Download Sistem Bilangan Real Matematika Dasar Kalkulus and more Study notes Electrical Engineering in PDF only on Docsity!
A. Sistem Bilangan
Terdapat beberapa sistem bilangan, yaitu: bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irrasional, dan bilangan real. Masing-masing bilangan itu sebagai berikut.
(1) Bilangan asli merupakan sistem bilangan paling sederhana, yaitu
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(2) Bilangan bulat melibatkan negatif bilangan asli dan nol, yaitu
…, 4, 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …
(3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti
2 3 ,^
2 ,^
1 ,^ …
Pembagian dengan nol, misalnya 60 atau − 04 , tidak termasuk bilangan rasional karena tidak memiliki makna apapun. Oleh karena itu, pembagian dengan nol harus dihindari.
(4) Bilangan irrasional mencakup akar dari suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, seperti
2 , 3 , 5 , 3 7 , 𝜋, …
(5) Bilangan real mencakup semua jenis bilangan yang ada. Jika A menyatakan bilangan asli (bulat positif), B bilangan bulat, Q bilangan rasional, dan R bilangan real, maka A B Q R Lambang dibaca himpunan bagian dari. Pernyataan A B berarti setiap unsur A juga merupakan unsur B.
BAB
Sistem Bilangan Real A. Sistem Bilangan B. Pertidaksamaan C. Nilai Mutlak dan Bentuk Akar D. Jarak Antara Dua Titik dan Persamaan Lingkaran E. Garis Lurus
Bilangan real memenuhi operasi penjumlahan dan perkalian. Pada operasi penjumlahan dan perkalian bilangan real berlaku sifat-sifat berikut. Misalnya, x dan y bilangan real maka berlaku:
(1) Hukum-hukum komutatif : x + y = y + x dan xy = yx.
(2) Hukum - hukum asosiatif : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z dan x ( yz ) = ( xy ) z
(3) Hukum distributif: x ( y + z ) = xy + xz
(4) Unsur-unsur identitas. Ada dua bilangan berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x untuk setiap bilangan real x.
(5) Invers (kebalikan). Setiap bilangan x memiliki kebalikan penjumlahan , – x , yang memenuhi x + (– x ) = 0. Selain itu, setiap bilangan x , kecuali 0, memiliki kebalikan
perkalian , x-^1 , yang memenuhi x x-^1 = 1.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan sebagai
x y x ( y )
dan
x y x y ^1
y
x
dengan syarat y 0. Pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.
Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi bilangan real positif dan bilangan negatif. Kenyataan ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan bentuk hubungan lebih kecil dari atau kurang dari (<) dan lebih besar dari atau lebih dari (>). Hubungan ini masing-masing didefinisikan sebagai berikut.
Contoh 1.
Buktikan bahwa 3 < 5!
Definisi (i) x < y jika dan hanya jika x – y negatif; (ii) x > y jika dan hanya jika x – y positif.
Sifat-sifat pertidaksamaan sebagai berikut.
(1) Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan, salah satu dari berikut ini akan dipenuhi: x < y atau x = y atau x > y.
(2) Transitif : Jika x < y dan y < z maka x < z.
(3) Penjumlahan : x < y x + z < y + z
(4) Perkalian : Jika z > 0, x < y xz < yz. Sebaliknya, jika z < 0, x < y xz > yz.
Tunjukkan tahapan penyelesaian dan jawaban dari soal-soal berikut.
- 5 – 3(9 – 12) + 7
- – 4 [3 – 2(7 – 5) + 7(14 – 3)]
Sederhanakan aljabar berikut.
(3 x – 2)( x + 5)
(2x + 6)^2
x
x x
9.^4321
2
t
t t
10. p 212 2 p ^4 p p^2 2
Nyatakan apakah ungkapan berikut benar atau salah. Berikan alasannya.
12. 3 ^227
15. 75 ^449
SOAL-SOAL 5.
B. Pertidaksamaan
1. Selang atau Interval
Suatu bilangan x yang berada di antara a dan b , yakni a < x dan x < b , dapat dituliskan dalam pertidaksamaan bersambung sebagai berikut: a < x < b. Himpunan semua bilangan x yang memenuhi pertidaksamaan bersambung ini disebut selang atau interval.
