Download Mathematics slide with identity and exercise and more Slides Economics in PDF only on Docsity!
Chương 2.
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Ngày 24 tháng 9 năm 2024
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 / 27
Bài 1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Một bảng gồm m × n số thực hoặc phức được viết thành m dòng và n cột được
gọi là ma trận cấp m × n, kí hiệu
A =
a 11
a 12
· · · a 1n
a 21
a 22
· · · a 2n
a m
a m
· · · a mn
hoặc A = (aij)m×n
aij được gọi là phần tử của ma trận A nằm trên dòng i và cột j.
(Hai ma trận bằng nhau) Hai ma trận cùng cấp A = (aij)m×n; B = (bij)m×n
được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu aij = bij, ∀i, j.
(Ma trận chuyển vị) Chuyển các dòng (cột) của ma trận A thành các cột
(dòng) ta được ma trận gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu
A
T
. Tức là A
T = (aji)n×m.
Notes
Notes
Ví dụ
A =
B =
C =
I =
D =
E =
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 3 / 27
Các ma trận đặc biệt
Ma trận vuông: khi m = n, ma trận A được gọi là ma trận vuông.
Các phần tử a 11 , a 22 , ..., ann tạo thành đường chéo chính.
Các phần tử an1, an− 12 , ..., a1n tạo thành đường chéo phụ.
Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm
về một phía của đường chéo chính bằng 0.
A =
a 11 a 12 · · · a1n
0 a 22 · · · a2n
0 0 · · · ann
hoặc
a 11 0 · · · 0
a 21 a 22 · · · 0
an1 an2 · · · ann
Ma trận dòng là ma trận có m = 1 : A =
h
a 1
a 2
· · · a n
i
Ma trận cột là ma trận có n = 1 : A =
a 1
a 2
a n
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử aij = 0. Kí hiệu ( 0 ).
Notes
Notes
Ví dụ
h
i
Chú ý:
- Nói chung phép nhân ma trận là không giao hoán AB , BA.
- Nếu A là ma trận vuông ta kí hiệu: A
n = A.A...A (n lần)
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 7 / 27
3. Các tính chất
Giả sử α, β là các số; A, B là các ma trận, I là ma trận đơn vị
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + O = A
A − A = O
1A = A
α(A + B) = αA + αB
(α + β)A = αA + βA
(αβ)A = α(βA)
(B + C)A = BA + CA
α(BC) = (αB)C
AI = A; IB = B
Nếu A là ma trận vuông thì AI = IA = A
A
T
T
= A
(αA)
T = αA
T
(A + B)
T = A
T
T
(AB)
T = B
T A
T
Notes
Notes
Ví dụ: Tính
3AB + A;
AB + 2A
3 ;
AE
T − E;
f(C) với f(x) = x
2 − x + 3.
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 9 / 27
Bài 2. Định thức
1. Ma trận con
Ma trận con cấp k(k ≥ 1 ) :
Cho ma trận A cấp m × n. Ma trận vuông cấp k lập từ các phần tử nằm
trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A.
Câu hỏi: Ma trận con của A m×n
có cấp cao nhất là bao nhiêu?
Khái niệm ma trận con ứng với một phần tử:
Nếu A vuông cấp n, ma trận vuông cấp n − 1 lập từ A bằng cách bỏ đi
dòng i và cột j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij, kí hiệu
Mij.
Ví dụ A =
. Khi đó
M 11 =
, M 12 =
, M 21 =
Notes
Notes
Tính chất 4. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đường chéo chính.Tức là
a 11 0 · · · 0
a 21 a 22 · · · 0
an1 an2 · · · ann
a 11 a 12 · · · a1n
0 a 22 · · · a2n
0 0 · · · ann
= a 11
a 22
...a nn
Tính chất 5.
λa
′
i
′′
i
λa
′
i
′′
i
· · · λa
′
in
′′
in
= λ
a
′
i
a
′
i
· · · a
′
in
a
′′
i
a
′′
i
· · · a
′′
in
Hệ quả
n det A với mọi λ ∈ R.
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 13 / 27
Hệ quả
- Nếu nhân một dòng (cột) nào đó của ma trận A với một số λ ∈ R thì
định thức của nó cũng được nhân với λ.Tức là
A
λ dòng i
−−−−−−→ B ⇒ det B = λ det A
- Lấy một dòng (cột) nhân với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác thì
định thức không đổi.
