣 2 dan 𝑣 3 di bagian (a) pada gambar yang terlampir bebas linier? Bagaimana dengan bagian (b)?
Bahan untuk didiskusikan
- Tunjukkan apakah setiap pernyataan ini selalu bernilai benar atau terkadang salah. Jelaskan jawaban anda dengan memberikan argumen yang logis atau sebuah contoh penyangkal (a) Himpunan dari matriks 2 x 2 yang mengandung tepat dua unsur 1 dan dua insur 0 adalah himpunan bebas linier dalam M 22. (b) Jika {𝑣 1 , 𝑣 2 } adalah sebuah himpunan bergantung linier, maka setiap vektor adalah perkalian skalar dari vektor yang lain
(c) Jika {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝐀 ㍦ 3 } adalah himpunan bergantung linier, maka begitu juga
himpunan {𝑘𝑣 1 , 𝑘𝑣 2 , 𝑘𝑣 3 } untuk semua bilangan skalar k tidak nol
c. Pedoman Penilaian Mahasiswa yang dapat menyelesaikan soal latihan dengan benar minimal 30% dapat melanjutkan pembelajaran materi selanjutnya.
d. Daftar Pustaka
Horward Anton, Chris Rorres, 2005. Elementary Linier Algebra, Applications Version, Edisi 9, John Wiley & Sons. Jack L. Goldberg. MatrixTheory, McGraw-Hill, 1991. Karim M. Abadir, Jan R. Magnus, 2005. Matrix Algebra, Cambridge University Press. Leslie Hogben et al (editors), 2007. Handbook of Linier Algebra, Chapman & Hall/CRC.
Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson, 2004. Schaum’s Outline of Linier Algebra, Edisi 3, McGraw-Hill.
