MAT201 LİNEER CEBİR KONU ANLATIM Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN, Study notes of Mathematical Statistics

Download MAT201 LİNEER CEBİR KONU ANLATIM Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN and more Study notes Mathematical Statistics in PDF only on Docsity!

Ders Notu:

Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR

Ders Sorumlusu:

Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU

1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER

LİNEER EŞİTLİKLER

1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI

x 1 , x 2 , ..., xn'in n değişkeni tanımladığını varsayalım.

Eğer n değişkenden oluşan bir eşitlik, a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+ a (^) n xn = b şeklinde ifade edilebiliyorsa bu eşitlik lineer (doğrusal) bir eşitlik olarak tanımlanmaktadır.

Eşitlikte a 1 , a 2 , ..., an ve b sabitleri ifade etmektedir.

Bir lineer eşitlikte, tüm değişkenler birinci dereceden olmalıdır. Değişkenler birbirinin çarpımı veya bölümü şeklinde ifade edilemezler.

Eğer bir eşitlik lineer (doğrusal) değilse, doğrusal olmayan eşitlik olarak adlandırılır.

Bölümlerimizde bundan sonra lineer ve doğrusal ifadeleri aynı anlamda kullanılacaktır.

Sistemin çözümü, her iki eşitliği de sağlayan bir değer çifti (x, y) olduğundan, çözüm iki doğrunun ortak bir

noktasına karşı gelmektedir.

İki bilinmeyenli iki doğrusal eşitlikten oluşan doğrusal sistemimizin çözümüne ilişkin üç durum ortaya çıkmaktadır.

Biz sadece iki değişkenli iki doğrusal eşitlikten oluşan bir doğrusal eşitlikler sistemini göz

önüne aldık.

Genelde m eşitlik ve n bilinmeyenden oluşan sistemler göz önüne alınacaktır. Bu sistemlerin ya sadece bir çözümü, ya sonsuz sayıda çözümü veya hiçbir çözümü mevcut olmayabilir.

m doğrusal eşitlik ve n bilinmeyenden oluşan bir doğrusal eşitlikler sistemi (Lineer sistem)

a 11 x 1 +a 12 x 2 + ... + a 1 nx n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 + ... + a 2 nx n = b 2

am 1 x+ +am 2 x 2 + ... + amnx n = b m

şeklinde yazılabilir.

Burada x 1 , x 2 , ..., xn bilinmeyenleri, a'lar ve b'ler sabitleri belirtmektedir.

1.2.2. Lineer Eşitlikler Sisteminin Çözümü

Bir lineer eşitlikler sisteminin çözümünün elde edilmesinde kullanılan temel yaklaşım verilen sistemin aynı

çözüm kümesine sahip fakat çözülmesi daha kolay yeni bir sistem ile değiştirilmesidir.

Yeni sistem genel olarak aşağıda belirtilen işlemlerin bilinmeyenleri sistematik bir şekilde elimine edecek şekilde

uygulanmasıyla elde edilir.

Önceki sayfada verilen genel lineer denklem sisteminde her bir eşitlik bir satır olarak ifade edilmektedir. Dolayısıyla yukarıda verilen işlemler,

şeklinde ifade edilir. Bu işlemler elementer sıra işlemleri olarak bilinir. Bu işlemlerin temel mantığı daha az bilinmeyenli alt denklemler elde ederek ve bulunan değerleri adım adım yerine koyarak tüm bilinmeyenlerin bulunmasıdır. Takip eden ekrandaki örnek bu işlemlerin lineer denklem sistemlerinin çözümünde nasıl kullanılacağını gösterecektir.

1.2.2.1. Örnek 2

1.3. MATRİSLER

Matrisler kapsamında;

 1.3.1. Matris Tanımı

 1.3.2. İki Matrisin Eşitliği

 1.3.3. Matrisin Bir Sayı (Skalar) ile Çarpılması

 1.3.4. Matris Toplamının ve Skalar Çarpımının Özellikleri

 1.3.5. İki Matrisin Çarpımı

 1.3.6. Matris Çarpımının Özellikleri

 1.3.7. Özel Matrisler konuları işlenecektir.

1.3.1. Matris Tanımı

m satır ve n sütundan oluşan soldaki tabloya matris adı verilir.

Matristeki her bir sayıya eleman denir. Soldaki matriste mn tane eleman vardır.

Matrisin yatay bir doğru boyunca sıralanan elemanlarına sıra elemanları, dikey bir doğru boyunca sıralanan elemanlarına sütun elemanları denir. Soldaki matris m sıra ve n sütundan oluşmaktadır.

Matristeki bir elemanın yerini belirlemede iki indis kullanılır. Bunlardan biri elemanın hangi satırda, diğeri de

hangi sütunda olduğunu belirtir. Örneğin a (^) ij elemanı, elemanın i'inci sıra ve j'inci sütunda olduğunu belirtir.

