Download Structural Analysis of Multi-Story Buildings: A Step-by-Step Guide to Modal Analysis and more Exercises Engineering in PDF only on Docsity!
ÇÖZÜM:
a) Deprem hareketine maruz olması durumunda hareket denklemi,
1.Kat için denge denklemi;
3 2 2
F 2 ( ) t + f s + fs − fI = 0
m x 1 1 (^) + k x 1 1 (^) − k 2 (^) ( x 2 (^) − x 1 (^) ) = F t 1 ( )
2.Kat için denge denklemi;
3 2 2
F 2 ( ) t + f s + fs − fI = 0
m x 2 2 (^) + k 2 (^) ( x 2 (^) − x 1 (^) ) − k 3 (^) ( x 3 (^) − x 2 (^) ) = F 2 ( ) t
3.Kat için denge denklemi;
4 3 3 F t 3 ( ) + f (^) s + f (^) s − fI = 0
m x 3 3 (^) + k 3 (^) ( x 3 (^) − x 2 (^) ) − k 4 (^) ( x 4 (^) − x 3 (^) ) = F t 3 ( )
4.Kat için denge denklemi;
4 4
F 4 ( ) t + f s − fI = 0
m x 4 4 (^) + k 4 (^) ( x 4 (^) − x 3 (^) ) = F 4 ( ) t
Hareket denklemi;
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 2 2 2 (^3 3 3 3 4 43 ) 4 4 4 4 4 4
m k k k x x F t m (^) x k k k k x F t m k k k k x x F t m k k x x F t
+^ −
^ m ^ x^ +^ k^ x^ = F m ^ x^ +^ k^ x^ = − m ^ r^ x g
b) Sistemin doğal açısal frekansları, doğal frekansları ve doğal periyotları,
Her bir katın kütlesi,
m 1 =m 2 =m 3 =127.421 kNs2/m
m 4 =84.098 kNs2/m
Her bir kolonun atalet momenti, (^3) 0.250.6 (^3 3 ) 4.5 12 12
I =^ bh = = − m
1., 2.,3. ve 4. katlara ait toplam rijitlik,
6 3 (^1 2 3 4 3 )
k k k k EI kN m L
−
=^ =^ =^ =^ =^ =
Kütle matrisi,
1 2 3 4
m m m m
Rijitlik matrisi,
k
= ^
Doğal açısal frekanslar, doğal frekanslar, doğal periyotlar,
k^ −^ ^2 m =^0
2
2 2 11 2 21 2 31 41
^ ^
12 =247.48ve 11 =1.000yazılırsa,
11 1 21 31 41
elde edilir.
2.Mod için;
2 2 12 2 22 2 32 42
448000 127.421 (^224000 0 0 ) 224000 448000 127.421 (^224000 0 ) 0 224000 448000 127.421 (^224000 ) 0 0 224000 224000 84.098 (^0)
− − ^ ^ ^ ^ −^ −^ −^ ^ ^ ^ ^ = −^ −^ −^ ^ ^ −^ − ^ ^
2
2 =2009.96 ve 12 =1.000yazılırsa,
11 1 21 31 41
elde edilir.
3.Mod için;
2 2 13 2 23 2 33 43
448000 127.421 (^224000 0 0 ) 224000 448000 127.421 (^224000 0 ) 0 224000 448000 127.421 (^224000 ) 0 0 224000 224000 84.098 (^0)
^ ^ − − (^) (^) − − − (^) (^) = (^) − − − (^) − −
2
3 =4525.26 ve 12 =1.000yazılırsa,
13 1 23 33 43
=^ −
elde edilir.
4 .Mod için;
2 2 13 2 23 2 33 43
448000 127.421 (^224000 0 0 ) 224000 448000 127.421 (^224000 0 ) 0 224000 448000 127.421 (^224000 ) 0 0 224000 224000 84.098 (^0)
^ ^ − − (^) (^) − − − (^) (^) = (^) − − − (^) − −
2
4 =6428.57 ve 12 =1.000yazılırsa,
13 1 23 33 43
=^ −
elde edilir.
Mod Şekilleri,
Modların normalleştirilmesi;
1.Mod için;
23
24
2
3.Mod için
3 3
^ T m
= − − ^
^ ^^ T 3 ^ m 3 =316.
31
32
33
34
3
4.Mod için,
4 4
^ T m
= − − ^
^ ^4^ T ^ m 4 =980.
41
42
43
44
4
Kontrol;
^ T m = I olmalıdır.
0.0226 0.042 0.0556 0.061 127.421 0 0 0 0.0226 0.055 0.0562 0. 0.055 0.048 0.044 0.0588 0 127.421 0 0 0.042 0.048 0.032 0. 0.0562 0.032 0.0376 0.0584 0 0 127.421 0 0.032 0.0527 0.0552 0.0389 0 0 0 84.
(^) − − − − (^) − − (^) − −
527 0.0556 0.0144 0.0376 0. 0.061 0.0588 0.0584 0.
(^) − − (^) − −
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
(^) =
elde edilir ve şartı sağlamaktadır.
d) Genelleştirilmiş kütle ve rijitlik matrisleri,
2.Mod için,
2 2 2 (^2 2 )
1 0.86 0.26 1.06 0 127.421^0 0 0.