Secara umum selang dibedakan menjadi selang terbuka, selang tertutup, dan kombinasi keduanya. Ungkapan a x b menyatakan selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan real antara a dan b , tidak termasuk titik ujung a dan b dan lambangkan oleh ( a , b ). Sementara itu, ungkapan a x b menyatakan selang tertutup yang terdiri dari semua bilangan real antara a dan b , termasuk a dan b itu sendiri dan dilambangkan oleh [ a , b ]. Pada Tabel 1.1 diperlihatkan berbagai kemungkinan selang dan lambangnya.
Tabel 1.1 Lambang himpunan penyelesaian, selang, dan gambarnya.
Lambang Himpunan Lambang Selang Gambar
{ x : a x b } ( a , b )
{ x : a x b } [ a , b ]
{ x : a x b } [ a , b )
{ x : a x b } ( a , b ]
{ x : x b } (– , b ]
{ x : x b } (– , b )
{ x : x a } [ a, )
{ x : x a } ( a, )
R (– , )
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
Contoh 1.
Cari himpunan penyelesaian dari – 5 2 x + 6 4.
Penyelesaian
- 6 2 x + 6 4
- 12 2 x – 2 (setelah setiap ruas ditambah – 6)
- 6 x – 1 (setelah setiap ruas dikalikan ½ )
Jadi, himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:
[ 6 , 1 ) x : 6 x 1
Contoh 1.
Tentukan semua nilai x yang memenuhi 2 x + 7 5 dan 3 x – 2 < 4.
Penyelesaian
Ungkapan ”dan” menunjukkan bahwa nilai x harus memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.
2 x + 7 5 dan 3 x – 2 < 4 2 x 2 3 x < 6 x 1 x < 2 [1, ) (, 2)
Jadi, nilai x yang memenuhi kedua pertidaksamaan di atas adalah
[1, ) (, 2) = [1, 2).
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi 2 x + 7 5 atau 3 x – 2 > 4.
Penyelesaian
Ungkapan ”atau” menunjukkan bahwa nilai x memenuhi salah satu dari kedua pertidaksamaan tersebut.
2 x + 7 5 atau 3 x – 2 > 4 2 x 2 3 x > 6 x 1 x > 2 (,1] (2, )
Jadi, x yang memenuhi salah satu pertidaksamaan di atas adalah (,1] (2, ).
Contoh 1.3 sampai dengan Contoh 1.6 berkaitan dengan pemecahan pertidaksamaan yang melibatkan variabel x berpangkat 1. Untuk kasus seperti itu, kecuali Contoh 1.3 , suku yang mengandung peubah x dibuat sedemikian rupa sehingga berada di ruas kiri, sedangkan suku yang hanya bilangan berada di ruas kanan. Khusus untuk jenis pertidaksamaan seperti pada Contoh 1.3 , karena ruas kiri dan ruas kanannya sudah berupa bilangan, suku yang mengandung peubah x disimpan di ruas tengah.
Bagaimana jika pertidaksamaan melibatkan peubah x yang BUKAN berpangkat 1? Untuk kasus tersebut, buatlah sedemikian rupa sehingga ruas kanan menjadi NOL.
Contoh 1.
Cari himpunan penyelesaian x^2 – 2 x 8.
Penyelesaian
x^2 – 2 x 8 x^2 – 2 x – 8 0 (setelah ditambah – 8) ( x + 2)( x – 4) 0 (setelah difaktorkan)
Ambil dulu ( x + 2)( x – 4) = 0 sehingga diperoleh x = – 2 dan x = 4. Titik x = – 2 dan x = 4 disebut titik pemecah selang ( split point ). Titik ini membagi garis bilangan real menjadi tiga selang: (–, – 2), (–2, 4), dan (4, ). Pada masing-masing selang ini, ( x + 2)( x – 4) terdiri
Penyelesaian
Karena 2 x^2 + 5 x – 3 = (2 x – 1)( x + 3) maka diperoleh titik pemecah selangnya adalah x = – 3 dan x = ½. Dengan memasukkan titik uji – 4, 0, dan 1, diperoleh selang positif atau negatif seperti yang diperlihatkan pada gambar. Perhatikan bahwa ungkapan 2 x^2 + 5 x – 3 0 menunjukkan bahwa 2 x^2 + 5 x – 3 selalu bernilai positif atau nol. Karena 2 x^2 + 5 x – 3 dapat bernilai nol, titik pemecah selang x = – 3 dan x = ½ termasuk ke dalam penyelesaian. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah (–, – 3] [½, ).
Contoh 1.
Cari himpunan penyelesaian dari 0
x
x.