Benzer şekilde a 23 elemanı ikinci satır ve üçüncü sütundadır.

Matris genelde [a (^) ij] şeklinde ifade edilir.

m satır ve n sütundan oluşan bir matrise mn matris denir. Eğer matrisin satır ve sütun sayıları birbirine eşit ise, örneğin m=n ise, matrise kare matris adı verilir.

Örneğin matrisinde satır ve sütun sayıları m = n = 3 olduğundan bu bir kare matrisidir.

a 11 = 1, a 22 = 4, a 33 = -3 elemanlarına matrisin asal köşegeni denir.

Satır matris:

Bir satırdan oluşan matrise satır matris denir.

Örneğin A = [1, 7, -2, 3] satır matristir. Bir satır ve dört sütundan oluşmuştur. 1  4 matristir.

Sütun matris:

Bir sütundan oluşan bir matrise sütun matris denir.

Örneğin matrisi sütun matristir. Üç satır ve bir sütundan oluşmuştur. 3  1 matristir.

1.3.1.1. Örnek 3

1.3.2. İki Matrisin Eşitliği

A ve B gibi iki matrisin boyutları, yani satır ve sütun sayıları ve elemanları benzer ise; iki matris eşittir (A = B)

çıkarılması demek, bu matrislerden birinin (-1) ile çarpılıp diğeriyle toplanması demektir:

A-B = A + (-1)B

İki matrisin birbirinden çıkarılmasında da matrislerin karşılıklı elemanları çıkarılır.

1.3.3. Matrisin Bir Sayı (Skalar) İle Çarpılması

Solda görülen A matrisini göz önüne alalım

1.3.4. Matris Toplamının ve Skalar Çarpımının Özellikleri

1.3.4.1. Örnek 12

C matrisinin diğer elemanları da benzer şekilde A matrisinin ilgili satır elemanları ile B matrisinin ilgili sütun

elemanlarının çarpımının toplamı şeklinde elde edilir.

1.3.5.1. Örnek 13

1.3.5.2. Örnek 14

1.3.6. Matris Çarpımının Özellikleri

1.3.6.1. Örnek 15

1.3.7. Özel Matrisler

Özel Matrisler kapsamında;

 1.3.7.1. Sıfır Matris

 1.3.7.2. Transpoze Matris

 1.3.7.3. Kare Matris

 1.3.7.4. Köşegen Matris

 1.3.7.5. Skalar Matris

 1.3.7.6. Birim Matris

 1.3.7.7. Üç Köşegenli Matris

 1.3.7.8. Üst Üçgen Matris

 1.3.7.9. Alt Üçgen Matris

 1.3.7.10. Simetrik Matris

 1.3.7.11. Antisimetrik (skew-symmetric) Matris konuları işlenecektir.

1.3.7.1. Sıfır Matris

Tüm elemanları sıfır olan matristir. Eğer ele alınan sıfır matris mn boyutlu ise m 0 n

şeklinde yazılmalıdır.

1.3.7.2. Transpoze Matris

Bir matrisin transpozesini elde etmek için matrisin satır ve sütunları yer değiştirir. Eğer

matrisimiz A ise transpozesi A

T

'dir.

ÇÖZÜM:

Örnekten görüldüğü gibi A matrisinin 1.sıra elemanları A T^ matrisinin 1.sütun elemanları, A matrisinin 2.sıra

elemanları A T^ matrisinin 2.sütun elemanları olarak yer değiştirmiştir.

1.3.7.3. Kare Matris

Satırlarının sayısı sütunlarının sayısına eşit olan matrise kare matris denir.

1.3.7.5. Skalar Matris

Asal köşegen elemanları birbirine eşit olan köşegen matrise skalar matris denir.

1.3.7.6. Birim Matris

Köşegen bir matriste asal köşegen elemanları 1'e eşitse bu matrise birim matris denir.

Eğer matris nn boyutlu ise bu I n ile gösterilir.

1.3.7.7. Üç Köşegenli Matris

Bir kare matrisin asal köşegeni ve ona bitişik köşegenlerdeki elemanları hariç diğer

elemanları sıfır ise bu matrise Üç Köşegenli Matris (tridiogonal) adı verilir. Bu

köşegenlerin bazı elemanları (tümü değil), sıfır değeri olabilir.

1.3.7.8. Üst Üçgen Matris

Bir kare matrisin asal köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise üst

üçgen matris denir.

1.3.7.9. Alt Üçgen Matris

Bir kare matrisin asal köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise alt

üçgen matris denir.

1.3.7.10. Simetrik Matris

Bir kare matriste A T=A ise matris simetrik matris'tir denir.