Matematika teknik semester 3, Slides of Engineering

Download Matematika teknik semester 3 and more Slides Engineering in PDF only on Docsity!

MATEMATIKA TEKNIK II

Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi

Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi ( Ordo n ) Definisi : Sebuah persamaan diferensial tingkat n disebut linear bilamana fungsi yang tak diketahui dan masing-masing hasil bagi diferensialnya berpangkat satu dan tidak diperbanyakan satu sama lainnya. Bentuk Umum :

a y f^ ^ x

dx d y a dx d y a dx d y a n n n n n n n          ..... 2 2 1 2 1 0 1

misal : maka solusi umum adalah : n n n y y y C y y y y C y y y y C y          . . . 2 2 2 1 1 1 n n y C y C y ....C y 1 1 2 2

Dengan eksponensial Misal : n tx n n n tx tx tx t e dx d y y y t e y te y e      . . . '' 2 '

Jadi solusi umumnya : Persamaan dalam t disebut persamaan karakteristik , bila persamaan karakteristik mempunyai akar-akar yang sama, maka penyelesaiannya sbb: t x n t x t x n y C e C e ...C e 1 2 1 2 t x t x

t y C xe

t y C e

2 1 2 2 2 1 1 1

. Solusi Umumnya : n t x n n n t x t x n t y C x e t y C x e t y C x e 1 3 4 4 4 2 3 3 3 . . 4 3        n t x n t x t x t x n

y C e C xe C x e C x e

2 1 1 2 3

1 2 3 

. Jadi solusinya adalah: 2 ) Persamaan dalam karakteristik t adalah:    x x

t y C e

t y C e

t t

2 2 2 2 3 1 1 1

x x y C e C e 2 2 3 1   6 9 0 '' ' y  y  y   3  0 6 9 0 2 2      t t t

. Solusinya adalah: 3 ) Persamaan dalam karakteristik t adalah : x x t y C xe t y C e 3 2 2 2 3 1 1 1 3 3       y e  C C x x 1 2 3   7 16 12 0 '' ' '' ' y  y  y  y   2  2  3  0

3 2

t t t

t e t e te e

tx tx tx tx

Misalnya: Solusinya sebagai berikut:

t a ib

t a ib

2 1    

x j x j x x j x x j x j x j x

e C e C e

C e e C e e

y C e C e

              

1 2 1 2 1 2

. Bila mempunyai dua pasang akar yang sama, misalnya akarnya sebagai berikut:           e^ ^ C x C x e x C C x iC iC e C x i x C x i x x x x            cos sin cos sin cos sin cos sin 3 4 1 2 1 2 1 2          

t i t i     3 , 4 1 , 2

Dalam menyelesaikan persaman diatas: Maka penyelesaian keseluruhannya menjadi: Bentuk-bentuk umum solusi khusus: Jika: y X solusi khusus y Ae Be solusi ogen t x t x      hom 1 2

y Ae Be X

t x t x

1 2   f  x kx misalkanlah y Cx D f x k misalkanlah y C     

.. misalkan :         kx kx f x e misalkanlah y Ce y C x D x f x k xatau k xmisalkanla h y C x D x f x k xatau k xmisalkanla h f x kx misalkanlah y Cx Dx E             cosh sinh sinh cosh cos sin sin cos 2 2 f  x  x   y Cx  Dx  E 2 2

. b ) Persamaan ruas kanan atau suatu f ( x ) harus memenuhi persamaan awal ( persamaan semula ), caranya : Persamaan ruas kanan dimisalkan dengan yang sesuai, kemudian dimasukkan ke dalam persamaan awal/ persamaan semula. Misal : x x

t y C e

t y C e

2 2 2 2 3 1 1 1

y ax bx  c

2 3

PD menjadi : a dx d y ax b dx dy 2 2 2 2        6 ^106 ^2562 2 5 2 6 2 2 2 2 2                  ax x a b a b c x x a ax b ax bx c x x