Penyelesaian
Ungkapan 0
x
x menunjukkan bahwa 𝑥−^1
𝑥+3 selalu positif atau nol.^ Titik^ pemecah^ selang
adalah x = 1 dan x = – 3 (pembuat nol dari pembilang dan penyebut). Perhatikan bahwa x = – 3 harus dikecualikan karena akan menghasilkan pembagian dengan nol. Sementara itu, x = 1 termasuk penyelesaian. Dengan demikian, selangnya adalah (–,–3), (–3, 1], dan [1, ). Dengan memasukkan titik uji pada setiap selang, masing-masing – 4, 0, dan 2, secara
berurutan, diperoleh bahwa 𝑥 𝑥−+^13 bernilai positif atau nol pada selang (–,–3) atau [1, ).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (–,–3) [1, ).
titik pemecah selang
titik uji titik uji
Contoh 1.
Tentukan semua nilai x yang memenuhi x
x
Penyelesaian
Hati-hati dalam memecahkan pertidaksamaan seperti ini. Ingat bahwa x bisa bernilai positif atau negatif dan, dalam kasus ini, x 0 (penyebut tidak boleh 0).
Berikut adalah CARA JAWAB YANG SALAH.
x
x
1 4 1 4 x 2
1 – 4 x^2 0 (1 – 2 x )(1 + 2 x ) 0
Titik pemecah selang: x = ½ dan x = ½ sehingga diperoleh tiga selang, yaitu (,½), (½, ½), dan (½,). Dengan memasukaan titik uji 1, 0, dan 1 berturut-turut pada masing- masing selang tersebut, diperoleh bahwa nilai (1 – 2 x )(1 + 2 x ) adalah negatif untuk (,½), positif untuk (½, ½), dan negatif untuk (½,). Sementara itu, ungkapan (1 – 2 x )(1 + 2 x ) 0 menunjukkan bahwa nilainya harus positif atau nol. Dengan demikian, nilai
x yang memenuhi terdapat pada (½, ½).
titik pemecah selang titik pemecah selang
titik uji titik uji titik uji
2
x
x
2
x
x
2
xx xx
2
x xx
2
x
x
Karena pembilangnya, yakni ( x 1 )^2 , selalu positif atau nol, titik pemecah selangnya
adalah x = 0 (Tapi, ingat, penyebut x 0). Dengan memasukkan titik uji 1 dan 1, diperoleh
tanda negatif untuk (, 0) dan positif untuk (0, ). Jadi, penyelesaiannya adalah (0, ).
Tunjukkan lambang selang berikut pada garis bilangan real.
- [–5, 2]
- (–, – 1]
- (1, 4]
- (–1, 2)
- [0, )
Tentukan semua x yang memenuhi pertidaksamaan berikut. Nyatakan dalam notasi selang dan grafik.
6. 2 x 6 4 x 3
7. x^2 4 x 3
8. x
x
9. x x 14 0
10. ^2 3
x
x
11. ( x 2 )( x 1 )( x 3 ) 0
12. x^3 5 x^2 6 x 0
13. x^4 2 x^2 8
14. 3 x 7 2 dan 2 x 1 2
SOAL-SOAL 1.
15. 2 x 7 1 atau 2 x 1 3
C. Nilai Mutlak dan Bentuk Akar
1. Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x , dilambangkan oleh | x |, didefinisikan sebagai berikut.
Definisi tersebut menyatakan bahwa | x | selalu bernilai taknegatif. Sebagai contoh, | 4 | = 4 , |– 3 | = 3 , |0| = 0, dan |– x | = | x |.
Nilai mutlak dapat dipahami sebagai sebuah jarak. | x | adalah jarak antara x dan titik asal (titik nol). Dengan pemahaman yang sama, | x – a | adalah jarak antara x dan titik a.
Adapun sifat-sifat nilai mutlak sebagai berikut. (1) | ab | = | a || b | (3) | a + b | | a | + | b |
(2)
b
a
b
a^ (4) | a – b | || a | + | b ||
Memecahkan Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak memenuhi pernyataan berikut.