A
λ dòng i+ dòng j→ dòng j
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B ⇒ det B = det A
Notes
Notes
Ví dụ
Tính định thức cấp 2.
Tính định thức cấp 3: Quy tắc tam giác
Tính định thức cấp cao.
Nhận xét
Khi tính định thức theo định nghĩa ta đưa định thức cấp n (cấp cao) về định
thức cấp n − 1 (cấp thấp hơn) để tính.
Dùng các tính chất của định thức đưa định thức cần tính về các định thức tính
được đơn giản hơn.Ví dụ dùng các phép biến đổi sơ cấp:
A
di↔dj
−−−−→ B ⇒ det A = − det B.
A
λ dòng i
−−−−−−→ B ⇒ det B = λ det A
A
λ dòng i+ dòng j→ dòng j
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B ⇒ det B = det A
để đưa định thức cấp cao về định thức có dòng hoặc cột có nhiều số 0. Sau đó
tính định thức khai triển theo dòng hoặc cột đó.
Khi khai triển theo dòng (cột) nên chọn dòng (cột) có nhiều số 0 hơn.
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 15 / 27
Định lý nhân định thức
Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi đó
det(AB) = det A det B
det A
n = (det A)
n
Ví dụ: A =
; B =
Tính
det(AB)
det A
100
Notes
Notes
Tính chất của ma trận nghịch đảo
1 Nếu A khả nghịch thì
(A
− 1
)
− 1
= A.
2 Nếu hai ma trận A, B vuông cùng cấp và khả nghịch thì AB cũng khả
nghịch và
(AB)
− 1 = B
− 1 A
− 1 .
(^3) Nếu A khả nghịch thì
(A
T )
− 1 = (A
− 1 )
T .
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 19 / 27
2. Cách tìm ma trận nghịch đảo
Tìm bằng phương pháp định thức con bù
Nhắc lại: Nếu A khả nghịch thì
A
− 1
det A
A 11 A 21 · · · An
A 12 A 22 · · · An
A1n A2n · · · Ann
trong đó Aij = (− 1 )
i+j det Mij là phần bù đại số của aij, Mij là ma trận
con cấp n − 1 ứng với aij.
Chú ý: Với ma trận cấp 2 không suy biến:
a b
c d
− 1
ad − bc
d −b
−c a
Notes
Notes
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau
A =
; B =
Ta có A 11
1 + 1
= 2 ; A
12
1 + 2
= − 2 ; A
13
= 2 ; A
21
− 1 ; A 22 = − 1 ; A 23 = 1 ; A 31 = − 1 ; A 32 = − 1 ; A 33 = −3. Mặt khác
det A = − 4.
Như vậy A
− 1
det A
A 11 A 21 A 31
A 12 A 22 A 32
A 13 A 23 A 33
1
4
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 21 / 27
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Sinh viên tham khảo giáo trình
Notes
Notes
2. Cách tìm hạng của ma trận
Ma trận thang dòng
Ví dụ: A =
;B =
; C =
Các phép biến đổi dưới đây là các phép biến đổi sơ cấp và không làm thay
đổi hạng của một ma trận.
1 A
λdi
−−→ B; λ , 0.
2 A
di↔dj
−−−−→ B.
3 A
λdi+dj→dj
−−−−−−−−→ B.
Hạng của một ma trận thang dòng bằng số dòng khác không của nó.
Ở ví dụ trên r(A) = 3 , r(B) = 2 ; r(C) = 3
Quy tắc tìm hạng của ma trận A :
A
biến đổi sơ cấp
trên dòng hoặc cột
B; trong đó B là ma trận thang dòng.
Khi đó
r(A) = số dòng khác không của B
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 25 / 27
Ví dụ 1:
A =
2d2+d3→d
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
d1+d4→d4;−2d1+d2→d
8d2+d4→d
−−−−−−−−−→
7d2+d3→d
−1d3+d4→d
−−−−−−−−−−→
Suy ra r(A) = 3.
Ví dụ 2. Tùy theo giá trị m tìm hạng của ma trận
5 0 21 13 m
Notes
Notes
Biện luận hạng của ma trận sau theo m
0 0 m − 1 1
0 0 m 3
0 0 m − 1 1
0 0 0 m(m − 1 )
2 m − 3 4 2
3 0 21 2 m
Chương 2. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 27 / 27
Notes
Notes