T T
P^ m^ r m (^) m
− − ^
= = = ^
− − ^
3.Mod için,
3 3 3 (^3 3 )
1 0.57 0.67 1.04 0 127.421^0 0 0.
T T
P^ m^ r m (^) m
− − ^
= = = ^
− − ^
4.Mod için,
4 4 4 (^4 4 )
T T
P^ m^ r m (^) m
− − ^
= = = ^
− − ^
Modal Katkı Faktörü;
1 2 3 4
^
^
Birinci titreşim modunda taban kesme kuvveti modal etkin kütlesi
( ) ( )^4 1 1 1 1 txX X i ix^ 0.463(127.4211 + 127.4211.86 + 127.4212.46+84.0982.71) i
m m
İkinci titreşim modunda taban kesme kuvveti modal etkin kütlesi
( ) ( )^4 2 2 1 1 0.353(127.4211 + 127.4210.86 - 127.4210.26-84.0981.06) X X
mtx = = i = mi ix =
S S = 1.162 S 1 = 0.285 PGA =0.474 PGV =28.
PGA = 0.203, PGV = 10.817 değerleri Türkiye Deprem Tehlike Haritaları İnteraktif Web
Uygulaması ile bulunmuştur.
S DS = S S F S = 1.162 x 1.200 = 1. S D1 = S 1 F 1 = 0.285 x 1.500 = 0.
TB TA
( 1 ) 1 0.428 1.
Sae T S^ D g T
1
a 1
R T R
I
1
aR 8 S T =^ g = g
Fi = i m (^) i SaR ( Ti )
11 12 13 14
i
F
F F
F
F
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
= = ^ =
^
^
^ ^ ^ ^
Vt (^) 1 = 77.44 + 144.03.190.49 + 138.51 =550.47 kN
( ) 4 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 tx X^ ix X^ txX aR^ (^ )^ 419.380.13389.81^ 550. i
V f m S T N
Sae ( T )= SDS
Sae ( T 2 ) =1.394g
( 2 ) ( ) 2 2.5 ( 8 2.5) 0.14 5. a B 1 0. R T D R D^ T I T
= + − = + − =
2
aR 5. S T = = g
Fi = i m (^) i SaR ( Ti )
12 2 12 12 12
F
F F
F
F
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
= = ^ =
^ ^ −^ −
^ − −
^ ^ ^ ^
Vt (^) 2 = 116.49 + 100.18 − 30.29 − 81.49 =104.89 kN
( ) 4 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 tx X^ ix X^ txX aR^ (^ )^ 40.490.2649.81^ 104. i
V f m S T kN
Sae ( T )= SDS
14 4 24 34 44
F
F F
F
F
^ ^ ^ ^
^ ^ − ^ ^ −
= = ^ =
^
^ − −
^ ^ ^ ^
Vt (^) 4 = 145.48 − 240.03 + 251.68 − 117.13 = 40 kN
( ) 4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 tx X^ ix X^ txX aR^ (^ )^ 1.250.3269.81^40 i
V f m S T kN
Maksimum taban kesme kuvvetinin hesabı;
(^4 2 2 2 2 ) 1 tx^ (^ ti )^ (550.47)^ (104.89)^ (30.87)^ (40)^ 562. i
V V kN
TBDY-2018 Madde 4.8.4’e göre; A1, B2 veya B3 düzensizliklerinden en az birinin binada
bulunması durumunda mod birleştirme yöntemiyle elde edilen taban kesme kuvveti; eşdeğer
deprem yükü yöntemiyle elde edilen taban kesme kuvvetinin %90’ninden az olmamalıdır. A1,
B2 veya B3 düzensizliklerinin binada bulunmaması durumunda ise mod birleştirme yöntemiyle
elde edilen taban kesme kuvveti; eşdeğer deprem yükü yöntemiyle elde edilen taban kesme
kuvvetinin %80’ninden az olmamalıdır. Burada %80 şartına bakılacaktır.
( ) (^1 )^ 466.3610.13389.81^ 612.
X^ t^ aR tE t DS
m S T kN V m IS g kN
^ =^ =
=^ =
Modal yer değiştirmelerin hesabı;
2
i aR i d i aR i i
Mod rad sn T sn S T S S T mm
y^ 1 =^ ^ 1 1 (^ Sd ) 1
11 11 21 21 1 1 31 31 41 41
d
y y S mm y y
^ ^ ^
^ ^ ^
=^ ^ =^ =
y^ 2 =^ ^ 2 2 (^ Sd ) 2
12 12 22 22 2 2 32 32 42 42
d
y y S mm y y
^ ^ ^
^ ^ ^
=^ ^ =^ =
y^ 3 =^ ^ 3 3 (^ Sd ) 3
13 13 23 23 3 3 33 33 43 43
d
y y S mm y y
^ ^ ^
^ − ^ ^ −
=^ ^ =^ =
−^ −
y^ 4 =^ ^ 4 4 (^ Sd ) 4
14 14 24 24 4 4 34 34 44 44
( ) 1.65^ *0.0357 *0.000497 0.
d
y y S mm y y
^ ^ ^
^ − ^ ^ −
=^ ^ =^ =
h) SRSS yöntemiyle yerdeğiştirmeleri, kat kesme kuvvetleri ve momentleri,
Toplam yer değiştirmelerin hesabı;