Teorema | x | a – a x a | x | > a x – a atau x a
Definisi Nilai Mutlak
x x
x x
x
Titik pemecah selangnya adalah x = 0 dan x = 2. Akan tetapi, x = 0 harus dikecualikan dari himpunan penyelesaian karena penyebut tidak boleh nol. Hasil uji selang (lihat gambar) menunjukkan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah (0, 2]. Akan tetapi, kita sedang bekerja untuk x 0 atau (0, ) maka himpunan penyelesaiannya menjadi (0,
- (0, ) = (0, 2).
o Untuk x < 0, | x | = – x :
x
x 2 2
x
x ^2 2 0
x
x ^2 ^2 0
x
x
x
x ^2 ^3 0
x
x
Titik pemecah selangnya adalah x = 0 dan x = 2/3. Akan tetapi, x = 0 harus dikecualikan dari himpunan penyelesaian karena penyebut tidak boleh nol. Hasil uji selang (lihat gambar) diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah (0, 2/3]. Akan tetapi, kita sedang bekerja untuk x < 0 atau (–, 0) maka himpunan penyelesaiannya menjadi (0, 2/3) (– , 0) = { } atau himpunan kosong.
Jadi, himpunan penyelesaian dari|^ |^2 2
x
x adalah (0, 2) { } = (0, 2).
titik pemecah selang
titik uji titik uji titik uji
titik pemecah selang
titik uji titik uji titik uji
Contoh 1.1 7
Tentukan semua x yang memenuhi^3 x 2
x
Penyelesaian
3 x 2
x
2 ^3 x 2
x
^3 x 2
x
dan^3 x 2
x
Kita pecahkan dahulu masing-masing.
(*)^3 x 2
x
^3 x 2 0
x
2
x
x x
2
x
x x
x
x x
Diperoleh titik pemecah selang: x = – 1 , x = 0, dan x = 3. (Ingat, x = 0 harus dikecualikan dari solusi, karena penyebut tidak boleh sama dengan nol). Dengan memasukkan titik uji pada tiap selang berturut-turut: – 2 , – ½, 1, dan 4 diperoleh selang yang memenuhi
x
x x adalah
HP 1 = (–,–1] (0, 3] ( i )
(**)^3 ^ x ^2
x
^3 ^ x ^2 ^0
x
2
x
x x
Ingat kembali bahwa penyelesaian persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 diberikan oleh rumus abc sebagai berikut.
a
x b b ac
^2 ^4.
Bilangan D = b^2 – 4 ac disebut diskriminan dari persamaan kuadrat. Persamaan ini memiliki dua penyelesaian real jika D 0, satu penyelesaian real jika D = 0, dan tak ada penyelesaian
real (imajiner) jika D 0.
Contoh 1.
Cari himpunan penyelesaian dari x^2 – x – 3 0.
Penyelesaian
Dua penyelesaian dari x^2 – x – 3 = 0 yaitu
2
x
dan
( 1 ) ( 1 )^24 ( 1 )( 3 )
x .
Titik pemecah selang 21 21 13 dan 12 21 13 membagi tiga selang yaitu (–,
1 ], [ 13
1 ], dan [ 13
1 , ). Ambil titik uji – 2, 0, dan 4
maka diperoleh simpulan bahwa himpunan penyelesaian dari x^2 – x – 3 0 adalah [
21 21 13 ,^21 21 13 ].
3. Kuadrat Nilai Mutlak
Kuadrat dari nilai mutlak memenuhi persamaan berikut.
Penguadratan kedua ruas pada pertidaksamaan dapat menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi salah. Sebagai contoh, – 2 > – 5 akan tetapi (–2)^2 < (–5)^2. Di lain pihak, 2 < 5 dan 22 < 5^2. Dengan demikian, penguadratan kedua ruas pada pertidaksamaan akan tetap benar jika bilangan pada kedua ruas itu taknegatif. Berdasarkan kenyataan tersebut, diperoleh teorema berikut.
Contoh 1. 19
Cari himpunan penyelesaian dari |x – 1 | 2 |x – 3 |.
Penyelesaian
Pemecahan pertidaksamaan di atas dapat dilakukan dengan menguadratkan kedua ruasnya sebagai berikut.
| x 1 | 2 | x 3 | | x 1 |^2 22 | x 3 |^2
x^2 2 x 1 4 ( x^2 6 x 9 )
x^2 2 x 1 4 x^2 24 x 36
3 x 22 x 35 0
3 x^2 22 x 35 0
( 3 x 7 )( x 5 ) 0
Titik pemecah selangnya adalah x = 7/3 dan x = 5. Uji selangnya sebagai berikut.
Teorema | x | | y | x^2 y^2
Kuadrat Nilai Mutlak
x^2 x^2
