Signals and systems Fourier series, Lecture notes of Signals and Systems

Download Signals and systems Fourier series and more Lecture notes Signals and Systems in PDF only on Docsity!

ELM207 Analog Elektronik

Bir Fourier serisi periyodik bir f ( t ) fonksiyonunun,

kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde

bir açılımdır.

Giriş

1

0

( cos sin )

n

an n t bn n t

a

f t

T

Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz

olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi

basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak

çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal

problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir

yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da

pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.

=

• • • …

Periodik Fonksiyon 2

a 0

a 1 cos t

a (^) 2 cos 2 t

b 1 sin t

b (^) 2 sin 2 t

f(t)

t

Örnek 1

Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi

gösterimini bulunuz.

Çözüm

İlk önce, fonksiyonun periyodu ve tanımı belirlenir:

T = 2

0 , 1 2

1 , 0 1 ( ) t

t f t f (^ t^2 ) f ( t )

n

n

n

n t n tdt dt

f t n tdt T

an

sin sin 1 cos 0

( )cos

1

0

2

1

1

0

2

0

n tamsayıdır ve,

olduğundan

sin n 0

sin sin 2 sin 3  0

Dolayısıyla, an^0.

n

n

n

n t n tdt dt

f t n tdt T

bn

cos 1 cos 1 sin 0

( )sin

1

0

2

1

1

0

2

0

cos cos 3 cos 5  1

cos 2 cos 4 cos 6  1

Dolayısıyla, 0 , çift

1 ( 1 )^2 / , tek

n

n n

n

b

n

n

Ya da

n

cos n ( 1 )

Bazı faydalı tanımlar

n tamsayı olduğundan,

n

sin n 0 cos^ n^ (^1 )

sin 2 n 0 cos 2 n 1

sin( x ) sin x cos( x ) cos x

 Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga

biçimini verir

 Örnek 1 ’den,

f t t t sin 5 t  5

sin 3 3

sin

 Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:

t t t t sin 9 t 9

2 sin 7 7

2 sin 5 5

2 sin 3 3

2 sin 2

t t sin 23 t 23

2 sin 3 3

2 sin

2 2

1 

(e)

(f)

Kare dalga Testere dişli dalga

Üçgen dalga Yarı çember

Çözüm

T = 2

T

Katsayıları hesaplayalım:

1

1

(^12)

1

1

1

0

t tdt

f t dt T

a