Slide Toán Cao Cấp: Chương 1, Slides of Mathematical logic

Download Slide Toán Cao Cấp: Chương 1 and more Slides Mathematical logic in PDF only on Docsity!

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VÉC TƠ ℝ

TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN I

CHƯƠNG 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 4. DẠNG TOÀN PHƯƠNG

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN VÉC TƠ ℝ

BÀI 1 KHÔNG GIAN

VÉC TƠ n CHIỀU ℝ

hoặc dạng hàng 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 gọi là một véc tơ 𝒏 chiều, trong đó 𝒙𝒊 là tọa độ thứ 𝒊 của véc tơ đó. Các véc tơ thường kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như 𝑿, 𝒀, 𝑨, 𝑩, …

1. Định nghĩa 1 Véc tơ không 𝒏 chiều: 𝑶𝒏 = 𝟎, 𝟎, … , 𝟎. Các véc tơ đơn vị 𝒏 chiều: 𝑬𝟏 = 𝟏, 𝟎, … , 𝟎 , 𝑬𝟐 = 𝟎, 𝟏, … , 𝟎 ,..., 𝑬𝒏 = 𝟎, … , 𝟎, 𝟏. 4. Định nghĩa 4 (^) Hai véc tơ cùng 𝒏 chiều bằng nhau 𝑿 = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 , 𝒀 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, … , 𝒚𝒏

**2. Định nghĩa 2

3. Định nghĩa 3 Mỗi bộ gồm** 𝒏 số thực 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 được xếp có thứ tự viết dạng cột 𝒙𝟏 𝒙𝟐 … 𝒙𝒏

**1. Phép cộng hai véc tơ

2. Phép nhân véc tơ với một số thực** 𝝀𝑿 = 𝝀𝒙𝟏, 𝝀𝒙𝟐, … , 𝝀𝒙𝒏. 3. Tích vô hướng của hai véc tơ 𝑿, 𝒀 = 𝒙𝟏𝒚𝟏 + 𝒙𝟐𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏𝒚𝒏.

Cho hai véc tơ 𝒏 chiều 𝑿 = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 , 𝒀 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, … , 𝒚𝒏 và 𝝀 ∈ ℝ.

III. KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU

Định nghĩa: Tập hợp tất cả các véc tơ n chiều cùng với hai phép toán cộng 2 véc tơ và nhân véc tơ với một số thực được gọi là một không gian véc tơ n chiều. Kí hiệu: ℝ 𝒏 .

BÀI 2

CÁC MỐI LIÊN HỆ

TUYẾN TÍNH TRONG ℝ

Cho hệ véc tơ 𝑺 = 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, … , 𝑨𝒎 ⊂ ℝ 𝒏 , 𝝀𝒊 ∈ ℝ, ∀𝒊 = 𝟏, 𝒎. Biểu thức có dạng được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ 𝑺. Nhận xét:

• Mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ 𝑺 là một véc tơ 𝒏 chiều.
• Có vô số tổ hợp tuyến tính của hệ 𝑺 cho trước. 1. Định nghĩa 1 𝝀𝟏𝑨𝟏 + 𝝀𝟐𝑨𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒎𝑨𝒎

b) Cho hệ 𝑺 = 𝑨𝟏 = 𝟏, −𝟏, 𝟐 ; A 𝟐 = 𝟏, 𝟑, 𝟒. Xét xem véc tơ 𝑿 = 𝟑, 𝟓, 𝟏𝟎 có được biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ trên không? Ví dụ 1:

Cho hệ véc tơ 𝑺 = 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, … , 𝑨𝒎 ⊂ ℝ 𝒏 .

• Hệ 𝑺 được gọi là độc lập tuyến tính (ĐLTT) nếu 𝝀𝟏𝑨𝟏 + 𝝀𝟐𝑨𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒎𝑨𝒎 = 𝑶𝒏 ⇔ 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 = ⋯ = 𝝀𝒎 = 𝟎.
• Hệ 𝑺 được gọi là phụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu ∃ 𝝀𝟏, 𝝀𝟐, … , 𝝀𝒎 ≠ 𝟎, 𝟎, … , 𝟎 sao cho 𝝀𝟏𝑨𝟏 + 𝝀𝟐𝑨𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒎𝑨𝒎 = 𝑶𝒏. 1. Định nghĩa 3

