Rangkaian dan Persamaan Diferensial Orde Dua, Lecture notes of Electrical Circuit Analysis

Download Rangkaian dan Persamaan Diferensial Orde Dua and more Lecture notes Electrical Circuit Analysis in PDF only on Docsity!

Rangkaian dan Persamaan

Diferensial Orde 2

Pengantar Analisis Rangkaian

Tujuan Pembelajaran

• Mengenal rangkaian orde 2 dengan RLC
• Mengenal persamaan diferensial orde 2 dan

solusi umumnya

Persamaan Diferensial Orde Dua

• Persamaan orde 2 dengan bentuk

merupakan persamaan nonhomogen.

Bentuk persamaan homogennya adalah

Persamaan diferensial homogen inilah yang memberi karakteristik pada solusi persamaannya.

Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentuk eksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.

2 1 2

2 kyt xt dt

dyt k dt

dy t

• • =

2 1 2

2

• • kyt = dt

dyt k dt

dyt

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

• Misalkan solusi persamaan diferensial adalah
• Persamaan diferensial homogen menjadi
• Akar persamaan

2

• • =

st

st st kAe dt

dAe k dt

dAe

st y ( t )= Ae

( 1 2 ) 0

2 ++ =

st sskkAe

2 s + k s + k =

2 1 1 1 , 2

k k k s

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

• Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum

disebut overdamped:

• Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped:
• Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umum disebut critically damped :
• Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehingga diperlukan juga dua syarat batas ( boundary condition )

st st y ( t ) = Ae^1 + Be^2

s 1 , 2 = j  o

yt e ( A () () otBot )

t

()= cos+ sin

st y ( t ) = At + Be

s 1 s 2

s 1 = s 2 = s

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

• Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.
• Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.
• Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum

➢ Saat dua akar riil berbeda

y ( 0 ) dt

dy ( 0 )

y ( t ) = Aes^1 t^ + Bes^2 t y (^0^ )= A + B

st st st st AeBesAesBe dt

d

dt

dyt (^) 1 2 1 2 1 2

sehingga

sehingga sA sB dt

dy 1 2

Contoh 1

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen

berikut

bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)= 1

Jawab

2

• • yt = dt

dyt

dt

dyt

Persamaan diferensial: () 0

2

• • yt = dt

dyt

dt

dyt

Bila maka

st y ( t )= Ae^4510 2 + + = s s

sehingga s^2 +^5 s + 4 = 0

dan diperoleh dua akar riil: s 1 =−^1 detdan s 2 =−^4 det

Contoh 1

Dengan adanya 2 akar riil - 1 dan - 4 maka solusi umumnya

berbentuk: t t yt AeBe

4 ()

− − = +

Diketahui y(0)=3 maka y ( 0 ) = A + B = 3

Diketahui juga y’(0)=3 maka

t t t t AeBeAeBe dt

d

dt

dyt (^) 4 4 4

=− A − B =

dt

sehingga dy atau

Dari (^) A + B = 3 dan (^) A =− 1 − 4 B diperoleh dan 3

A = 4

B = −

Solusi persamaan diferensial:

t t yt e Be

4

3

− − = −

A =− 1 − 4 B

Contoh 2

Dengan adanya 2 akar riil sama - 2, solusi berbentuk:

( )

t vt AtBe

2 ()

− =+

Diketahui y(0)=3 maka v ( 0 )= B = 2

Diketahui juga v’(0)=5 maka

sehingga diperoleh dan B = 2

Solusi persamaan diferensial: ( )

t vt te

2 () 23

− =−

A =− 3

( ) ( ) 1 12 25

=+ sA + B =− A += dt

dy

Contoh 3

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=

Jawab :

2 − + it = dt

dit

dt

dit

Persamaan diferensial: () 0

2 − + it = dt

dit

dt

dit

Bila maka atau

st y ( t )= Ae^6410 2 − + = s s

2 s + s +=

dan diperoleh dua akar kompleks s 1 , 2 (^) =− 2  j 23

dimana (^) =− 2 dan  o = 2 3

Solusi Persamaan Non Homogen

• Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial

homogen dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial nonhomgen maka kombinasi

juga merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen

• Persamaan Nonhomogen

y 2 ( t )

y '+' k 1 y '+ k 2 y = x

y ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t )

y 1 ''+ k 1 y 1 '+ k 2 y 1 + y 2 ''+ k 1 y 2 '+ k 2 y 2 = x

2 1 2

2 kyt xt dt

dyt k dt

dy t

• • =

atau

gunakan

maka

y ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t )

y 1 solusi persamaan homogen sehingga

y 1 ( t )

y 2 ''+ k 1 y 2 '+ k 2 y 2 = x

y ''+ k 1 y '+ k 2 y = x

y 1 ''+ k 1 y (^) 1 '+ k 2 y 1 + y 2 ''+ k 1 y 2 '+ k 2 y 2 = x

Solusi Persamaan Non Homogen

• Untuk menentukan solusi persamaan diferensial

nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang

menyerupai dengan konstanta bentuk umum.

Misalnya untuk pilih

• Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial

dan selesaikan untuk konstantanya

y 2 ( t )

x ( t )

x ( t )= 5 t y 2 ( t )= At + B

Contoh 4

Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Pilih dan masukkan ke persamaan di atas

sehingga didapat dan

dan diperoleh , dan

it t dt

dit

dt

di t () 2

2 − + =

i 2 ( t )= At + B

AtBt dt

dAtB

dt

dAt B ( ) 2

2 ++=

0 − 4 A + At + B = 2 t

At = 2 t − 4 A + B = 0

A = (^2) B = 8 i 2 ( t )= 2 t + 8

Contoh 4

Solusi persamaan diferensial homogen

Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah

i 2 ( t )= 2 t + 8

( ) ( )  

− it e t t

t 3 sin 23 2

() 3 cos 23

2 1

( ) 3 sin( ) 23 28 2

() 3 cos 23

2 ++ 

− it e t t t

t