Pruebas estadísticas para la generación de números aleatorios, Study notes of Human Physiology

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Pruebas estadísticas

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Instituto Tecnológico Nacional, Campus Tuxtla Gutiérrez

Ingeniera en Sistemas Computacionales

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▪ Es una prueba básica que siempre será desarrollada para validar un nuevo generador ▪ En ellas se encuentran las pruebas Kolmogórov-Smirnov y la prueba Chi-Cuadrada Ambas de estas pruebas miden el grado de ajuste entre la distribución de una muestra de números aleatorios generados y y la distribución uniforme teórica. Ambas de estas pruebas están basadas en la hipótesis Nula de que no existe diferencia entre la distribución de la muestra y la distribución teórica.

Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 números de un conjunto ri, con un nivel de confianza de 95%. ▪ Antes de proceder, es recomendable crear una tabla, en donde se resumen los pasos que debe llevar a cabo una prueba Chi-cuadrada.

▪ Con ayuda de una tabla y con los datos de porcentaje de error y grados de libertad se calcula, el grado de libertad se calcula con m- 1 En este caso tenemos (0.05,9) Regla: Si el valor del estadístico 𝑥 2 es menor al valor de tabla se denomina que si es uniforme, caso contrario no es uniforme Por lo que viendo que 𝑥 2 = 6. 2 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 16. 92 se determina que es uniforme

Realizar la pruebade Kolmogórov-Smirnov, con un nivel de

confianza de 90%, al siguiente conjunto ri de 10 números

ri = {0.97, 0.11, 0.65, 0.26, 0.98, 0.03, 0.13, 0.89, 0.21, 0.69}

El nivel de confianza de 90% implica = 10%. Ordenando

los números ri de menor a mayor, la secuencia es:

Para determinar los valores de D+,D- y D es recomendable

realizar una tabla como la presentada.

De acuerdo con la tabla de valores para la prueba

Kolmogórov-Smirnov, el valor crítico correspondiente a n =

10 es 0.368, que resulta menor al valor D = 1.04; por lo

tanto se concluye que los números del conjunto ri no se

distribuyen uniformemente. De acuerdo al paso n° 4

0.03 0.11 0.13 0.21 0.26 0.65 0.69 0.89 0.97 0.

▪ Denotaremos con un numero ( 1 ) a aquel número

que se encuentre por debajo de la media.

▪ Denotaremos con un numero ( 0 ) a aquel

número que se encuentre por arriba de la

media..

“Este procedimiento consiste en determinar una

secuencia de unos y ceros de acuerdo con la

comparación de cada número que cumpla con la

condición de ser mayor o igual a 0.5 (en el caso de

los ceros) o ser menor a 0.5 (en el caso de los

unos)”

𝐶𝑜 = Número de corridas en la secuencia 𝑛 0 = Cantidad de ceros en la secuencia S 𝑛 1 = Cantidad de unos en la secuencia de S 𝑛 = Cantidad de números, se halla de la siguiente manera: n 0 +n 1. 0 1 Valor esperado 𝜇𝐶 𝑜

0

1 𝑛

0 2 El estadístico 𝑍 𝑜

𝑜

𝑜 𝜎𝐶 𝑜 0 3 Varianza del número de corridas 𝜎 2 𝐶𝑜 = 2 𝑛 0 𝑛 1 ( 2 𝑛 0 𝑛 1 −𝑛) 𝑛^2 (𝑛− 1 ) Para saber si el estadístico está fuera del intervalo se emplea la siguiente fórmula: −𝑍∞ 2 ≤ 𝑍 0 ≤ 𝑍∞ 2

𝜇𝐶𝑜 = 2 𝑛 0 𝑛 1 𝑛

1 2 𝜇𝐶𝑜 = 2 ( 18 )( 22 ) 40

1 2 = 20. 3 𝜎 2 𝐶𝑜 = 2 𝑛 0 𝑛 1 ( 2 𝑛 0 𝑛 1 − 𝑛) 𝑛 2 (𝑛 − 1 ) 𝜎 2 𝐶𝑜 = 2 18 22 [ 2 18 22 − 40 ] ( 40 ) 2 ( 40 − 1 ) = 9. 5446 𝑍𝑜 = 𝐶𝑜 − 𝜇𝐶𝑜 𝜎𝐶𝑜 𝑍𝑜 = 17 − 20. 3 − 9. 544 = − 0. 345 Ya que 𝑍 0. 025 = 1. 96 la hipótesis de independencia no puede ser rechazada sobre la base de esta prueba (Z calculada = - 0. 345 < 𝑍 0. 025 = 1. 96 ) −𝑍∞ 2 ≤ 𝑍 0 ≤ 𝑍∞ 2

Consisten en demostrar que los números generados son estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no dependen uno de otro. Tenemos que tener en cuenta que las dos propiedades principales que deben de satisfacer un conjunto de números r, son las de uniformidad e independencia y para esto se propone la siguiente hipótesis: 𝑯 𝟎 : 𝒓 𝒊 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑯 𝟏 : 𝒓 𝒊 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

1 2 3 Saber la cantidad de dígitos que formarán los aleatorios que se desean probar. Clasificar los casos posibles que se pueden formar (pares de iguales, tercias, etc.). Calcular las probabilidades de que en esos números se presenten los casos que se determinaron.

4 5 Generar una muestra de aleatorios con el generador a probar y clasificar la frecuencia que presentaron los casos en la muestra Efectuar una prueba ji-cuadrada para verificar si existe evidencia estadística para afirmar que las frecuencias observadas son diferentes a las esperadas. En caso contrario, no se rechazará la hipótesis de que el generador produce aleatorios independientes.