2. Một số tính chất

• Tính chất 1: Hệ chỉ gồm một véc tơ 𝑿 PTTT ⇔ 𝑿 = 𝟎𝒏. Hệ chỉ gồm một véc tơ 𝑿 ĐLTT ⇔ 𝑿 ≠ 𝟎𝒏.
• Tính chất 2: Nếu một hệ ĐLTT thì hệ đó không chứa véc tơ 𝟎𝒏. Hệ quả: Nếu hệ có chứa véc tơ 𝟎𝒏 thì hệ đó PTTT.
• Tính chất 3: Nếu một hệ véc tơ PTTT thì mọi hệ chứa nó cũng PTTT. Hệ quả: Nếu một hệ ĐLTT thì mọi hệ con khác rỗng của nó cũng ĐLTT.

3. Một số định lý

• Định lý 1. Hệ 𝑺 gồm m véc tơ ( 𝒎 ≥ 𝟐 ) PTTT khi và chỉ khi trong hệ tồn tại một véc tơ biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
• Định lý 2****. Một véc tơ biểu diễn tuyến tính qua một hệ ĐLTT thì sự biểu diễn đó là duy nhất.
• Định lý 3. Trong không gian ℝ 𝒏 cho hai hệ véc tơ: Hệ ( 1 ): 𝑨𝟏, 𝑨𝟐,... , 𝑨𝒎 và hệ ( 2 ): 𝑩𝟏, 𝑩𝟐,... , 𝑩𝒌 Nếu mỗi véc tơ của hệ ( 1 ) đều biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ ( 2 ) và 𝒎 > 𝒌 thì hệ ( 1 ) PTTT.

Ví dụ 5 : Một nhà máy sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Biết 𝑨𝟏 =

là các véc tơ định mức vật liệu cho mỗi đơn vị sản phẩm tương ứng. a) Tìm biểu diễn tuyến tính của 𝑨𝟒 qua hệ véc tơ 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑 và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả đó. b) Xác định số lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất được 4 đơn vị sản phẩm loại 1 , 5 đơn vị sản phẩm loại 2 , 3 đơn vị sản phẩm loại 3 và 0 đơn vị sản phẩm loại 4. c) Với điều kiện sử dụng vừa hết vật liệu đã có ở ý b), nếu nhà máy muốn sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 4 thì sản lượng các loại sản phẩm khác là bao nhiêu? d) Với điều kiện sử dụng vừa hết vật liệu ở ý b), nhà máy có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu đơn vị sản phẩm loại 4?

BÀI 3

CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN

VÉC TƠ ℝ

Các hệ véc tơ sau có phải là hệ ĐLTTCĐ trong không gian ℝ 𝒏 không?

I. HỆ VÉC TƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỰC ĐẠI TRONG ℝ

𝒏 Ví dụ 1: a) 𝑺𝟏 = 𝑬𝟏 = 𝟏, 𝟎, 𝟎,... , 𝟎, 𝟎 ; 𝑬𝟐 = 𝟎, 𝟏, 𝟎,... , 𝟎, 𝟎 ; … ; 𝑬𝒏 = 𝟎, 𝟎, 𝟎,... , 𝟎, 𝟏. b) 𝑺𝟐 = 𝑨𝟏 = 𝟏, 𝟎, 𝟎,... , 𝟎, 𝟎 ; 𝑨𝟐 = 𝟎, 𝟐, 𝟎,... , 𝟎, 𝟎 ; … ; 𝑨𝒏 = 𝟎, 𝟎, 𝟎,... , 𝟎, 𝒏.

Trong không gian 𝒏 chiều có vô số hệ véc tơ ĐLTTCĐ nhưng mọi hệ véc tơ ĐLTTCĐ đều có số véc tơ bằng nhau và bằng 𝒏 ( 𝒏 là số chiều của mỗi véc tơ). Nhận xét: Trong không gian ℝ 𝒏 :

• Mọi hệ véc tơ có số véc tơ lớn hơn 𝒏 đều PTTT.
• Mọi hệ ĐLTT chứa không quá 𝒏 véc tơ.
• Mọi hệ ĐLTT chứa đúng 𝒏 véc tơ đều là hệ véc tơ ĐLTTCĐ.

I. HỆ VÉC TƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỰC ĐẠI TRONG ℝ

𝒏